1、17.2勾股定理的逆定理第1课时 勾股定理的逆定理一、教学目标1能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；2灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题；3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系二、教学重难点重点：1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；2理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.三、教学过程（一）情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】 判断三角形的形状 如图，
2、正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都不对解析：正方形小方格边长为1，BC5，AC3，AB.在ABC中，BC2AC2501868，AB268，BC2AC2AB2，ABC是直角三角形故选A.方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系 如图，已知在正方形ABCD中，AEEB，AFAD.求证：CEEF.解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形
3、中，运用勾股定理的逆定理进行证明证明：连接CF.设正方形的边长为4，四边形ABCD为正方形，ABBCCDDA4.点E为AB中点，AFAD，AEBE2，AF1，DF3.由勾股定理得EF212225，EC2224220，FC2423225.EF2EC2FC2，CFE是直角三角形，且FEC90，即EFCE.方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法【类型三】 勾股数 判断下列几组数中，一定是勾股数的是()A1，B8，15，17C7，14，15 D.，1解析：选项A不是，因为和不是正整数；选项B是，因为82152172，且8、15、17
4、是正整数；选项C不是，因为72142152；选项D不是，因为与不是正整数故选B.方法总结：勾股数必须满足：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2b2c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题 如图，在四边形ABCD中，B90，AB8，BC6，CD24，AD26，求四边形ABCD的面积解析：连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积解：连接AC.B90，ABC为直角三角形，AC2AB2
5、BC28262102，AC10.在ACD中，AC2CD2100576676，AD2262676，AC2CD2AD2，ACD为直角三角形，且ACD90.S四边形ABCDSABCSACD681024144.方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等探究点二：互逆命题与互逆定理 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60的三角形是等边三角形解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题
6、的题设和结论将其互换即可得原命题的逆命题解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；(3)内错角相等，假命题；(4)等边三角形有一个角是60，真命题方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可四、板书设计1勾股定理的逆定理及勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形2互逆命题与互逆定理.五、教学反思在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主激励学生回答问题，激发学生的求知欲课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率学生在探讨
7、过程中也加深了对知识的理解和记忆第2课时 勾股定理的逆定理的应用一、教学目标1进一步理解勾股定理的逆定理；2灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题二、教学重难点重点：进一步理解勾股定理的逆定理；难点：灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题三、教学过程（一）情境导入某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？（二）合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】 运用勾股定理的逆定理求
8、角度 如图，已知点P是等边ABC内一点，PA3，PB4，PC5，求APB的度数解析：将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连接EP，判断APE为直角三角形，且APE90，即可得到APB的度数解：ABC为等边三角形，BABC.可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连EP，BEBP4，AEPC5，PBE60，BPE为等边三角形，PEPB4，BPE60.在AEP中，AE5，AP3，PE4，AE2PE2PA2，APE为直角三角形，且APE90，APB9060150.方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理解决问题的关键是根据题意构造APE为直角三角形【类型二】 运用勾股定理的逆
9、定理求边长 在ABC中，D为BC边上的点，AB13，AD12，CD9，AC15，求BD的长解析：根据勾股定理的逆定理可判断出ACD为直角三角形，即ADCADB90.在RtABD中利用勾股定理可得出BD的长度解：在ADC中，AD12，CD9，AC15，AC2AD2CD2，ADC是直角三角形，ADCADB90，ADB是直角三角形在RtADB中，AD12，AB13，BD5，BD的长为5.方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中【类型三】 勾股定理逆定理的实际应用 如图，是一农民建
10、房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形解：ABDC8m，ADBC6m，AB2BC282626436100.又AC29281，AB2BC2AC2，ABC90，该农民挖的不合格方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决方位角问题 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时
11、50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程由题意可知，ABE和ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出解：设MN与AC相交于E，则BEC90.AB2BC252122132AC2，A
12、BC为直角三角形，且ABC90.MNCE，走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由SABCABBCACBE，得BE海里由CE2BE2122，得CE海里，130.85(小时)51(分钟)，9时50分51分10时41分答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言四、板书设计1利用勾股定理逆定理求角的度数2利用勾股定理逆定理求线段的长3利用勾股定理逆定理解决实际问题五、教学反思在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想
