1、2021-2022 学年山东省济宁市梁山县九年级学年山东省济宁市梁山县九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分） 1. 用公式法解一元二次方程32 4 = 8时，化方程为一般式，当中的，依次为( ) A. 3，4，8 B. 3，4，8 C. 3，4，8 D. 3，4，8 2. 抛物线 = 2+ 2 4的开口方向，对称轴和轴交点坐标分别是( ) A. 开口向下，对称轴是直线 = 1，与轴交点坐标是(0,4) B. 开口向下，对称轴是直线 = 1，与轴交点坐标是(0,4) C. 开口向上，对称轴是直线 = 1，与轴交点坐标是(0,4) D. 开口向下，对称
2、轴是直线 = 1，与轴交点坐标是(0,4) 3. 已知点(,1)与点(4,)关于原点对称，则 的值为( ) A. 5 B. 3 C. 3 D. 5 4. 投掷一枚质地均匀的骰子， 挪得的点数作为的值， 则“函数 =142 2 + 的图象与轴有公共点”这一事件为( ) A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定是什么事件 5. 如图， 经过正方形的顶点，分别与，相交于点，则的度数为( ) A. 45 B. 80 C. 90 D. 100 6. 反比例函数 = 6图象上有三个点(2,1)，(1,2)，(3,3)，则1，2，3的大小关系是( ) A. 1 2 3 B. 3 1
3、2 C. 2 1 3 D. 3 2 0；方程2+ + = 3有两个相等的实数根；抛物线与轴的另一个交点是(1,0)；当1 4时，有2 0)的图象于1、2、3连接1、12、23则1= _ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19. 已知关于的方程2 ( + 3) + + 1 = 0 (1)求证：不论为何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长 20. 已知二次函数 = 2 4 + 3 (1)将二次函数表达式 = 2 4 + 3化成 = ( )2+ 的形式，并直接写出其顶点坐标； (2)完成下列表格并在如图所示的直角坐标
4、系内画出该函数的大致图象； 0 1 2 3 4 = 2 4 + 3 _ _ _ _ _ (3)根据图象直接回答：当_时，随的增大而减小；当 0且为10的整数倍)，销售价为元/套(利润率=利润成本) (1)求与之间函数关系式； (2)设每周销售利润为元，求与之间函数关系式，并求服装生产成本上涨多少元/套时，每周销售利润最大 24. 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点 (1)求证： = ； (2)连接、，若 = 6， = 4， = 60，求的长 25. 如图，为 的直径，射线交 于点，点为劣弧的中点，为 的切线交于点，连接 (1)求证： ； (2)若 = 30， = 4，求阴
5、影部分的面积 26. 如图，函数 = 2+ + 的图象经过点(,0)，(0,)两点，分别是方程2 2 3 = 0的两个实数根，且 ()求，的值以及函数的解析式； ()对于()中所求的函数 = 2+ + ； (1)当0 3时，求函数的最大值和最小值； (2)设函数在 + 1内的最大值为，最小值为若 = 3，求的值 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解： 32 4 = 8， 32 4 8 = 0， 则 = 3， = 4， = 8， 故选： 整理为一般式即可得出答案 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握如何找二次项系数，一次项系数和常数项 2.【答案】 【解析】解： =
6、2+ 2 4 = ( 1)2 3， = 1 0，当 = 0时， = 4， 抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线 = 1，与轴交点坐标是(0,4) 故选： 先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题 本题考查了二次函数的三种形式的互相转化，二次函数的性质，以及二次函数与坐标轴的交点的求解，是基础题，利用顶点式解析式求解顶点坐标与对称轴更简便 3.【答案】 【解析】解：点(,1)与点(4,)关于原点对称， = 4， = 1 = 4 (1) = 5 故选： 利用关于原点对称点的坐标性质得出和的值即可 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点， 关键是掌握两个点关于原点对称时， 它们的坐标
7、符号相反 4.【答案】 【解析】解：当抛物线 =142 2 + 与轴有公共点时，(2)2 4 14 0， 解得： 4， 由题意得：可能的值为1、2、3、4、5、6， 抛物线 =142 2 + 与轴有公共点是随机事件， 故选： 根据抛物线与轴的交点的判断方法求出的范围，根据题意判断即可 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 5.【答案】 【解析】解：四边形为正方形， = 45， = 2 = 90 故选： 根据正方形的性质得 = 45，即可
8、得到 = 2 = 90 本题考查了圆周角定理，根据正方形的性质得到 = 45是关键 6.【答案】 【解析】解： = 6 0， 反比例函数 = 6图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 点(2,1)，(1,2)在第二象限，点(3,3)在第四象限， 2 1 0， ， 3 1 2 故选： 根据反比例函数的增减性解答即可 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系及反比例函数的增减性是解答此题的关键 7.【答案】 【解析】解：选项 B，可以通过旋转变换得到， 故选： 利用旋转变换，平移变换的性质一一判断即可 本题考查利用旋转变换设计图案，平移变换设计图案，解
9、题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型 8.【答案】 【解析】解： /， ， = ()2=125， =15 故选： 根据相似三角形的判定定理得到 ，根据相似三角形的性质定理得到答案 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 9.【答案】 【解析】解：连接， = 2 = 2 30， = 60， 是 的切线， = 90， = 30， = = 5， 故选： 连接，由圆周角定理可得 = 60，根据三角函数可求的长，即可求的长 本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键 10.【答案】 【解析】解：根据题意得 =
10、 (6)2 4 1 ( + 1) 0， 解得 8， 方程2 6 + + 1 = 0的两个实数根为1，2， 1+ 2= 6，12= + 1， 12+ 22= 24， (1+ 2)2 212= 24， 即62 2( + 1) = 24， 解得 = 5， 8， 的值为5 故选： 先根据根的判别式的意义得到 8，再根据根与系数的关系得到1+ 2= 6，12= + 1，接着利用12+ 22= 24得到(1+ 2)2 212= 24，即62 2( + 1) = 24，然后解关于的方程即可 本题考查了根与系数的关系：若1，2是一元二次方程2+ + = 0( 0)的两根，1+ 2= ，12=.也考查了根的判别
11、式 11.【答案】 【解析】解：在 中， = 135， = 2， = 2， 在、选项中的三角形都没有135，而在选项中，三角形的钝角为135，它的两边分别为1和2， 因为22=12，所以选项中的三角形与 相似 故选： 利用 中， = 135， = 2， = 2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可 此题考查了相似三角形的判定注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似 12.【答案】 【解析】解：抛物线的顶点坐标(1,3)， 抛物线的对称轴为直线 = 2= 1， 2 + = 0，所以正确； 抛物线开口向下， 0， 抛物线与轴的交点在轴上方， 0
12、， 0，所以错误； 抛物线的顶点坐标(1,3)， = 1时，二次函数有最大值， 方程2+ + = 3有两个相等的实数根，所以正确； 抛物线与轴的一个交点为(4,0)， 而抛物线的对称轴为直线 = 1， 抛物线与轴的另一个交点为(2,0)，所以错误； 抛物线1= 2+ + 与直线2= + ( 0)交于(1,3)，点(4,0)， 当1 4时，2 1，所以正确 故选： 根据抛物线对称轴方程对进行判断；由抛物线开口方向得到 0，由抛物线与轴的交点位置可得 0， 于是可对进行判断； 根据顶点坐标对进行判断； 根据抛物线的对称性对进行判断；根据函数图象得当1 0， 不论为何值，方程都有两个不相等的实数根
13、(2)当 = 4代入2 ( + 3) + + 1 = 0， =53， 原方程化为：32 14 + 8 = 0， = 4或 =23 该三角形的周长为4 + 4 +23=263 【解析】(1)根据判别式即可求出答案 (2)将 = 4代入原方程可求出的值，求出的值后代入原方程即可求出的值 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型 20.【答案】3 0 1 0 3 2 1 3 【解析】解：(1) = 2 4 + 3 = 2 4 + 4 1 = ( 2)2 1， 所以顶点坐标为(2,1)； (2)当 = 0时， = 2 4 + 3 = 3， 当 = 1时， = 2
14、4 + 3 = 0， 同理可得： = 2时， = 1， = 3时， = 0， = 4时， = 3， 故答案为：3，0，1，0，3； 根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下： (3)从图象看，当 2时，随的增大而减小；当 0时，的取值范围是：1 3， 故答案为： 2，1 3 (1) = 2 4 + 3 = 2 4 + 4 1 = ( 2)2 1，即可求解； (2)计算出根据表格数据，描点连线绘制函数图象即可； (3)观察函数图象即可求解 本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征 21.【答案
15、】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为(9 )， 依题意，得：2+ (9 )2= 45， 整理，得：2 9 + 18 = 0， 解得：1= 3，2= 6 当 = 3时，这个两位数为63； 当 = 6时，这个两位数为36 答：这个两位数为36或63 【解析】设这个两位数的个位数字为，则十位数字为(9 )，根据个位数字与十位数字的平方和为45，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 22.【答案】解：(1)他选择从出口离开的概率为13； (2)画树形图，如图： 由树形图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口
16、进入，从出口离开的只有1种结果， 选择从入口进入，从出口离开的概率为16 【解析】(1)直接利用概率公式计算可得； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小钧选择从入口进入，从出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 本题考查了列表法与树状图法，掌握概率公式是解题的关键 23.【答案】解：(1) = (500 + )(1 + 40%) = 700+ 1.4； (2) = 40% (500 + )(60 10) = 0.042+ 4 + 12000， = 0.04( 50)2+ 12100， = 0.04 0， 当 = 50时，有最大值为12100元 故服装
17、生产成本上涨50元/套时，每周销售利润最大 【解析】(1)可利用每套的生产成本加上提高的的钱数即为销售价； (2)可利用 =每套的利润销售量列函数关系式，根据抛物线的性质及最值可计算求解 本题主要考查一次函数的应用，二次函数的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键 24.【答案】(1)证明：过作 于，如图1所示： ， = ， = ， = ， = ； (2)解：过作 于，连接，如图2所示： 则 = =12， = ， = 60， 是等边三角形， = = 4， = 2， = 2 2= 42 22= 23， = 2 2=62 (23)2= 26， = = 26 2 【解析】(1)过作 于，根据垂径定理
18、得到 = ， = ，即可得出结论； (2)过作 于， 连接， 由垂径定理得 = =12， 再证 是等边三角形， 得 = = 4，则 = 2，然后由勾股定理即可解决问题 本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键 25.【答案】解：(1)如图1，连接， 是 的直径， = 90，即 ， 是 的切线，是 的半径， ， 点为劣弧的中点， ， /， ； (2)如图2，连接， = ， = 30， = 60， 点为劣弧的中点， = ， = = 60， = ， = ， /， = ， 阴影部分的面积= 扇形， = 4， = = = 2， 扇形=60223
19、60=23， 即阴影部分的面积为：23. 【解析】(1)如图1，连接，连接，由圆周角定理可证明 ，由切线的性质得出 ，证明/，即可得到结论； (2)如图2，连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积 本题主要考查了切线的性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键 26.【答案】解：() ，分别是方程2 2 3 = 0的两个实数根，且 ， ( + 1)( 3) = 0， 1= 1，2= 3， = 1， = 3， (1,0)，(0,3)， 把(1,0)，(0,3)代入得，1 + = 0 = 3，解得 = 2 = 3， 函数解析式为 = 2+ 2 + 3； ()
20、抛物线 = 2+ 2 + 3的对称轴为直线 = 1，顶点为(1,4)， (1)在0 3范围内， 当 = 1时，最大值= 4；当 = 3时，最小值= 0； (2)当函数在 + 1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当 = 时取得最小值 = 2+ 2 + 3，最大值 = ( + 1)2+ 2( + 1) + 3， 令 = ( + 1)2+ 2( + 1) + 3 (2+ 2 + 3) = 3，即2 + 1 = 3，解得 = 1 当 + 1 = 1时，此时 = 4， = 3，不合题意，舍去； 当函数在 + 1内的抛物线分别在对称轴的两侧， 此时 = 4， 令 = 4 (2+ 2 + 3) = 3， 即2
21、2 2 = 0解得： 1= 1 + 3(舍)， 2= 1 3(舍)； 或者 = 4 ( + 1)2+ 2( + 1) + 3 = 3，即1= 3(不合题意，舍去)，2= 3(舍)； 当 = 1时，此时 = 4， = 3，不合题意，舍去； 当函数在 + 1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当 = 时取得最大值 = 2+ 2 + 3，最小值 = ( + 1)2+ 2( + 1) + 3， 令 = 2+ 2 + 3 ( + 1)2+ 2( + 1) + 3 = 3，解得 = 2 综上， = 1或 = 2 【解析】()首先解方程求得、两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可； ()(1)确定抛物线的对称轴是直线 = 1， 根据增减性可知： = 1时， 有最大值， 当 = 3时， 有最小值； (2)分5种情况： 当函数在 + 1内的抛物线完全在对称轴的左侧； 当 + 1 = 1时； 当函数在 + 1内的抛物线分别在对称轴的两侧，因为两点的横坐标的距离为1，所以距离 = 1大于1的值要舍去；当 = 1时，函数在 + 1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题
