1、2022-2023学年江苏省淮安市盱眙县九年级上期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）1方程x290的解是（）Ax13，x23Bx0Cx1x23Dx1x232抛物线y2（x+1）2的顶点坐标为（）A（1，）B（1，）C（1，）D（1，）3在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（）A9.3，9.6B9.5，9.4C9.5，9.6D9.6，9.84若关于x的一元二次方程x22x+m0没有实数根，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm15甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S2如下表所示若选出一位成绩
2、较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应选的同学是（）甲乙丙丁777.57.5s20.450.20.20.45A甲B乙C丙D丁6如图，四边形ABCD内接于O，若B108，则D的大小为（）A54B62C72D827用扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6cm，则扇形的半径为（）A3cmB8cmC6cmD5cm8如图所示是二次函数yax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x1，给出五个结论：bc0；a+b+c0；4a2b+c0；方程ax2+bx+c0的根为x11，x23；当x1时，y随着x的增大而增大其中正确结论是（）ABCD二、填空题（共
3、8小题，每题3分，共24分）9将抛物线y2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式为 10天气预报说某天最高气温是9，最低气温为3，则该天气温的极差是 11在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有 个12已知扇形的圆心角为150，它所对应的弧长为20cm，则此扇形的面积是 cm213抛物线yx2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则x的取值范围是 14如图所示，AB为O的直径，点C在O上，且OCAB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足AEC65，连接AD，则BAD 度15三角形两边的长是3和4，第三边的长是方
4、程x212x+350的根，则该三角形的周长为 16如图，在平面直角坐标系中，直线yx与双曲线y交于A，B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为 三、解答题（本题共11小题，共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）17计算：（1）5x23x0；（2）x24x+1018已知关于x的方程x2+mx+30的一个根是1，求m的值和另一个根19在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图）如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽20在如图的方格纸
5、中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）（1）画出ABC向下平移3个单位后的A1B1C1；（2）画出ABC绕点O顺时针旋转90后的A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长21如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，ADBC，AC与BD相交于点FBE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E（1）求证：CBADAB；（2）若BEBF，求证：AC平分DAB22为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：x8.5B组：8.5x9C
6、组：9x9.5D组：9.5x10E组：x10根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？23体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次（1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的概率是多少（2）如果从小明开始踢，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率24如图，AB是O的直径，点C是O上一点，CAB的平分线AD交于点D，过点
7、D作DEBC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）过点D作DFAB于点F，连接BD若OF1，BF2，求BD的长度25某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品每降低2元，其销量可增加10件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品售价应降价多少元？求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值26阅读理解：小明热爱数学，在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理：任意平行四边形对角
8、线的平方和等于四条边的平方和如图1，在平行四边形ABCD中，AC2+BD2AB2+BC2+CD2+DA2由此，他探究得到三角形的一个性质：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍（1）说理证明：如图2，在ABC中，若点D为BC的中点，则有：AB2+AC22AD2+2BD2请你证明小明得到的三角形性质的正确性（2）理解运用：在ABC中，点D为BC的中点，AB4，AC3，BC6，则AD ；如图3，O的半径为6，点A在圆内，且OA4，点B和点C在O上，且BAC90，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ；（3）拓展延伸：如图4，已知O的半径为2，以A（2，2）为直角顶
9、点的ABC的另两个顶点B，C都在O上，D为BC的中点，则AD长的最大值为 27如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0），连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点
10、的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）1方程x290的解是（）Ax13，x23Bx0Cx1x23Dx1x23【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方即可得到方程的解解：x290，变形得：x29，开方得：x13，x23；故选：A【点评】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的依据是解题的关键2抛物线y2（x+1）2的顶点坐标为（）A（1，）B（1，）C（1，）D（1，）【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的顶点坐标解：抛物线y2（x+1）2，该抛物线的
11、顶点坐标为（1，），故选：B【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答3在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（）A9.3，9.6B9.5，9.4C9.5，9.6D9.6，9.8【分析】将折线统计图中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解：这10次射击成绩从小到大排列是：8.8，9.0，9.2，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，9.8，中位数是（9.4+9.6）29.5（环），9.6出现的次数最多，故众数为9.6环故选：C【点评】本题考查众数与中位数，
12、解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数4若关于x的一元二次方程x22x+m0没有实数根，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm1【分析】方程没有实数根，则0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围解：由题意知，44m0，m1故选：C【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根5甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S2如下表所示若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应选的同学是（）甲乙丙丁777.57.5s20.450.20.20.45A甲B乙C丙
13、D丁【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好解：丙的平均分最好，方差最小，最稳定，应选的同学是丙故选：C【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键6如图，四边形ABCD内接于O，若B108，则D的大小为（）A54B62C72D82【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可解：四边形ABCD内接于O，B108，D180B18010872，故选：C【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键7用扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周
14、长是6cm，则扇形的半径为（）A3cmB8cmC6cmD5cm【分析】首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，然后根据勾股定理求得圆锥的母线长就是扇形的半径解：底面周长是6cm，底面的半径为3cm，圆锥的高为4cm，圆锥的母线长为：5（cm），扇形的半径为5cm，故选：D【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的母线、高及底面半径围成一个直角三角形8如图所示是二次函数yax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x1，给出五个结论：bc0；a+b+c0；4a2b+c0；方程ax2+bx+c0的根为x11，x23；当x1时，y随着x的增大而增大其中正确
15、结论是（）ABCD【分析】根据抛物线的开口方向得a0，对称轴在y轴右侧，得b0，抛物线与y轴的正半轴相交，得c0，故正确；当x1时，ya+b+c0，故错误；当x2时，y4a2b+c0，故错误；根据对称轴为x1，与x轴交于点（3，0）可得与x轴的另一个交点（1，0），故正确；由抛物线的对称性，得正确解：抛物线的开口向下，a0，对称轴x1在y轴右侧，b0，抛物线与y轴的正半轴相交，c0，故正确；当x1时，ya+b+c0，故错误；当x2时，y4a2b+c0，故错误；对称轴为x1，与x轴交于点（3，0），与x轴的另一个交点（1，0），故正确；由图象得x1时，y随着x的增大而增大，故正确；正确结论有，故
16、选：D【点评】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，是二次函数的综合题型，是一道数形结合题，要熟悉二次函数的性质，观察图形，得出正确结论二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）9将抛物线y2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式为y2x2+3【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加3即可得新函数解析式y2x2+3解：y2x2向上平移3个单位长度，新抛物线为y2x2+3【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式10天气预报说某天最高气温是9，最低气温为3，则该天气温的极差是12【分析】根据
17、极差的公式计算，即用9减去3即可解：这天气温的极差是9（3）12故答案为12【点评】本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值11在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有12个【分析】根据红球的概率公式列出方程求解即可解：设袋中的球共有m个，其中有4个红球，则摸出红球的概率为，根据题意有，解得：m12故本题答案为：12【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）12已知
18、扇形的圆心角为150，它所对应的弧长为20cm，则此扇形的面积是240cm2【分析】首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解解：设扇形的半径是R，由题意得：l20，解得：R24cm，则扇形的面积SlR20242410240cm2故答案是：240【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是关键13抛物线yx2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则x的取值范围是 3x1【分析】根据抛物线的对称轴为x1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（3，0），结合图象求出y0时，x的范围解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x1，已知一个交点为（1，0
19、），根据对称性，则另一交点为（3，0），所以y0时，x的取值范围是3x1故答案为：3x1【点评】此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线yx2+bx+c的完整图象14如图所示，AB为O的直径，点C在O上，且OCAB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足AEC65，连接AD，则BAD20度【分析】由直角三角形的性质得出OCE25，由等腰三角形的性质得出ODCOCE25，求出DOC130，得出BODDOCCOE40，再由圆周角定理即可得出答案解：连接OD，如图：OCAB，COE90，AEC65，OCE906525，OCOD，ODCOCE25，DOC1802525130，BODDOC
20、COE40，BADBOD20，故答案为：20【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键15三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x212x+350的根，则该三角形的周长为 12【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长解：解方程x212x+350，得x15，x27，1第三边7，第三边长为5，周长为3+4+512【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论16如图，在平面直角坐标系中，直线yx与双曲线y交于A，B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长为
21、1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为 【分析】确定OQ是ABP的中位线，OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BCBPPC413，则（m2）2+（m2）232，即可求解解：连接BP，点O是AB的中点，则OQ是ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQBP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BCBPPC413，设点B（m，m），则（m2）2+（m2）232，解得：m2，km（m），故答案为【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定OQ是ABP的中位线是本题解题的关键三、解答题（本题共11小题，共102分。解答应写
22、出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）17计算：（1）5x23x0；（2）x24x+10【分析】（1）提公因式法因式分解，可得结论；（2）直接利用配方法解方程得出答案解：（1）5x23x0，x（5x3）0，x0或5x30，x10，x2；（2）x24x+10，x24x1，x24x+41+4，（x2）23，x2，解得：x12+，x22【点评】此题主要考查了因式分解法以及配方法解一元二次方程，熟练应用因式分解法解方程是解题关键18已知关于x的方程x2+mx+30的一个根是1，求m的值和另一个根【分析】先把x1代入关于x的方程x2+mx+30求出m的值，再把m的值代入方程，利用根与系数的关系即可得出结
23、论解：关于x的方程x2+mx+30的一个根是1，12+m+30，m4，把m4代入方程x2+mx+30得x24x+30，设方程的另一个根为，则1+4，3【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q0的两根时，x1+x2p，x1x2q是解题的关键19在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图）如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽【分析】设金色纸边的宽为x分米，关键题意列出方程，求出方程的解即可解：设金色纸边的宽为x分米，方程为（8+2x）（6+2x）80，解方程得：x8或x1，经检验x8或1都
24、是所列方程的解，但是宽不能为负数，即x1，答：金色纸边的宽是1分米【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键20在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）（1）画出ABC向下平移3个单位后的A1B1C1；（2）画出ABC绕点O顺时针旋转90后的A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长【分析】（1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可；（2）根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，顺次连接即可点A旋转到A2所经过的路线是半径为OA，圆心角是90度的扇形的弧长解：（1）画出A1B
25、1C1；（2）画出A2B2C2连接OA，OA2，点A旋转到A2所经过的路线长为【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是先确定图形的关键点；利用旋转性质作出关键点的对应点；按原图形中的方式顺次连接对应点要注意旋转中心，旋转方向和角度21如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，ADBC，AC与BD
26、相交于点FBE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E（1）求证：CBADAB；（2）若BEBF，求证：AC平分DAB【分析】（1）根据圆周角定理得到ACBADB90，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到EBFE，根据切线的性质得到ABE90，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论【解答】（1）证明：AB是半圆O的直径，ACBADB90，在RtCBA与RtDAB中，RtCBARtDAB（HL）；（2）解：BEBF，由（1）知BCEF，EBFE，BE是半圆O所在圆的切线，ABE90，E+BAE90，由（1）知D90，DAF+AFD90，AFDBFE
27、，AFDE，DAF90AFD，BAF90E，DAFBAF，AC平分DAB【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键22为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：x8.5B组：8.5x9C组：9x9.5D组：9.5x10E组：x10根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了 100名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间
28、不足9小时的学生有多少人？【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数；（2）根据（1）中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据，可以计算出A组和E组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据D组的人数和调查的总人数，可以计算出D组所对应的扇形圆心角的度数；（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人解：（1）2020%100（名），即本次共调查了100名学生，故答案为：100；（2）选择E的学生有：10015%15（人），选择A的学生有：100204020155（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）36072，即D
29、组所对应的扇形圆心角的度数是72；（4）1500375（人），答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答23体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次（1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的概率是多少（2）如果从小明开始踢，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次踢后，足球踢到了小华处的情况，再利用概率公式求解即可求得答案（2）首先根据题意
30、画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过踢三次后，球踢到了小明处的情况，再利用概率公式求解即可求得答案解：（1）画树状图得：共有4种等可能的结果，经过两次踢后，足球踢到了小华处的有1种情况，足球踢到了小华处的概率是：；（2）画树状图得：共有8种等可能的结果，经过踢三次后，球踢到了小明处的有2种情况，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率为：【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比24如图，AB是O的直径，点C是O上一点，CAB的平分
31、线AD交于点D，过点D作DEBC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）过点D作DFAB于点F，连接BD若OF1，BF2，求BD的长度【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ADODAE，从而ODAE，由DEBC得E90，由两直线平行，同旁内角互补得出ODE90，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出ADB90，再由OF1，BF2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明DBFABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值解：（1）连接OD，如图，OAOD，OADADO，AD平分CAB，DAE
32、OAD，ADODAE，ODAE，DEBC，E90，ODE180E90，DE是O的切线；（2）AB是O的直径，ADB90，OF1，BF2，OB3，AF4，BA6DFAB，DFB90，ADBDFB，又DBFABD，DBFABD，BD2BFBA2612BD2解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键25某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品每降低2元，其销量可增加10件（1）求商场经营该商品原
33、来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品售价应降价多少元？求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值【分析】（1）根据总利润单件利润销量即可列式计算；（2）分别表示出销量和单件的利润即可表示出总利润，从而列出方程求解；列出二次函数关系式后配方即可确定最大利润值解：（1）原来一天可获利润是：（200160）1004000元；（2），依题意，得（200160x）（100+5x）4320解得：x4或x16则每件商品应降价4元或16元；y（200160x）（100+5x）5（x10）2+4
34、500当x10时，y有最大值，最大值是4500元，【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是能够表示出销量和单件的利润，难度不大26阅读理解：小明热爱数学，在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理：任意平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和如图1，在平行四边形ABCD中，AC2+BD2AB2+BC2+CD2+DA2由此，他探究得到三角形的一个性质：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍（1）说理证明：如图2，在ABC中，若点D为BC的中点，则有：AB2+AC22AD2+2BD2请你证明小明得到的三角形性质的正确性（2）理解运用：在ABC中
35、，点D为BC的中点，AB4，AC3，BC6，则AD；如图3，O的半径为6，点A在圆内，且OA4，点B和点C在O上，且BAC90，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ；（3）拓展延伸：如图4，已知O的半径为2，以A（2，2）为直角顶点的ABC的另两个顶点B，C都在O上，D为BC的中点，则AD长的最大值为 3【分析】（1）过点A作AEBC于点E，设BDCDx，DEy，由AB2AE2+BE2，AC2AE2+CE2，AD2AE2+DE2，可得AB2+AC22AE2+（xy）2+（x+y）22AE2+2x2+2y2，即得AB2+AC22AE2+2BD2+2DE22（AE2+DE2）+2BD22
36、AD2+2BD2；（2）解：由B2+AC22AD2+2BD2可得42+322AD2+232，故AD；连接OC，OF，OB，AF，由AF是ABC的中线，EF是AFO的中线，可得BF2AB2+AC2AF2，OF22EF2+2AE2AF2，而OF2OB2BF2，可推得4EF22OB2OA2，故EF；（3）连接OA，取OA的中点E，连接DE，AD，由（2）的可知：DE2OB2OA28，有DE2，当A，E，D共线时，AD长的最大值为3【解答】（1）证明：过点A作AEBC于点E，如图，设BDCDx，DEy，在RtABE中，AB2AE2+BE2，同理可得：AC2AE2+CE2，AD2AE2+DE2，AB2+
37、AC22AE2+CE2+BE22AE2+（xy）2+（x+y）22AE2+2x2+2y2，BD2x2，DE2y2，AB2+AC22AE2+2BD2+2DE22（AE2+DE2）+2BD22AD2+2BD2；（2）解：由（1）知AB2+AC22AD2+2BD2，点D为BC的中点，BC6，BD3，AB4，AC3，42+322AD2+232，AD；故答案为：；连接OC，OF，OB，AF，如图，AF是ABC的中线，EF是AFO的中线，2AF2+2BF2AB2+AC2，2EF2+2AE2AF2+OF2，BF2AB2+AC2AF2，OF22EF2+2AE2AF2，OBOC，OF是BOC的中线，OFBC，O
38、F2OB2BF2，2EF2+2AE2AF2OB2（AB2+AC2AF2），4EF22OB2AB2AC2+4AF24AE2，BAC90，AB2+AC2BC2（2AF）24AF2，4EF22OB24AE2，OA2AE，4AE2OA2，4EF22OB2OA2，EF2OB2OA262（4）210，EF（负值已经舍弃），故答案为 ；（3）解：连接OA，取OA的中点E，连接DE，AD，如图：A（2，2），OA2，由（2）的可知：DE2OB2OA2（2）2（2）28，DE2，在ADE中，AE，DE2，当A，E，D共线时，AD长的最大值为+23，如图：故答案为：3【点评】本题考查圆的综合应用，涉及三角形的中线
39、、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题27如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0），连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛
40、物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PHx轴，垂足为E，利用S四边形BCPQSABCSAPQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明PFMQEP，得到MFPEt，PFQE42t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（1，0），则 ，解得：；（2）由（1）得：抛物线表
41、达式为yx2+2x+3，C（0，3），A（3，0），OAC是等腰直角三角形，BAC45，由点P的运动可知：APt，过点P作PHx轴，垂足为H，如图，AHPHt，即H（3t，0），又Q（1+t，0），S四边形BCPQSABCSAPQ（t2）2+4，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC，AB4，0t3，当t2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；（3）存在假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MPPMQ是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPF+QPE90，又MPF+PMF90，PMFQPE，在PFM和QEP中，PFMQEP（AAS），MFPEt，PFQE42t，EF42t+t4t，又OE3t，点M的坐标为（32t，4t），点M在抛物线yx2+2x+3上，4t（32t）2
