1、5.3导数在研究函数中的应用531函数的单调性例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）；（2），；（3）解：（1）因为，所以所以，函数在R上单调递减，如图5.3-4（1）所示 （1） （2） （3） 图5.3-4（2）因为，所以所以，函数在上单调递减，如图5.3-4（2）所示（3）因为，所以所以，函数在区间和上单调递增，如图5.3-4（3）所示例2 已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图象的大致形状解：当时，可知在区间上单调递增；当，或时，可知在区间和上都单调递减；当，或时，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”综上，函数图象的大致形状如图5.3-5所示 图5.3-
2、5练习1. 判断下列函数的单调性：（1）； （2）【答案】（1）在单调递减, 在上单调递增.（2）在单调递减，在上单调递增.【解析】【分析】求出，分别令，即可解出的单调递增、递减区间.【详解】（1）,令，所以在上单调递增，在单调递减.（2），令，所以在上单调递增，在单调递减.2. 利用导数讨论二次函数的单调区间【答案】答案见解析【解析】【分析】由二次函数解析式得且，讨论、情况下的单调区间即可.【详解】由题设知：，而时有，当时，单调递增，则上，单调递减；上，单调递增；当时，单调递减，则上，单调递增；上，单调递减；综上，时在上递减，上递增；时在上递增，上递减；3. 函数的图象如图所示，试画出函数图
3、象的大致形状【答案】图象见解析【解析】【分析】由图知：、上，上有且处不存在导数值，即可画出的大致图象.【详解】由图知：时，为定值，即；时，单调递减，即导数值小于0；时，为定值，即；处的左右导数不相等，故此处不可导.例3 求函数的单调区间解：函数的定义域为R对求导数，得令，解得，或和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示 表5.3-1x200单调递增单调递减单调递增所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图5.3-6所示 图5.3-6例4 设，两个函数的图象如图5.3-8所示判断，的图象与，之间的对应关系 图5.3-8解：因为，所以，当时，；当时，；当时，所以
4、，在上都是增函数在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”所以，的图象依次是图5.3-8中的，练习4. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）； （2）【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为;（2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为和;【解析】【分析】根据导数判断函数的单调性即可.【详解】(1)因为，所以，令解得或，所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为;(2)因为，所以，令解得或，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和;5. 证明函数在区间上单调递减【答案】证明见解析【解析】【分析】对函数进行求导，验证导数在区间上为负.【详解】因为，所以，
5、当时，所以函数在区间上单调递减6. 函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状【答案】图象见解析【解析】【分析】由的图象分析在不同区间的符号及变化规律，进而确定在对应区间的单调性，即可画出图象的大致形状【详解】由图知：时，且为定值；时，单调递减，且在上，在上；时，单调递增，且在上，在上；，单调递增且为斜率大于0的直线；，单调递增；，单调递减；，单调递减；，单调递增；532函数的极值与最大（小）值例5 求函数的极值解：因为，所以令，解得，或当x变化时，的变化情况如表5.3-2所示； 表5.3-2x200单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为函数
6、的图象如图5.3-12所示 图5.3-12练习7. 函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点【答案】是函数的极值点，是极大值点，是极小值点.【解析】【分析】根据极值点的导数为0，点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号.【详解】因为点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以是函数的极值点；又因为时，时，所以是极大值点；因为时，时，所以是极小值点.8. 求下列函数的极值：（1）（2）（3）；（4）【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）极小值为，极大值为；.（3）极小值为，极大值为；（4）极小值为，极大值为.【解析】【分析】求写出定义域，求
7、出导函数，研究单调性，用列表法求出极值.【详解】（1）的定义域为R，.令，解得：，列表得：x-0+所以函数的极小值为，无极大值.（2）的定义域为R，.令，解得：，列表得：x-33+0-0+54-54所以函数的极小值为，极大值为.（3）的定义域为R，.令，解得：，列表得：x-22-0+0-1022所以函数的极小值为，极大值为.（4）的定义域为R，.令，解得：，列表得：x-11-0+0-22所以函数的极小值为，极大值为.例6 求函数在区间上的最大值与最小值解：由例5可知，在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为又由于，所以，函数在区间上的最大值是4，最小值是上述结论可以从函数在区间上的图象（图5
8、.3-16）得到直观验证 图5.3-16练习9. 参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：（1），（2），（3），（4），【答案】（1）最小值为，最大值为20；（2）最大值为54，最小值为；（3）最大值为22，最小值为；（4）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）求出函数的对称轴，讨论与区间的关系，可得最值；（2）求出函数的导数，求出极值和端点处的函数值，可得最值；（3）求出导数，求得极值和端点的函数值，可得最值；（4）求出导数，求得区间，为递减，即可得到所求最值【详解】解：（1），对称轴为，可得的最小值为，即的最大值为20；（2），的导数为，令，可得， ，即有的最大值
9、为54，最小值为；（3），的导数为，由，可得舍去）， ，即有的最大值为22，最小值为；（4）的导数为，由，可得，则在，单调递减，即有的最大值为，最小值为10. 证明不等式：，【答案】证明见解析【解析】【分析】构造，利用导数研究在上单调性并确定最小值，即可证明结论.【详解】由题设，要证只需证即可，令，则，而，当时，单调递减；当时，单调递增；故，即在上恒成立，得证.例7 给定函数（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图象；（3）求出方程解的个数解：（1）函数的定义域为令，解得，的变化情况如表5.3-4所示 表5.3-4x0单调递减单调递增所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增
10、当时，有极小值（2）令，解得当时，；当时，所以，的图象经过特殊点，当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；当时，根据以上信息，我们画出的大致图象如图5.3-17所示 图5.3-17（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数由（1）及图5.3-17可得，当时，有最小值所以，关于方程的解的个数有如下结论：当时，解为0个；当或时，解为1个； 当时，解为2个例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是，其中r（单位：）是瓶子的半径已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶
11、饮料的利润最小？解：由题意可知，每瓶饮料的利润是，所以令，解得当时，；当时，因此，当半径时，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，单调递减，即半径越大，利润越低（1）半径为时，利润最大（2）半径为时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值练习11. 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，【答案】证明见解析【解析】【分析】构造，利用导数研究其在上的单调性并确定最小值，即可证明，进而画出、的图象.【详解】等价于，可令，则，在上，在上单调递增，即，在上恒成立，则，得证.12. 如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为为使所用
12、材料最省，圆的直径应为多少？【答案】【解析】【分析】假设圆的半径为，矩形的长为，根据题目信息得到关系式，再将图形的周长表示出来得，最后构造函数，求导判断函数取得最小值时的值即可.【详解】设圆的半径为，则半圆的面积为，所以矩形的宽为，设矩形的长为，则矩形的面积为，所以，即，该图形的周长为，令，所以，令解得：（舍负），所以函数在上单调递减，在上单调递增所以当即时，函数取得最小值.即圆的半径时，所需材料最省.习题5313. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1） （2），（3） （4）【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；【解析】【分析】分别对各函数求
13、导，通过导数与0的关系判断函数单调性，并求得单调区间即可.【详解】（1），则函数在上单调递减，即单减区间为，无单增区间；（2），则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；（3），则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；（4），则函数在上单调递增，即单增区间为，无单减区间；14. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1） （2）（3） （4）【答案】(1) 单调减区间为，单调增区间为；(2) 单调减区间为，单调增区间为；(3) 单调增区间为，无单调减区间；(4) 单调增区间为和，单调减区间为.【解析】【分析】根据二次函数的图像性质可以求解（1）（2），根据导数的正负可判断函数的单调
14、性及单调区间求解（3）（4）即可.【详解】（1）因为二次函数，所以抛物线的对称轴为，所以的单调减区间为，单调增区间为；（2）因为二次函数，所以抛物线的对称轴为，所以函数的单调减区间为，单调增区间为；（3）因为，所以，由于，所以函数的单调增区间为，无单调减区间；（4）因为，所以，令解得或，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.15. 如图，已知汽车在笔直的公路上行驶（1）如果表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点；（2）如果表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？【答案】（1）各点见图示；（2）各点处的加速度为0.【解析】【分析】（1）位移对于时间t的导数即速度
15、，故汽车速度等于0的点即图中导数为0的点；（2）速度对于时间t的导数即加速度，故（1）中各点对应的几何意义即加速度为0.【详解】如图所示：（1）因为位移对于时间t的导数即速度，故汽车速度等于0的点即图中导数为0的点；所以汽车速度等于0的点为；（2）因为速度对于时间t的导数即加速度，故（1）中标出点的意义是各点处的加速度为0.16. 导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处（1）导函数有极大值？（2）导函数有极小值？（3）函数有极大值？（4）函数有极小值？【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；【解析】【分析】根据导函数的图像判断导函数的极大值和极小值点；由导函数图像判断原函数的单调区间
16、，从而求得原函数的极大值和极小值点.【详解】（1）由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即为极大值点；（2）由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即，为极小值点；（3）由图知，函数单增；，函数单减；，函数单增；则函数在处取极大值；（4）由（3）知，函数在处取极小值；17. 求下列函数的极值：（1） （2）；（3） （4）【答案】（1）极小值，无极大值；（2）极大值，极小值；（3）极大值，极小值；（4）极小值，极大值.【解析】【分析】对各式进行求导，根据导数的符号确定单调区间及极值点，再根据的解析式求极值即可.【详解】（1），则，时，单调递减；时，单调递增；有极小值，无极大值
17、.（2），则有，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；极大值，极小值.（3），则有，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；极大值，极小值.（4），则有，时，单调递减；时，单调递增； 时，单调递减；极小值，极大值.18. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：（1），（2），（3），（4），【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为；（4）最大值为，最小值为.【解析】【分析】对各式进行求导，在给定区间内根据导数的符号确定单调区间，进而可得的极值，再结合端点值，即可得在区间内的最值.【详解】（1），则，时，单调递减；时，单调递增；在上的极小值为，
18、而，在上最大值为，最小值为.（2），则时有，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；在上的极大值为，极小值为，而， ，综上，在上最大值为，最小值为.（3），则时有，时，单调递减；在上最大值为，最小值为.（4），则时有，时，单调递增；时，单调递减；在上的极大值为，而， ，在上最大值为，最小值为.19. 将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？【答案】两段铁丝的长度均为.【解析】【分析】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为且，进而可得两个正方形的面积，利用导数求它的最小值，进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长)即可.
19、【详解】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，两个正方形的面积和，则，时，故当时，单调递减；当时，单调递增；当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为.综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小.20. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；（2）x多大时，方盒的容积V最大？【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据长方体的体积公式进行求解即可；（2）利用导数进行求解即可.【小问1详解】由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，所以方盒的容积；【小问2详解】解得：，当时函数递减，当时函数递增，
20、所以当时，盒的容积V最大.21. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小【答案】证明见解析；【解析】【分析】对方差求导，求得单调区间，在处取得最小值.【详解】，则当时，函数单减；，函数单增；方差在时，取得最小值.22. 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？【答案】当q=84时，利润最大【解析】【详解】先求出利润L关于q的函数关系式.,显然当q=84时，利润最大23. 已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当
21、售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？【答案】【解析】【分析】设销售价为x，则降价相对于售价是b时，降低了个10%，从而销量提高了个40%，从而求得可获得的利润为y，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x的值即为销售价.【详解】设销售价为x，可获得的利润为y，则，求导得，令，解得，由知，当时，函数单增；当时，函数单减；因此是函数的极大值点，也是最大值点；故当销售价为元/件时，可获得最大利润.24. 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1），；（2），【答案】（1）证明见解析；（
22、2）证明见解析.【解析】【分析】（1）构造，利用导数研究的单调性并确定最小值，即可证，然后画出、的图象；（2）构造、，利用导数研究它们在上的单调性，即可证结论，然后画出、的图象.【详解】（1）由题意，等价于，令，而，时，单调递减；时，单调递增；故在上恒成立，即，得证.（2）由题设，等价于，等价于，令，则，而，时，单调递减；时，单调递增；故在上恒成立，即，在上恒成立，令，则，而，时，单调递增，故在上恒成立，即，在上恒成立，综上，上恒成立.25利用信息技术工具，根据给定a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：（1）你能归纳函数图象人致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间