1、2021-2022 学年江西省九江市修水县九年级学年江西省九江市修水县九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。 ）分。 ） 1 （3 分）一元二次方程 7x22x0 的一次项是（ ） A7x2 B2x C2x D0 2 （3 分）若某几何体的三视图如图，则这个几何体是（ ） A B C D 3 （3 分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 1 个球，则取到的是红球的概率为（ ） A B C D 4 （3 分）若（b+d0） ，则的值为（ ） A B C1 D 5
2、（3 分）图 1 是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 2 所示的四边形 OABC若 ABBC1，AOB，则 OC2的值为（ ） A+1 Bsin2+1 C+1 Dcos2+1 6（3 分） 如图所示， 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C， OAOC 对称轴为直线 x1，则下列结论：abc0；acb+10；2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根，其中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每
3、小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 7 （3 分）若 y（a2）x23x+2 是关于 x 的二次函数，则 a 的取值范围是 8 （3 分）若 x1，x2是方程 x2+90 x20220 的两个根，则 x1x2 9 （3 分） 生物工作者为了估计小山上山雀数量， 先捕 20 只做上标记后放还， 一星期后， 又捕捉 40 只山雀，发现带标记的只有 2 只，可估计小山上有山雀 只 10（3 分） 如图， 在菱形 ABCD 中， BEAB 交对角线 AC 于点 E， 若D120， BE1， 则 AC 11 （3 分）如图，原点 O 是ABC 和ABC的位似中心，点 A（1，0）与点
4、 A（2，0）是对应点，ABC 的面积是，则ABC的面积是 12 （3 分）如图，在反比例函数图象中，AOB 是等边三角形，点 A 在双曲线的一支上，将AOB 绕点 O顺时针旋转 （0360 ） ，使点 A 仍在双曲线上，则 三三.（本大题共（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13 （3 分）解方程：3x（x1）x1 14 （3 分）计算：tan45+4cos30sin45tan60 15 （6 分）已知二次函数图象的顶点坐标是（1，4） ，且经过点（4，5） ，求该二次函数的表达式 16 （6 分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体
5、温某校开通了两种不同类型的测温通道共三条分别为：红外热成像测温（A 通道）和人工测温（B 通道和 C 通道） 在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园 （1）小明从 A 测温通道通过的概率是 （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小丽从不同类型测温通道通过的概率 17 （6 分）下面是由正方形 ABCD 和等腰 RtDCE 组成的图形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图 （1）在图 1 中，找出 CD 的中点 P； （2）在图 2 中，作DEFG，点 F，G 分别是 BE，AD 上的点，且不与点 C，A 重合 18 （6 分）已
6、知函数 yy1y2，其中 y1与 x 成正比例，y2与 x2 成反比例，且当 x1 时，y1；当 x3 时，y5求 y 关于 x 的函数解析式 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分）如图 1 是一台手机支架，图 2 是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点 A，B 转动，测量知 BC8cm，AB16cm当 AB，BC 转动到BAE60，ABC50时，求点 C 到 AE 的距离 （结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94，1.73） 20 （8 分）如图，菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，DEAC，
7、DEAC （1）求证：四边形 OCED 是矩形； （2）连接 AE，交 OD 于点 F，连接 CF，若 CFCE1，求 AC 长 21 （8 分）如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象交于 A（2，3） ，B（3，n）两点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，连接 AC，求ABC 的面积 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 22 （9 分）工厂加工某花茶的成本为 30 元/千克，根据市场调查发现，批发价定为 48 元/千克时，每天可销售 500 千克，为增大市场占有率，在保
8、证盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：批发价每千克降低 1 元，每天销量可增加 50 千克 （1）求工厂每天的利润 W 元与降价 x 元之间的函数关系 （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到 9750 元，并尽可能让利于民，则定价应为多少元？ 23 （9 分）已知 A（m+3，2）和 B（3，）是反比例函数 y图象上的两个点 （1）求出这个反比例函数的表达式，并在图中画出这个反比例函数的图象； （2）将这个函数图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，请在同一个坐标系中画出平移后的图象； （3）直线 yk1x 与双曲线 y交于 P
9、，Q 两点，如果线段 PQ 最短，求此时该直线的表达式以及 PQ的长度 六、 （本大题共六、 （本大题共 12 分）分） 24 （12 分）如图 1，二次函数 ya（x+3） （x4）的图象交坐标轴于点 A，B（0，2） ，点 P 为 x 轴上一动点 （1）求该二次函数的解析式； （2）过点 P 作 PQx 轴，分别交线段 AB、抛物线于点 Q，C，连接 AC若 OP1，求ACQ 的面积； （3）如图 2，连接 PB，将线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PD当点 D 在抛物线上时，求点 D的坐标 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题
10、小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。每小题只有一个正确选项）分。每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）一元二次方程 7x22x0 的一次项是（ ） A7x2 B2x C2x D0 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0） ，在一般形式中，bx 叫一次项，其中 b 为一次项系数 【解答】解：一元二次方程 7x22x0 的一次项是2x 故选：C 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号 2 （3 分）若某几何体的三视图如图，则这个
11、几何体是（ ） A B C D 【分析】如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形和一个矩形，易得出该几何体的形状 【解答】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形和一个矩形， 故选：C 【点评】本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识 3 （3 分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 1 个球，则取到的是红球的概率为（ ） A B C D 【分析】随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数 【解答】解：取到的是红球的概率：P， 故选：A 【点评】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式
12、计算是解题的关键 4 （3 分）若（b+d0） ，则的值为（ ） A B C1 D 【分析】根据合比的性质进行解答即可 【解答】解：若（b+d0） ， 故选：A 【点评】此题考查了比例线段，熟练掌握合比的性质是解题的关键，是一道基础题 5 （3 分）图 1 是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 2 所示的四边形 OABC若 ABBC1，AOB，则 OC2的值为（ ） A+1 Bsin2+1 C+1 Dcos2+1 【分析】在 RtOAB 中，sin，可得 OB 的长度，在 RtOBC 中，根据勾股定理 OB2+BC2OC2，代入即
13、可得出答案 【解答】解：ABBC1， 在 RtOAB 中，sin， OB， 在 RtOBC 中， OB2+BC2OC2， OC2（）2+12 故选：A 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键 6（3 分） 如图所示， 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C， OAOC 对称轴为直线 x1，则下列结论：abc0；acb+10；2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根，其中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，
14、利用对称轴方程得到 b2a0，利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c0，则可对进行判断；利用对称性可判断点 B 在（2，0）的右侧，则当 x2 时，4a+2b+c0，则可对进行判断；利用 C（0，c） ，OAOC 得到 A（c，0） ，把 A（c，0）代入抛物线解析式可对进行判断；利用抛物线的对称性得到 B（2+c，0） ，则根据抛物线与 x 轴的交点问题可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； 点 A 到直线 x1 的距离大于 1， 点 B 到直线 x1 的距离大于 1，
15、 即点 B 在（2，0）的右侧， 当 x2 时，y0， 即 4a+2b+c0， a+b+c0，所以错误； C（0，c） ，OAOC， A（c，0） ， ac2bc+c0，即 acb+10，所以正确； 点 A 与点 B 关于直线 x1 对称， B（2+c，0） ， 2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根，所以正确 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左；当 a
16、 与 b 异号时，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与 y轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数由判别式确定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 7 （3 分）若 y（a2）x23x+2 是关于 x 的二次函数，则 a 的取值范围是 a2 【分析】利用二次函数定义进行解答即可 【解答】解：由题意得：a20， 解得：a2 故答案为：a2 【点评】此题主要考查了二
17、次函数定义，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为零 8 （3 分）若 x1，x2是方程 x2+90 x20220 的两个根，则 x1x2 2022 【分析】直接根据根与系数的关系求解 【解答】解：根据根与系数的关系得 x1x22022 故答案为：2022 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 9 （3 分） 生物工作者为了估计小山上山雀数量， 先捕 20 只做上标记后放还， 一星期后， 又捕捉 40 只山雀，发现带标记的只有 2 只，可估计小山上有山雀 400 只 【分析】捕捉 40 只麻雀，发现其中 2
18、只有标志说明有标记的占到 ，而有标记的共有 20 只，根据所占比例解得 【解答】解：估计小山上有山雀 20400（只） ， 故答案为：400 【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BEAB 交对角线 AC 于点 E，若D120，BE1，则 AC 3 【分析】分别求出 AE、EC 即可解决问题； 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，D120， CDAB，ABCD120， DAB18012060， BAEDAB30， BEAB， ABE90，EBCECB30， EBEC1， 在 RtABE
19、中，EAB30， AE2BE2， ACAE+EC2+13， 故答案为 3 【点评】本题考查菱形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 11 （3 分）如图，原点 O 是ABC 和ABC的位似中心，点 A（1，0）与点 A（2，0）是对应点，ABC 的面积是，则ABC的面积是 6 【分析】根据ABC 和ABC的位似比是 1：2，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得ABC的面积是 6 【解答】解：点 A（1，0）与点 A（2，0）是对应点，原点 O 是位似中心 ABC 和ABC的位似比是 1：2 ABC 和ABC的面积的比是 1：
20、4 又ABC 的面积是， ABC的面积是 6 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方 12 （3 分）如图，在反比例函数图象中，AOB 是等边三角形，点 A 在双曲线的一支上，将AOB 绕点 O顺时针旋转 （0360 ） ，使点 A 仍在双曲线上，则 30、180、210 【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解 【解答】解：根据反比例函数的轴对称性，A 点关于直线 yx 对称， OAB 是等边三角形， AOB60， AO 与直线 yx 的夹角是 15， 21530时点 A 落在双曲线上， 根据反比例函
21、数的中心对称性， 点 A 旋转到直线 OA 上时，点 A 落在双曲线上， 此时 180， 根据反比例函数的轴对称性，继续旋转 30时，点 A 落在双曲线上， 此时 210； 故答案为：30、180、210 【点评】本题考查了反比例函数的综合运用，旋转的性质，等边三角形的性质关键是通过旋转及双曲线的对称性得出结论 三三.（本大题共（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13 （3 分）解方程：3x（x1）x1 【分析】先移项得到 3x（x1）（x1）0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：3x（x1）（x1）0， （x1） （3x1）0， x10 或 3x1
22、0， 所以 x11，x2 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数学转化思想） 14 （3 分）计算：tan45+4cos30sin45tan60 【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，后算加减即可 【解答】解：原式1+4， 1+1， 【点评】此题主要考查了实数的运算以及特殊角的三角函数值，关键是掌握计算顺序，掌握特殊角的三角函数值 15 （6
23、 分）已知二次函数图象的顶点坐标是（1，4） ，且经过点（4，5） ，求该二次函数的表达式 【分析】利用待定系数法可求解析式 【解答】解：二次函数的顶点坐标是（1，4） ， 设抛物线的解析式为 ya（x1）24， 二次函数的图象经过点 A（4，5） 59a4， a1， 二次函数的表达式为 y（x1）24，即 yx22x3 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式， 二次函数的性质， 掌握待定系数法是本题的关键 16 （6 分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温某校开通了两种不同类型的测温通道共三条分别为：红外热成像测温（A 通道）和人工测温（B 通道和 C 通道）
24、 在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园 （1）小明从 A 测温通道通过的概率是 （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小丽从不同类型测温通道通过的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2） 根据题意画出树状图得出所有等情况数， 找出符合条件的情况数， 然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）共有三个通道，分别是红外热成像测温（A 通道）和人工测温（B 通道和 C 通道） ， 小明从 A 测温通道通过的概率是， 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 共有 9 种等可能的情况数，其中小明和小丽从不
25、同类型测温通道通过的有 4 种情况， 小明和小丽从不同类型测温通道通过的概率是 【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 17 （6 分）下面是由正方形 ABCD 和等腰 RtDCE 组成的图形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图 （1）在图 1 中，找出 CD 的中点 P； （2）在图 2 中，作DEFG，点 F，G 分别是 BE，AD 上的点，且不与点 C，A 重合 【分析】 （1）连接 AE 交 CD 于点 P，通过构造全等三角形，由全等三角形的对应边相等得到 CD 的中点P； （2）连接 AE 交 CD 于点
26、 P，得到 CD 的中点 P，连接 AC、BD 交于点 O，得到 AC、BD 的中点 O，连接并延长 OP 交 DE 于点 H，OP 是DBC 的中位线，则 OPBC，由平行线分线段成比例定理可得 DHDE，连接并延长 HC 交 AB 的延长线于点 I，则DCHCDB45，所以 CHBD，再由平行线分线段成比例定理得到 BABICD，则JIBJDC，到 BJCJ，得到ABC 的中位线 OJ，连接并延长 JO 交 AD 于点 G， 则点 G 为 AD 的中点， 得到ADE 的中位线 PG， 连接并延长 GP 交 CE 于点 F，即得到所求的平行四边形 DEFG 【解答】解： （1）如图 1， 作
27、法：连接 AE 交 CD 于点 P， 点 P 就是所求的 CD 的中点， 理由：四边形 ABCD 是正方形，DCE 是等腰直角三角形，且DCE90， ADPECP90，ADECCD， APDEPC， APDEPC（AAS） ， PDPC， 点 P 是 CD 的中点. （2）如图 2， 作法：1连接 AE 交 CD 于点 P， 2连接 AC、BD 交于点 O， 3连接并延长 OP 交 DE 于点 H， 4连接并延长 HC 交 AB 的延长线于点 I， 5连接 DI 交 BC 于点 J， 6连接并延长 JO 交 AD 于点 G， 7连接并延长 GP 交 CE 于点 F， 四边形 DEFG 就是所求
28、的平行四边形， 理由：BCD+ECD180， B、C、E 三点在同一条直线上， PDPC，ODOB， OPBC， 1， DHEH， DCHCDB45， CHBD， 1， BABICD， JBIJCD，JIBJDC， JIBJDC（ASA） ， BJCJ， OJAB， 1， GDGA， PEPA， PGDE， DGEF， 四边形 DEFG 是平行四边形 【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定等知识，经过图中已知或已经作出的两点作直线得到线段的中点是解题的关键 18 （6 分）已知函数 yy1y2，其中 y1与 x 成
29、正比例，y2与 x2 成反比例，且当 x1 时，y1；当 x3 时，y5求 y 关于 x 的函数解析式 【分析】首先，进而可得，再把当 x1 时，y1；当 x3 时，y5 代入可得，解方程可得 k1、k2的值，进而可得函数解析式 【解答】解：y1与 x 成正比例，y2与 x2 成反比例， ， ， 当 x1 时，y1；当 x3 时，y5， ， 解得：， 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析式的形式 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分）如图 1 是一台手机支架，图
30、2 是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点 A，B 转动，测量知 BC8cm，AB16cm当 AB，BC 转动到BAE60，ABC50时，求点 C 到 AE 的距离 （结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94，1.73） 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出 BM、BD，进而求出 CN即可 【解答】解：如图，过点 B、C 分别作 AE 的垂线，垂足分别为 M、N，过点 C 作 CDBM 于 D， 在 RtABM 中，A60，AB16cm， BMABsinA 16 8（cm） ， ABM906030，ABC50， CBD503020， BCD902070
31、， 在 RtBCD 中，BC8cm，BCD70， BDBCsin70 80.94 7.52（cm） ， CNDMBMBD 87.52 6.3（cm） ， 答：点 C 到 AE 的距离约为 6.3cm 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提 20 （8 分）如图，菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，DEAC，DEAC （1）求证：四边形 OCED 是矩形； （2）连接 AE，交 OD 于点 F，连接 CF，若 CFCE1，求 AC 长 【分析】 （1）根据菱形的性质得到 ACBD，OAOC，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的
32、性质得到 CFAFEF，得出 AE2，根据勾股定理即可得到答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为菱形， ACBD，OAOCAC， DOC90， DEAC，DEAC， OCDE， 四边形 OCED 为平行四边形， 又DOC90， 四边形 OCED 是矩形； （2）解：由（1）得：四边形 OCED 是矩形， ODCE，OCE90， O 是 AC 中点， F 为 AE 中点， CFAFEF， CFCE1， EF1， AE2， AC 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键 21 （8 分）如图，一次函数 ykx+
33、b 与反比例函数 y的图象交于 A（2，3） ，B（3，n）两点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，连接 AC，求ABC 的面积 【分析】 （1）把 A 的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把 B 的坐标代入反比例函数的解析式，求出 B 的坐标，把 A、B 的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出 BC|2|2，BC 边上的高是|3|+2，代入三角形的面积公式求出即可 【解答】解： （1）点 A（2，3）在 y的图象上， m6， 反比例函数的解析式为 y， n2， 点 A（2，3） ，B（3，2）在 yk
34、x+b 的图象上， 一次函数的解析式为 yx+1 （2）以 BC 为底，则 BC 边上的高为 3+25， SABC255， 答：ABC 的面积是 5 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 22 （9 分）工厂加工某花茶的成本为 30 元/千克，根据市场调查发现，批发价定为 48 元/千克时，每天可销售 500 千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价
35、措施，调查发现：批发价每千克降低 1 元，每天销量可增加 50 千克 （1）求工厂每天的利润 W 元与降价 x 元之间的函数关系 （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到 9750 元，并尽可能让利于民，则定价应为多少元？ 【分析】 （1）根据利润销售量（单价成本） ，列出函数关系式即可求解； （2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可； （3）首先由（2）中的函数得出降价 x 元时，每天要获得 9750 元的利润，进一步利用函数的性质得出答案 【解答】解： （1）由题意得： W（4830 x） （500+50 x）50 x2+4
36、00 x+9000， 答：工厂每天的利润 W 元与降价 x 元之间的函数关系为 W50 x2+400 x+9000； （2）由（1）得：W50 x2+400 x+900050（x4）2+9800， 500， x4 时，W 最大为 9800， 即当降价 4 元时，工厂每天的利润最大，最大为 9800 元； （3）50 x2+400 x+90009750， 解得：x13，x25， 让利于民， x13 不合题意，舍去， 定价应为 48543（元） ， 答：定价应为 43 元 【点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题 23 （9 分）已知 A（m+3
37、，2）和 B（3，）是反比例函数 y图象上的两个点 （1）求出这个反比例函数的表达式，并在图中画出这个反比例函数的图象； （2）将这个函数图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，请在同一个坐标系中画出平移后的图象； （3）直线 yk1x 与双曲线 y交于 P，Q 两点，如果线段 PQ 最短，求此时该直线的表达式以及 PQ的长度 【分析】 （1）根据点 A、B 坐标代入反比例函数即可求解求解后即可作图 （2）根据平移的特征，即可画出图形 （3）使 PQ 的长度最短，则直线 yk1x 必是二、四象限的角平分线，即：yx，与反比例函数联立求解方程，即可求出 P、Q 的坐标，即可求出 PQ
38、 的长度 【解答】解： （1）因为两点都在同一个反比例函数图象上， 2（m+3）3 解得 m6， y 作图如图所示 （2）平移后的图形如图所示 （3）如果线段 PQ 最短，则 yk1x 必是二、四象限的角平分线 故此时该直线的表达式为 yx， 由，解得或， P（，） ，Q（，） ， PQ4 【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，图形的平移，函数的图象，函数的交点求得求法，关键在于掌握各项基本知识，才能在题中应用，属于压轴题 六、 （本大题共六、 （本大题共 12 分）分） 24 （12 分）如图 1，二次函数 ya（x+3） （x4）的图象交坐标轴于点 A，B（0，2） ，点 P 为 x
39、轴上一动点 （1）求该二次函数的解析式； （2）过点 P 作 PQx 轴，分别交线段 AB、抛物线于点 Q，C，连接 AC若 OP1，求ACQ 的面积； （3）如图 2，连接 PB，将线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PD当点 D 在抛物线上时，求点 D的坐标 【分析】 （1）直接利用待定系数法求解析式即可； （2）令 y0，得到点 A 的坐标，设直线 AB 的解析式为 ykx+b，利用待定系数法得 AB 解析式，再根据坐标与点的位置关系及三角形面积公式可得答案； （3）设 P（t，0） ，过点 D 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 N，根据余角性质得NPDOBP，再根据全等三角形
40、的判定与性质可得点 D 的坐标，代入解析式求解可得答案 【解答】解： （1）将 B（0，2）代入 ya（x+3） （x4） ， 解得 a， y（x+3） （x4）x2x2 （2）令 y0，则（x+3） （x4）0， 解得 x3 或 x4， A（4，0） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ， 解得， 直线 AB 的解析式为 yx2， OP1，且 PC 与线段 AB 有交点 Q， P（1，0） ， PQx 轴， Q（1，） ，C（1，2） ， AP3，QC， SACQAPQC3 （3）设 P（t，0） ，如图：过点 D 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 N， PNDPOB90， 由题知BPD90，PBPD， OPB+NBD90， OPB+OBP90， NPDOBP， PNDBOP（AAS） ， NDDP，PNOB， D（t+2，t） ， 点 D 在抛物线上， t（t+2+3） （t+24） ， 解得 t1 或 t10， 点 D 的坐标为（3，1）或（8，10） 【点评】此题考查的是二次函数的性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键
