1、4.4数学归纳法例题1. 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立【答案】证明见解析【解析】【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.【详解】（1）当时，左边，右边，式成立（2）假设当时，式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是，即当时，式也成立，由（1）（2）可知，式对任何都成立练习2. 下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当时，证明：假设当时，等式成立，即则当时，左边=右边所以当时，等式也成立由此得出，对任何，等式都成立（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是证明，当时，左边=，右边，等式成立假设当时，等式
2、成立，即则当时，上面两式相加并除以2，可得，即当时，等式也成立由可知，等差数列的前n项和公式是【答案】（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【解析】【分析】根据数学归纳法分为两步，证明当时，结论成立，假设当时，结论成立，当时，应用归纳假设，证明时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.3. 用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是【答案】证明见解析【解析】【分析】
3、根据数学归纳法的证明方法，即可作出证明.【详解】由题意，等比数列的首项为，公比为，当时，显然满足；假设时，成立，则当时，成立，由可知，对于任意，都有成立.证明：前项和公式，当时，成立；假设时，成立，则当时，成立，由可知，对于任意，都有成立.例题 4. 用数学归纳法证明.【答案】见解析【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.【详解】证明：当时，左边，右边，等式成立；假 设 当 时等式成立，即.那么，即当时等式也成立.由知，等式对任何都成立.【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.5. 已知数列满足，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明【答案】，证明见
4、解析【解析】【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.【详解】由，可得由，可得同理可得，归纳上述结果，猜想下面用数学归纳法证明这个猜想（1）当时，式左边，右边，猜想成立（2）假设当时，式成立，即，那么，即当时，猜想也成立由（1）（2）可知，猜想对任何都成立6. 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论【答案】，且时，证明见解析【解析】【分析】计算和时的情况猜想：时，利用数学归纳法证明得到答案.【详解】由已知可得当时，由，可得；当时，由，可得由此，我们猜想，当，且时，下面用数学归纳法证明这个猜想（1）当时，由
5、上述过程知，不等式成立（2）假设当（，且）时，不等式成立，即，由，可得，所以于是，所以，当时，不等式也成立由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数n都成立练习7. 用数学归纳法证明：【答案】证明见解析【解析】【分析】按照数学归纳法的步骤严格证明即可.【详解】（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立；（2）假设当时等式成立，即，则当时，左边=右边.所以，当时，等式成立；由（1）（2）可知，对.【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8. 若数列，的前n项和为，计算，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明【答案】，证明见解析.【解
6、析】【分析】逐个计算即可；根据猜想，再按照数学归纳法的步骤，证明结论.【详解】解： ，；由，猜想 ，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.时，成立；假设时，有成立，则当时，所以，时，猜想也成立，故由，可知，猜想对都成立.9. 观察下列两个数列，：数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，；数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，猜想从第几项起小于，并证明你的结论【答案】从第项起，证明见解析.【解析】【分析】先写出的通项公式，再根据题中数据猜想从第项起， 利用数学归纳法证明当时，即可.【详解】解：根据题意可得：数列的
7、通项公式为，数列的通项公式为，由， 猜想从第项起， 即证当时，当时，显然，猜想成立；假设当时，猜想成立，即，当时，即，即当时，猜想成立，由可知，当时，都有，即10. 猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论【答案】，证明见解析【解析】【分析】由可得，代值计算即可求前4项，归纳出数列通项，用数学归纳法证明：（1）当时，去证明等式成立；（2）假设当时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当时，等式也成立即可【详解】由可得，得，推测下面用数学归纳法证明：当时，左边，右边，结论成立假设时等式成立，有，则当时，故当时，结论也成立由可知，对任何都有习题44一选择题11. 用数学归纳法证明下列等式
8、：要验证当时等式成立，其左边的式子应为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合题意直接代入当n=1时，即可得到结果.【详解】由题意，当时，左边故选：C二解答题12. 用数学归纳法证明：（1）；（2）；（3）【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析.【解析】【分析】先证时等式成立；再假设时等式成立，证明时等式也成立即可.【详解】(1)当时，等式左边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时，故时等式成立，综上可知，等式成立.(2) 当时，等式左边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时，故时等式成立，综上可知，等式成立.(3) 当时，等式左
9、边，右边，所以等式成立；假设时等式成立，即，则当时， ，故时等式成立，综上可知，等式成立.13. 已知数列满足，计算，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】，证明见解析【解析】【分析】由，且即可求得，的值，从而可猜想的通项公式，利用数学归纳法证明，分三步：当时，猜想成立；设当时，猜想成立，去证明时猜想也成立，综上所述，即可证得猜想成立【详解】由得，同理可求，猜想证明：当时，猜想成立设当时，猜想成立，即，则当时，有，所以当时猜想也成立综合，猜想对任何都成立14. 已知数列，的前n项和为计算，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明【答案】，证明见解析【解析】【分析】根据题意计算的值，猜想
10、，结合数学归纳法证明方法，即可作出证明.【详解】由题意，数列，可得，可以看出，上面的四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数表示为，所以可猜想，数学归纳法证明如下：当时，左边，右边，猜想成立；假设时，猜想成立，即，当时，所以当时，猜想也成立，由可知，对任意都有成立，所以.15. 用数学归纳法证明：【答案】见解析【解析】【分析】利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，假设当时成立，证明当时等式成立即可.【详解】解：（1）当时，左边=，右边=，等式成立，（2）假设当时，等式成立，即，当时，+，即当时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何都成立，故.16. 已知数列，的通项公式分别为，其中
11、，试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论【答案】或者且，证明见解析【解析】【分析】由出发，构造函数，根据函数的单调性即可推断证明.【详解】解：，即，两边同时取对数得：，即 ，即，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，又，故当时，成立，当时，即，即或者且时，有，即.17. 已知数列满足，试用数学归纳法证明并比较与的大小关系【答案】证明见解析，【解析】【分析】先验证当时处理，然后假设当时成立，那么时，若，得出矛盾，即可证得结论，之后利用作差比较出大小.【详解】证明：，当时，成立，假设当时成立，则，那么时，若，则，矛盾，故，因此，因此，18. 证明：能够被6整除【答案】见解析【解析】【分析】利用数
12、学归纳法即可证明.【详解】解：当时，显然能够被6整除，命题成立；假设当时，命题成立，即能够被6整除，当时，由假设知：能够被6整除，而为偶数，故能够被6整除，故能够被6整除，即当时，命题成立，由可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除19. 一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明【答案】，证明见解析【解析】【分析】设即可求得（1），（2），（3）；假设存在常数，使得对一切自然数都成立，由（1），（2），（3）的值可求得，；再用数学归纳法证明即可【详解】设，（1），（2）
13、，（3）；假设存在常数，使得对一切自然数都成立，则（1），同理，由（2）得，由（3）得联立，解得，证明：当时，显然成立；假设时，则时，即时，结论也成立综合，知，存在常数，使得对一切自然数都成立20. 已知命题：设，为非负实数，为正实数，若，则请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题【答案】命题推广形式为：设为非负实数，为正实数，若，则；证明见解析.【解析】【分析】先证时不等式成立，再假设时不等式成立，根据假设证当时，不等式成立即可.【详解】用数学归纳法证明如下：当时，有，所以不等式成立；假设时不等式成立，即设为非负实数，为正实数，若，则.则当时，需证：设为非负实数，为正实数，若，则，因为，所以，且，所以 ，所以因为，所以 ，所以由归纳假设可得 ，从而，又由，所以 ，故当时不等式成立.由知，对一切正整数，所推广的命题成立.
