1、5.2导数的运算521基本初等函数的导数例1 求下列函数的导数：（1）；（2）解：（1）；（2）例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？解：根据基本初等函数的导数公式表，有所以所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨 练习1. 求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）【解析】【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；【小问1详解
2、】解：因为，所以；【小问2详解】解：因为，所以；【小问3详解】解：因为，所以；【小问4详解】解：因为，所以；【小问5详解】解：因为，所以；【小问6详解】解：因为，所以；2. 求下列函数在给定点的导数：（1）在处的导数；（2）在处的导数；（3）在处的导数；（4）在处的导数【答案】(1) ；(2) ；(3) ； (4) .【解析】【分析】运用求导公式对所给函数进行求导，然后再求所求点的导数值.【详解】(1)因为，所以 ，所以在处的导数为；(2)因为，所以 ，所以在处的导数为；(3)因为，所以 ，所以在处的导数为；(4)因为，所以 ，所以在处的导数为.3. 求余弦曲线在点处的切线方程【答案】【解析】
3、【分析】求导得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.【详解】因为，则，可得曲线在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为，故答案为：.4. 求曲线在点处的切线方程【答案】【解析】【分析】先求导数，然后求出切线的斜率，即可得到切线方程.【详解】解：，所以切线方程为，即522导数的四则运算法则例3 求下列函数的导数：（1）；（2）解：（1）；（2）例4 求下列函数的导数：（1）；（2）解：（1）（2）例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化
4、率：（1）90%； （2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数（1）因为，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨（2）因为，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知，它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快练习1运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解51节例2你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？5. 求下列
5、函数的导数：（1）；（2）；（3）（4）；（5），（6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】【分析】运用导数求导法则直接求导即可得到结果.【详解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）6. 求曲线在点处的切线方程【答案】【解析】【分析】先求解出，然后求解出，由此可写出切线的点斜式方程并将其转化为一般式方程.【详解】因为，所以，所以切线方程为：，即为.523简单复合函数的导数例6 求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）解：（1）函数可以看作函数和的复合函数根据复合函数的求导法则，有（2）函数可以看作函数和的复合函数根据复合函数的求导法则，有（3）函数可以看作函数和的复合
6、函数根据复合函数的求导法则，有例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式求函数y在时的导数，并解释它的实际意义解：函数可以看作函数和复合函数，根据复合函数的求导法则，有当时，它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为 练习7. 求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；【小问1详解】解：因为，所以【小问2详解】解：因为，所以【小问3详解】解：因为，所以【小问4详解】解：因为，所以【小问5详解】解：因为，所以【小问6详
7、解】解：因为，所以8. 求下列函数在给定点的导数：（1）在处的导数；（2）在处的导数【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可；（2）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可.【详解】（1）因为可以看作函数和的复合函数，所以，所以当时，；（2）因为可以看作函数和的复合函数，所以，所以当时，.9. 求曲线在点处的切线方程【答案】【解析】【分析】求出曲线在点处的切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】设，则，则，因此，曲线在点处的切线方程为，即.习题：5210. 求下列函数的导数；（
8、1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【小问1详解】解：因为，所以；【小问2详解】解：因为，所以；【小问3详解】解：因为，所以；【小问4详解】解：因为，所以；【小问5详解】解：因为，所以【小问6详解】解：因为，所以11. 求下列函数的导数（1）（2）（3）；（4）（5）（6）【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）【解析】【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：因为，所以【小问
9、3详解】解：因为，所以【小问4详解】解：因为，所以【小问5详解】解：因为，所以【小问6详解】解：因为，所以12. 已知函数，且，求【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得；【详解】解：因为，所以，因为，所以，解得13. 已知函数（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）运用函数乘积的求导法则即可求出导数；（2）求导后计算出切线斜率，然后计算出切线方程.【详解】（1）由题意，故函数的导数为（2）易知所求切线的斜率存在，设斜率为，则，又当时，所以切点为（1,0），则切线的方程为即，故这个函数的图象在处的切线方程为.1
10、4. 求曲线在点处的切线方程【答案】.【解析】【分析】由题意可得，并得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：，所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：，即为.15. 已知函数满足，求在的导数【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导函数，再将代入计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，解得16. 设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程【答案】【解析】【分析】结合导数的几何意义即可.【详解】令得，则点的坐标为.，.曲线在点处的切线方程为，即.17. 已知函数，求的导数，并求出的解集【答案】；的解集为.【解析】【分析】先求导函数，再解，得到的
11、解集.【详解】的定义域为，所以。令，解得：.所以的解集为：18. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体如果最初有氡气，那么t天后，氡气的剩余量为（参考数值，）（1）氡气的散发速度是多少？（2）的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？【答案】（1） （2），表示在第7天附近，氡气大约以25.5克天的速度自然散发【解析】【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式计算可得；（2）将代入求值即可；【小问1详解】解：氡气的散发速度就是剩留量函数的导数，【小问2详解】解：因为所以它表示在第7天附近，氡气大约以25.5克天的速度自然散发19. 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m
12、）与时间t（单位：s）满足关系式（1）求关于t的导数，并解释它的实际意义；（2）当时，求运动员的滑雪速度；（3）当运动员的滑雪路程为时，求此时的滑雪速度【答案】（1），它的实际意义是滑雪时在t时刻的瞬时速度；（2）（m/s）；（3）（m/s）【解析】【分析】（1）求出由导数的几何意义可得答案；（2）把代入可得答案；（3）由题意得，解得代入可得答案【详解】（1）由已知得，它的实际意义是滑雪时在t时刻的瞬时速度.（2）因为，所以，所以运动员的滑雪速度（m/s）.（3）由题意得，解得或（舍去），因为，所以，当运动员的滑雪路程为时，此时的滑雪速度（m/s）20. 设曲线在点处的切线与直线垂直求a的值【
13、答案】【解析】【分析】求导后计算出在点（0,1）处的切线斜率，结合题中两直线垂直计算出结果.【详解】解：，所以在点（0,1）处的切线斜率为，又因为切线与直线垂直，.21请按步骤，完成下面的任务（1）利用信息技术工具，分别画出，0.5，0.1，0.05时，函数图象（2）画出函数图象，并与上面的四个图象比较，当h越来越小时，你观察到了什么？（3）猜测的导数，它与基本初等函数的导数公式表中的导数公式一样吗？21. 某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到假设在该海湾某一固定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）的关系由函数表示求下列时刻潮水的速度（精确到）（1）上午6：00； （2）上午9：00；（3）中午12：00； （4）下午6：00【答案】答案见解析.【解析】【分析】根据导数的几何意义求出，把（1）、（2）、（3）、（4）中对应的代入即可.【详解】由函数得，（1）上午6：00对应，所以上午6：00潮水的速度（m/h）； （2）上午9：00对应，所以上午9：00潮水的速度（m/h）；（3）中午12：00对应，所以中午12：00潮水的速度（m/h）； （4）下午6：00对应，所以下午6：00潮水的速度（m/h）.
