1、4.2等差数列4.2.1等差数列的概念例1 （1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项；（2）求等差数列8，5，2，的第20项.分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.解：（1）当时，由的通项公式，可得.于是.把代入通项公式，得.所以，的公差为，首项为3.（2）由已知条件，得.把，代入，得.把代入上式，得.所以，这个数列的第20项是.例2 是不是等差数列，的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看是否能使这个方程有正整数解.解：由，得这个数
2、列的通项公式为.令，解这个关于n的方程，得.所以，是这个数列的项，是第100项.练习1. 判断下列数列是否是等差数列如果是，写出它的公差（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，11111，1.11111；（3）1，2，3，4，5，6；（4）1，【答案】（1）是等差数列，公差为；（2）不是等差数列；（3）不是等差数列；（4）是等差数列，公差为.【解析】【分析】根据等差数列的定义对（1）、（2）、（3）、（4）逐个分析即可求解.【详解】解：（1）由，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为；（2）通
3、过观察可知，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（4）由，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为.2. 求下列各组数的等差中项：（1）647和895； （2）和.【答案】（1）771；（2）.【解析】【分析】由等差中项的定义直接求解即可.【详解】（1）设647和895的等差中项为，则，故647和895的等差中项为；（2）设和的等差中项为，则，故和的等差中项为.3.
4、已知在等差数列中，求【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式性质知，求得，进而求得公差d，即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列中，4. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列【答案】，【解析】【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数【详解】解：在和之间插入3个数，使这5个数成等差数列，解得，插入的这3个数为，例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确
5、定d的取值范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解.解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得.由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是.根据题意，得a1011,a1111,即220-10d11,220-11d11,解这个不等式组，得.所以，d的取值范围为.例4 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.（1）
6、求数列的通项公式.（2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.分析：（1）是一个确定的数列，只要把，表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设中的第n项是中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断是否为的项.解：（1）设数列的公差为.由题意可知，于是.因为，所以，所以.所以.所以，数列的通项公式是.（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.令，解得.所以，是数列的第8项.例5 已知数列是等差数列，p，q，s，且.求证.分析：只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证.证明：设数列的
7、公差为d，则，.所以，.因为，所以.练习5. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？【答案】；【解析】【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项，则，.综上可知，第10排的座位数个.6. 画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.【答案】图象见解析，【解析】【分析】由递推关系，求出值，然后再作出图象，在根据斜率公式即可求出通过图象上所有点的直线的斜率.【详解】根据递推关系，可知，作出数列的图象，如下图所示：通过图象上所有点的
8、直线的斜率.7. 在等差数列中，且，求【答案】【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，解出，代入即可.【详解】设等差数列的公差为则所以8. 已知数列，都是等差数列，公差分别为，数列满足（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由（2）若，的公差都等于2，求数列的通项公式【答案】（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.【详解】（1）数列是等差数列，证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，所以，又因为，故，而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知：数列是以为首项，
9、为公差的等差数列，而，所以.9. 已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？【答案】（1）是等差数列，首项为，公差为；（2）是等差数列，首项为首项为，公差为；（3）是等差数列，首项为，公差为；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.【解析】【分析】（1）
10、由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差；（2）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差；（3）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差，进而得到猜想.【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为：，这个新数列是等差数列，首项为，公差为.（2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为：，这个新数列是等差数列，首项为，公差为.（3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为：，这个新数列是等差数列，首项为，公差为.猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数
11、列.4.2.2等差数列的前n项和公式例6 已知数列是等差数列.（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求n.分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式中的，d和，解方程即可求得n.解：（1）因为，根据公式，可得.（2）因为，所以.根据公式，可得.（3）把，代入，得.整理，得.解得，或（舍去）.所以.例7 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可
12、以求得和d.解：由题意，知，.把它们代入公式，得10a1+45d=310,20a1+190d=1220.解方程组，得a1=4,d=6.所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.练习10. 根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和（1），； （2），；（3），； （4），【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）利用等差数列求和公式直接求解；（2）利用等差数列求和公式直接求解；（3）先求出等差数列的公差，再利用求和公式即可得解；（4）利用求出项数，再利用求和公式即可得解；【详解】（1）由题意，所以（2）由题意，所以.（3）由题意，所以（4）由题意，由，得 ，解得，所
13、以.11. 等差数列，的前多少项的和是？【答案】10【解析】【分析】根据题意，找到首项和公差，利用前n项和公式即可解得.【详解】等差数列，的首项为公差，设前n项的和为-100，则有，解得：n=10.即等差数列，的前10项的和是.12. 在等差数列中，为其前n项的和，若，求【答案】72【解析】【分析】由已知列出方程求出首项和公差即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，则.13. 在等差数列中，若，求k【答案】16【解析】【分析】结合等差数列的前n项和公式得到，然后结合中项性质得到，进而利用通项公式即可求解.【详解】因为，所以，即，因此，所以，由题意知，所以，所以14. 已知一个等差数列的
14、项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261求此数列中间一项的值以及项数【答案】此数列中间一项是，项数为.【解析】【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数及中间一项.【详解】设等差数列的项数为，设所有的奇数项和为，则，设所有的偶数项和为，则，解得，项数，中间项为，由，所以此数列中间一项是，项数为.例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列.设数列的前n项和为，由题意可
15、知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为.根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且.由，可得.因此，第1排应安排21个座位.例9 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数k，使得当时，递减.这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值.如图4.2-4，当时，关于n的图象
16、是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求相应的n，的值. 图4.2-4解法1：由以，得，所以是递减数列.又由，可知：当时，；当时，；当时，.所以.也就是说，当或6时，最大.因为，所以的最大值为30.解法2：因为，所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30.练习15. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？【答案】第二种方式获奖者收益更多【解析】【分析
17、】从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求和，比较即可得结果.【详解】从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，即，所以共获奖金元，由于，故第二种方式获奖者收益更多16. 已知数列的前n项和求这个数列的通项公式【答案】【解析】【分析】利用公式【详解】当时，,当时，当时，所以.17. 已知等差数列，的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值【答案】存在最小值，【解析】【分析】由已知可求得数列的通项公式，令，可知且，可知数列的前9项都是负数，第10项为正数，即值存在最小值.【详解】由已知可知
18、等差数列的首项，公差则数列的通项公式为令，即，又，且即数列的前9项都是负数，第10项为正数，故当时，存在最小值.18. 求集合，且中元素的个数，并求这些元素的和【答案】集合中有30个元素，这些元素的和为900.【解析】【分析】由集合的元素特点可知，集合，再利用等差数列求和公式可得解.【详解】集合，且，即共30个奇数，构成以1为首项，公差为2的等差数列利用等差数列求和公式得故集合中有30个元素，这些元素的和为900.19. 已知数列的通项公式为，前n项和为求取得最小值时n的值【答案】【解析】【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值.【详解】当，解得：，当和时，所以取得最小值时，.习
19、题4.220. 根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量：（1），求d及n； （2），求及（3），求n及； （4），求及【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）由已知结合，求出，再由通项公式，求出；（2）由已知结合，求出，再由通项公式求出；（3）由已知结合，求出，再由通项公式求出；（4）由已知结合通项公式，求出，再由前项和公式求出.【详解】（1）因为等差数列中，所以，；（2）因为等差数列中，所以，解得；（3）因为等差数列中，所以，整理得，解得，或（舍去），；（4）因为等差数列中，.21. 已知为等差数列，求【答案】1【解析】【分析】设的公差为d，根据通项公式列方程即可求
20、解公差与首项，从而求出【详解】设的公差为d，首项为，根据题意得22. （1）求从小到大排列的前n个正偶数的和（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？【答案】（1）；（2）；（3）180，98550；（4）13，663.【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式求和即可.【详解】（1）通项公式为，所以，（2）通项公式为，所以，（3）因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100，最大是995，所以，故和为，（4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100，所以在小
21、于100的正整数中共有13个数被7整除余2，每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7，所以.23. 1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份【答案】2061年【解析】【分析】查历史记载列出时间表，根据即可回归周期求出它在本世纪回归的年份.【详解】根据历史记载，哈雷彗星在1607年及以后的回归时间表为：次数123457年份160716821759183519101986预测
22、它在本世纪回归的年份为2061年.24. 已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数【答案】4【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式，建立方程求得多边形的边数.【详解】由题意可知：，则， 即，得解得：或（舍去）故这个多边形的边数为4.25. 已知数列，都是等差数列，且，求数列的前100项和【答案】6000【解析】【分析】通过，都是等差数列，则也是等差数列，直接利用等差数列前项和公式求出数列的前100项和即可【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以也是等差数列，又，则数列的前100项和为：26. 已知是等差数列的前n项和（1）证明是等差数
23、列；（2）设为数列的前n项和，若，求【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）写出，求出，化简，最终得出结论；（2）求出，求出公差，进一步求出，根据求和公式得出.【详解】（1）是等差数列； （2），公差又.27. 已知两个等差数列2，6，10，190及2，8，14，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列求这个新数列的各项之和【答案】1472【解析】【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.【详解】有两个等差数列2，6，10，190及2，8，14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，
24、26，38，50，182是两个数列的相同项.共有个，也是等差数列，它们的和为，这个新数列的各项之和为147228. 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？（2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？【答案】（1）小时； （2）.【解析】【分析】（1）根据条件求出时间的间隔，即可求得18时，最后一辆车行驶的时间；（2）每辆车行驶的时间构成数列，结合等差数列的求和公式进行计算，即可求解.【详解】（1）第一辆车出发事件为14时，每辆车的
25、间隔事件为，即为小时，则第15辆车在小时，最后一辆车出发的事件为，所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟.（2）设每辆车行驶的时间构成数列，由题意可得构成首项为，公差为的等差数列，则15辆车行驶的时间的和为小时，所以行驶的总里程为.29. 已知等差数列的公差为d，求证你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？【答案】证明和解释见解析.【解析】【分析】由通项公式可以证得结果.【详解】因为等差数列的公差为，所以.在斜率为的直线：上任取两点，则，即公差为的等差数列的图象是由点组成的集合，这些点均匀分布在直线上.30. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列（1）写出数列的一个递推公式；（2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用每一层的小球的数量找到递推关系得解；（2）根据递推关系结合等差数列的求和公式即可得解.【详解】（1）由题意可知，；所以数列的一个递推公式为；（2）由题意，故，所以数列的一个通项公式为.
