1、 学科网（北京）股份有限公司 专题专题 18 18 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1下列图形中，内角和等于外角和的是（ ） A B C D 2如图，RtABC 中，ABC90 ，点 O 是斜边 AC 的中点，AC10，则 OB（ ） A5 B6 C8 D10 3若一个多边形的内角和为 1080 ，则这个多边形的边数为( ) A5 B6 C7 D8 4如图，矩形的对角线、相交于点， = 3， = 60，则的长为（ ） A6 B33 C32 D35 5如图， ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 E 是 BC 的中点，CD8，则 OE（ ） A3 B4 C5 D7 6 （2022
2、 八下 海淀期中）如图，CD 是 的中线，E，F 分别是 AC，DC 的中点， = 1，则 BD的长为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A1 B2 C3 D4 7 （2021 九上 石景山期末）如图，四边形 ABCD 内接于 ，若四边形 ABCO 是菱形，则的度数为（ ） A45 B60 C90 D120 8有下列四个条件：对角线互相平分的四边形；对角线互相垂直的四边形；对角线相等的平行四边形；有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是（ ） A B C D 9 （2021 九上 朝阳期末）如图，四边形 ABCD 内接于 ，若 = 130，则的度数为（ ） A50 B100 C
3、130 D150 10 （2022 通州模拟）如图，已知1 + 2 + 3 = 240，那么4 的度数为（ ） A60 B120 C130 D150 二、填空题二、填空题 11 （2022 八下 海淀期中）两直角边分别为 6 和 8 的直角三角形，斜边上的中线的长是 12 （2022 八下 大兴期中）如图，在ABCD 中，AD10，AB7，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，则 学科网（北京）股份有限公司 EC 的长为 13 （2022 八下 大兴期中）如图，点 C 为线段 AB 延长线上一点，正方形 AEFG 和正方形 BCDE 的面积分别为 8 和 4，则EDF 的面积为 14如图，点
4、E 在正方形 ABCD 中，BEC 是等边三角形，则EAD 15如图 1 ， 菱形纸片的面积为302， 对角线的长为6， 将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图 2 所示的方法拼成正方形则大正方形中空白小正方形的边长是 16 （2021 九上 东城期末）斛是中国古代的一种量器.据汉书 .律历志记载：“斛底，方而圜（hu n）其外，旁有庣（tio）焉”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示， 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即 2.5 尺） ，“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外 学科网（北京）股份有限公司 圆
5、与内圆的半径之差为 0.25 尺） ，则此斛底面的正方形的边长为 尺 17在ABCD 中，A：B=2：3，则C 的度数为 18在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点的坐标是 19在四边形中，对角线，交于点现存在以下四个条件： ； = ； = ；平分从中选取三个条件，可以判定四边形为菱形 则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况） 20 （2021 九上 东城期末）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 DC，CB 上的动点，且始终满足 DECF，AE，DF 交于点 P，则APD 的度数为 ；连接 CP，线段 CP 长的最小值
6、为 三、综合题三、综合题 21 （2022 八下 大兴期中）如图，在四边形 ABCD 中，ADCD，BDAC 于点 O，点 E 是 DB 延长线上一点，OEOD，BFAE 于点 F （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若 AB 平分EAC，OB3，BE5，求 EF 和 AD 的长 22如图 1，在正方形中，点为边上一点，连接点在边上运动 学科网（北京）股份有限公司 （1）当点和点重合时（如图 2） ，过点做的垂线，垂足为点，交直线于点请直接写出与的数量关系 ； （2）当点在边上运动时，过点做的垂线，垂足为点，交直线于点（如图 3 ） ， （1）中的结论依旧成立吗？请证明； （3）如图
7、 4 ，当点在边上运动时，为直线上一点，若 = ，请问是否始终能证明 ？请你说明理由 23 （2022 八下 海淀期中）如图，在平行四边形中， ，作 = ，CE 交 AB 于点 O，交 DA 的延长线于点 E，连接 BE （1）求证：四边形 ACBE 是矩形； （2）连接 OD若 = 4， = 60，求 OD 的长 24 （2022 八下 大兴期中）已知四边形 ABCD 是正方形，点 E 为射线 AC 上一动点（点 E 不与 A，C重合） ，连接 DE，过点 E 作 EFDE，交射线 BC 于点 F，过点 D，F 分别作 DE，EF 的垂线，两垂线交于点 G，连接 CG 学科网（北京）股份有限
8、公司 （1）如图，当点 E 在对角线 AC 上时，依题意补全图形，并证明：四边形 DEFG 是正方形； （2）在（1）的条件下，猜想：CE，CG 和 AC 的数量关系，并加以证明； （3）当点 E 在对角线 AC 的延长线上时，直接用等式表示 CE，CG 和 AC 的数量关系 25 （2022 八下 大兴期中）对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 AB 和图形 M，给出如下的定义：若图形M 是以 AB为对角线的平行四边形，则称图形 M 是线段 AB 的“关联平行四边形”点 A（8，a） ，点B（2，b） ， （1）当 a8，b2 时，若四边形 AOBC 是线段 AB 的“关联平行四边形”，则点
9、 C 的坐标是 ； （2）若四边形 AOBC 是线段 AB 的“关联平行四边形”，求对角线 OC 的最小值； （3）若线段 AB 的“关联平行四边形”AOBC 是正方形，直接写出点 C 的坐标 26如图，在平行四边形 ABCD 中，CEAD 于点 E，延长 DA 至点 F，使得 EFDA，连接 BF，CF 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：四边形 BCEF 是矩形； （2）若 AB3，CF4，DF5，求 EF 的长 27我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形 （1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是 （请填序号） ； 平行四边形 菱形 矩形 正方形 （2）如图 1，
10、菱形 ABCD 中，A60 ，E，F 分别是 AB，BC 上的点，且 AEBF，求证：四边形 DEBF 是完美四边形； （3）完美四边形 ABCD 中，ABAD，BAD+BCD180 ，连接 AC 如图 2，求证：CA 平分DCB； 如图 3，当BAD90 时，直接用等式表示出线段 AC，BC，CD 之间的数量关系 28 （2022 九下 北京市开学考）在正方形 ABCD 中，点 P 是边 BC 上一动点（不包含端点） ，线段 AP的垂直平分线与 AB、AP、BD、CD 分别交于点 M、E、F、N （1）过点 B 作 BGMN 交 DC 于 G，求证：BGCAPB； （2）若 AB9，BP3，
11、求线段 MN 的长度； （3）请你用等式表示线段 ME，EF 和 FN 的数量关系，并证明你的结论 29 （2022 八下 大兴期中）如图，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AD 的中点，过点 学科网（北京）股份有限公司 A 作对角线 AC 的垂线，与 OE 的延长线交于点 F，连接 FD （1）求证：四边形 AODF 是矩形； （2）若 AD10，ABC60 ，求 OF 和 OA 的长 30 （2021 九上 昌平期末）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，ABCD 于点 E，P 是AB 延长线上一点，且BCPBCD （1）求证：CP 是O 的切线；
12、（2）连接 DO 并延长，交 AC 于点 F，交O 于点 G，连接 GC 若O 的半径为 5，OE3，求 GC和 OF 的长 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：设 n 边形的内角和等于外角和 （n-2） 180 =360 解得：n=4 故答案为：B 【分析】设 n 边形的内角和等于外角和，根据题意列出方程（n-2） 180 =360 求解即可。 2 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 【解析】【解答】解：RtABC 中，ABC=90 ，点 O 是斜边 AC 的中点，AC=10， 则 OB=12AC=5， 故答案为：A 【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得
13、OB=12AC=5。 3 【答案】D 【解析】【解答】设多边形边数有 x 条，由题意得： 180 (x2)=1080 解得：x=8 故答案为 8 所以选 D 【分析】先求出 180 (x2)=1080，再求解即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BDAC2AO=6（矩形对角线相等） ， AOOB3（矩形对角线互相平分） ， AOB60 ， AOB 是等边三角形， ABOA3， 在 RtABD 中， = 2 2= 62 32= 33， 故答案为：B 【分析】根据矩形的性质可得 AOOB3，从而求出AOB 是等边三角形，可得 ABOA3，根据勾股定理求出 AD 即
14、可. 5 【答案】B 【解析】【解答】由题意可知： = = 8， ，分别为，的中点， =12 = 4 故答案为：B 【分析】利用三角形中位线的性质可得 =12 = 4。 6 【答案】B 【解析】【解答】解：点 E、F 分别是 AC、DC 的中点， EF 是ACD 的中位线， 学科网（北京）股份有限公司 AD=2EF=2， CD 是ABC 的中线， BD=AD=2 故答案为：B 【分析】根据中位线的性质可得 AD=2EF=2，再利用中线的性质可得 BD=AD=2。 7 【答案】B 【解析】【解答】解：设ADC=，ABC=； 四边形 ABCO 是菱形， ABC=AOC= ； ADC=12； 四边形
15、为圆的内接四边形， +=180， + = 180 =12， 解得：=120，=60，则ADC=60 ， 故答案为：B 【分析】根据菱形的性质可得ABC=AOC= ，再利用圆周角的性质可得ADC=12，再根据圆内接四边形的性质可得 + = 180 =12，再求出 =120，=60，即可得到答案。 8 【答案】B 【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意； 对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件符合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件符合题意； 故答案为：B 【分析】根据矩形
16、的判定方法逐项判断即可。 9 【答案】B 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， A+DCB=180 ， DCB=130 ， A=50 ， 由圆周角定理得，=2A=100 ， 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：B 【分析】根据四边形的内角和可得A+DCB=180 ，从而求出A=50 ，由圆周角定理得=2A，据此即得结论. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：1 + 2 + 3 + 4 = 360， 1 + 2 + 3 = 240 4=120 故答案为：B 【分析】根据多边形的外角和可得1 + 2 + 3 + 4 = 360，再结合1 + 2 + 3 = 240可得4=120 。
17、 11 【答案】5 【解析】【解答】解：直角三角形两条直角边分别是 6、8， 斜边长为62+ 82=36 + 64 =100 = 10， 斜边上的中线长为12 10 = 5 故答案为：5 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案。 12 【答案】3 【解析】【解答】解：AE 平分BAD 交 BC 边于点 E， BAE=EAD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC=10， DAE=AEB， BAE=AEB， AB=BE=7， EC=BC-BE=10-7=3， 故答案为：3 【分析】由角平分线的定义可得BAE=EAD，由平行四边形的性质可得
18、ADBC，AD=BC=10，利用平行线的性质可得DAE=AEB，从而得出BAE=AEB，利用等角对等边可得 AB=BE=7，根据EC=BC-BE 即可求解. 13 【答案】2 【解析】【解答】解：如图所示，连接正方形 BCDE 的对角线 CE，BD，且 CE 交 BD 于点 O， 学科网（北京）股份有限公司 BEC=45 ，CEBD， 正方形 AEFG 和正方形 BCDE 的面积分别为 8 和 4， 正方形 AEFG 的边长为8 = 22，正方形 BCDE 的边长为4 = 2， EF=AE=22，BE=CD=BC=2， 点 C 是线段 AB 延长线上一点， ABE=90 ， AB=2 2= 2
19、， RtABE 是等腰直角三角形， AEB=45 ， AEF+AEB+BEC=180 ， 点 F、E、C 在同一直线上， CEBD， OD=12 =122+ 2=1222+ 22=2， =12 =12 222 = 2， 故答案为：2 【分析】 连接正方形 BCDE 的对角线 CE， BD， 且 CE 交 BD 于点 O， 由正方形的性质可得BEC=45 ，CEBD，根据正方形的面积可求出 EF=AE=22，BE=CD=BC=2，在 RtABE 中，利用勾股定理求出AB=2，即得 RtABE 是等腰直角三角形，从而得出点 F、E、C 在同一直线上，由正方形的性质及勾股定理可求出 OD=12BD=
20、2，根据三角形的面积公式即可求解. 14 【答案】15 【解析】【解答】解：E 为正方形 ABCD 内一点，且EBC 是等边三角形， ABC=BAD=90 ，EBC=60 ，BC=BE=AB， ABE=ABC-EBC=30 ， BA=BE， EAB=AEB=12 （180 -30 ）=75 ， 学科网（北京）股份有限公司 EAD=90 -75 =15 ， 故答案为：15 【分析】先求出ABE=30 ，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出EAB=75 ，再利用EAD=90 -75 =15 计算即可。 15 【答案】2 【解析】【解答】解：如图，设 AC 与 BD 交于点 O， 在菱形 AB
21、CD 中，ACBD，AO=OC，OB=OD， 菱形纸片的面积为302，对角线的长为6， 12 = 30，OA=3cm， = 10cm， OB=5cm， 大正方形中空白小正方形的边长等于 OB-OA=2cm 故答案为：2 【分析】设 AC 与 BD 交于点 O，由菱形的性质可得 ACBD，AO=OC，OB=OD，根据菱形 ABCD的面积=12 = 30， 可求出 BD， 即得 OB 的长， 由于大正方形中空白小正方形的边长等于 OB-OA，据此计算即可. 16 【答案】2 【解析】【解答】解：如图， 四边形 CDEF 为正方形， D=90 ，CD=DE， CE 是直径，ECD=45 ， 学科网（
22、北京）股份有限公司 根据题意得：AB=2.5， = 2.5 0.25 2 = 2 ， 2= 2+ 2= 22 ， = 2 ， 即此斛底面的正方形的边长为2 尺 故答案为：2 【分析】根据正方形性质确定三角形 CDE 为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径 CE，求出 CD，即可得解。 17 【答案】72 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，A=C， A+B=180 ， A：B=2：3， A=22+3 180=72 ， C=A=72 ， 故答案为：72 【分析】由平行四边形的性质可得 ADBC，A=C，根据平行线的性质可得A+B=180 ，由A
23、：B=2：3，可求出ADE 度数，即得C. 18 【答案】（7，3） 【解析】【解答】如图，的顶点 A（0，0） ，B（5，0） ，D（2，3） ， ABCD5，C 点纵坐标与 D 点纵坐标相同， 顶点 C 的坐标是； （7，3） 故答案为： （7，3） 【分析】根据平行四边形的性质可得 ABCD5，ABCD，即得 C 点与 D 点纵坐标相同，继而得解. 19 【答案】， 【解析】【解答】解：可以选择的条件序号有： 学科网（北京）股份有限公司 情况一：，理由如下， ， = ， 又 = ， = ， （ASA） = ， 四边形 ABCD 为平行四边形， = ， 四边形 ABCD 为菱形； 情况二：
24、，理由如下， ， = ， 又 = ， = ， （ASA） = ， 四边形 ABCD 为平行四边形， 平分， = ， = ， = ， 四边形 ABCD 为菱形； 情况三：，理由如下， ， = ， 平分， = ， = ， 学科网（北京）股份有限公司 = ， 又 = ， = ， 四边形 ABCD 为平行四边形， = ， 四边形 ABCD 为菱形； 情况四：，理由如下， 平分， = ， 又 = ， = ， （SAS） = ， = ， 四边形 ABCD 为平行四边形， = ， 四边形 ABCD 为菱形 故答案为：， 【分析】共有四种组合，根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、菱形的判
25、定分别证明即可. 20 【答案】90；5 1 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADCD，ADEBCD90 ， 在ADE 和DCF 中， = = = 90 = ， ADEDCF（SAS） DAECDF， CDFADFADC90 ， ADFDAE90 ， APD90 ， 由于点 P 在运动中保持APD90 ， 点 P 的路径是一段以 AD 为直径的弧， 取 AD 的中点 Q，连接 QC，此时 CP 的长度最小， 学科网（北京）股份有限公司 则 DQ12AD12 21， 在 RtCQD 中，根据勾股定理得，CQ2+ 222+ 125， 所以，CPCOQP51 故答案为：90；51
26、【分析】根据边角边证明ADEDCF，根据全等三角形对应角相等求出DAECDF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点 P 到 AD 的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短，取 AD 的中点 Q，连接 QC，此时 CP 的长度最小，再根据勾股定理列式求出 CQ，再求解即可。 21 【答案】（1）证明： ， = = 90， 在 和 中， = = ， （HL） ， AO=CO， 又OE=OD， 四边形 AECD 为菱形 （2）解：AB 平分 ， BF=BO=3， 在 中，由勾股定理可得， = 2 2= 52 32= 4， 在 和 中， = = ， （HL） ， AO=AF， 设 AO=AF
27、=x，AE=4+x， 在 中，由勾股定理可得， 2= 2+ 2， 学科网（北京）股份有限公司 得( + 4)2= 82+ 2， 解得 = 6， AE=4+6=10， 即 AD=10， EF 和 AD 的长分别为 4 和 10 【解析】【分析】 （1）根据 HL 证明 RtOADRtCOD，可得 AO=CO， 结合 OE=OD，可证四边形AECD 为平行四边形，由 BDAC 即证四边形 AECD 为菱形； （2）由角平分线的性质可得 BF=BO=3，由勾股定理求出 EF=4，根据 HL 证明 RtABFRtABO，可得 AO=AF，设 AO=AF=x，可得 AE=4+x，在 RtAOE 中，由勾
28、股定理可建立关于 x 方程并解之即可. 22 【答案】（1）相等 （2）解：成立，证明如下： 如图，过点作 于点， ， ， 又四边形是正方形， /， 四边形是平行四边形， = ， 正方形， = = 90， = ， + = 90， + = 90， = ， 在 与 中， = = = ， （） ， = ， = 学科网（北京）股份有限公司 （3）不一定，理由如下： 如图，以点为圆心，以线段的长为半径作弧，与直线交于点及点 连接、，交于点，交于点，过点作 交于点， = ， = ， = = ， 四边形是正方形， /， = ， = = 90， 四边形是平行四边形， = ， = ， 在 与 中 = = ， （
29、） ， = ， + = 90， + = 90， = 90， ， 学科网（北京）股份有限公司 ， = 90， 90， 与不垂直，但= = ， 综上所述：若 = ，与不一定始终垂直 【解析】【解答】 （1）解：四边形是正方形， = = 90， = ， + = 90， ， + = 90， = ， 在 和 中 = = = （） = ， 点和点重合， = = 故答案为：相等 【分析】 （1）MN=BE.根据 ASA 证明ABEBCN，可得 BE=CN=MN； （2）成立.理由：过点作 于点，可证四边形是平行四边形，可得 = ， 根据 ASA 证明ADFBAE，可得 BE=AF，即得结论； （3） 不一定
30、， 理由： 如图， 以点为圆心， 以线段的长为半径作弧， 与直线交于点及点 ， 连接、 ， 交于点， 交于点， 过点作 交于点， 可得= = ，再证四边形是平行四边形，可得 AH=MN=BE，根据 HL 证明 ，可得 = ，从而求出 = 90， 即得 AHBE，由 MNBE，可得GOM=90 ，即得 90，继而得出与不垂直，但= = ，据此判断即可. 23 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC， ACAD， EAC=DAC=90 ， ECA=ACD， 学科网（北京）股份有限公司 AEC=ADC， CE=CD， AE=AD=BC， AEBC， 四边形 ACB
31、E 是平行四边形， EAC=90 ， 四边形 ACBE 为矩形； （2）解：如图，过点 O 作 OFDE 于 F， 由（1）可知，四边形 ACBE 为矩形， 对角线 AB 与 CE 相等且互相平分，AO=12 = 2， OA=OC， ACD=ACO=60 ， AOC 为等边三角形， OAC=60 ， EAC=90 ， FAO=90 -60 =30 ， 在 RtAFO 中， OF=12 = 1， = 3， 在 RtAEB 中， =12 = 2， AD=AE=42 22= 23， DF=AF+AD=3+ 23 = 33， OD=2+ 2= 27 【解析】【分析】（1） 先证明四边形 ACBE 是平
32、行四边形， 再结合EAC=90 可得四边形 ACBE 为矩形； （2）过点 O 作 OFDE 于 F，先求出FAO=90 -60 =30 ，再利用含 30 角的直角三角形的性质可得 = 3， =12 = 2，再利用线段的和差求出 DF 的长，最后利用勾股定理求出 OD 的长即可。 24 【答案】（1）解：过点 E 作 EMBC，垂足为 M，作 ENCD，垂足 N， 学科网（北京）股份有限公司 四边形 ABCD 为正方形， BCD90 ，且ECN45 EMC=ENC=BCD=90 ，NE=NC， 四边形 EMCN 是正方形， EM=EN， EFDE，DGDE，FGEF， 四边形 DEFG 为矩形
33、， DEN+NEF=90 ，MEF+NEF=90 ， DEN=MEF， 又DNE=FME=90 ， 在DEN 和FEM 中， = = = ， DENFEM， ED=EF， 四边形 DEFG 是正方形； （2）CE+CG=AC， 证明：四边形 DEFG 是正方形， DE=DG，EDC+CDG=90 ， 四边形 ABCD 是正方形， AD=DC，ADE+EDC=90 ， 学科网（北京）股份有限公司 ADE=CDG， 在ADE 和CDG 中， = = = ， ADECDG， AE=CG， CE+CG=CE+AE=AC； （3）CG=AC+CE， 如图： 四边形 ABCD 为正方形，四边形 DEFG
34、为正方形， AD=CD，ADC=90 ，ED=GD，且GDE=90 ， ADE=ADC+CDE=GDE+CDE=GDC， 在ADE 和CDG 中， = = = ， ADECDG， AE=CG=AC+CE； 【解析】【分析】 （1） 过点 E 作 EMBC， 垂足为 M， 作 ENCD， 垂足 N， 先证四边形 DEFG 为矩形，再证明DENFEM（ASA） ，可得 DE=EF，根据正方的判定定理即证； （2）CE+CG=AC，证明：根据 SAS 证明ADECDG，可得 AE=CG，从而得出 CE+CG=CE+AE =AC； （3） CG=AC+CE， 理由：根据 SAS 证明ADECDG，可得
35、 AE=CG，继而得解. 25 【答案】（1） （10，6） 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：如图所示，连接 OC， 设点 C（x，y） ，A（8，a） ，B（2，b） ， 四边形 AOBC 是线段 AB 的“关联平行四边形”， AOBC，AO=BC， 得出：8 0 = 2 0 = ， 解得： = 10 = + ， C（10，a+b） ， = 102+ ( + )2， 当 a+b=0 时， OC 最小为 10； （3）解：如图所示，当点 B 在 x 轴上方，点 A 在 x 轴下方时，过点 A 作 AHx 轴，过点 B 作 BGx 轴， AHO=BGO=90 ， 学科网（北京）股份有限公司
36、 四边形 OACB 为正方形， OA=OB，AOB=90 ， AOH+BOG=90 ， AOH+OAH=90 ， OAH=BOG， AOHBOG， AH=OG=2，OH=BG=8， A（8，2） ，B（2，-8） ， 由（2）可得：C（10，-6） ； 如图所示，当点 B在 x 轴下方，点 A在 x 轴上方时， 同理可得：A（8，-2） ，B（2，8） ， 由（2）可得：C（10，6） ； 学科网（北京）股份有限公司 综上可得：点 C 的坐标为（10，-6）或（10，6） 【解析】【解答】 （1）解：如图所示，设点 C（x，y） ， 四边形 AOBC 是线段 AB 的“关联平行四边形”， AO
37、BC，AO=BC， 得出：8 0 = 28 0 = + 2， 解得： = 10 = 6， C（10，6） ； 故答案为： （10，6） ； 【分析】 （1）由 A、B 坐标，根据平行四边形的性质及平移的性质，可求出点 C 坐标； （2）如图所示，连接 OC， 先用含 ab 的式子表示出平行四边形对角线交点的坐标，利用勾股定理求出 OC，根据偶次幂的非负性即可求出 OC 最小值； （3） 分两种情况：如图所示，当点 B 在 x 轴上方，点 A 在 x 轴下方时，过点 A 作 AHx 轴，过点B 作 BGx 轴，证明AOHBOG，可得 AH=OG=2，OH=BG=8，即得 A（8，2） ，B（2，
38、-8） ，由（2）可得 C（10，-6） ；如图所示，当点 B在 x 轴下方，点 A在 x 轴上方时，同理可求出结论. 26 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC， EF=DA， EF=BC，EFBC， 四边形 BCEF 是平行四边形， 又CEAD， CEF=90 ， 平行四边形 BCEF 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， 学科网（北京）股份有限公司 CD=AB=3， CF=4，DF=5， CD2+CF2=DF2， CDF 是直角三角形，DCF=90 ， CDF 的面积=12DF CE=12CF CD， CE=435=125， 由（1）
39、得：EF=BC，四边形 BCEF 是矩形， FBC=90 ，BF=CE=125， BC=2 2=165， EF=165 【解析】【分析】 （1）先证明四边形 BCEF 是平行四边形，再结合CEF=90 ，可得平行四边形 BCEF是矩形； （2）先利用勾股定理的逆定理证明CDF 是直角三角形，DCF=90 ，再利用等面积法可得CE=435=125， 最后利用勾股定理求出 BC 的长即可得到 EF 的长。 27 【答案】（1） （2）证明：如图，连接 BD， 四边形 ABCD 为菱形， ABAD， A60 ， ABD 是等边三角形，ABC120 ， ADBD BD 平分ABC， DBC60 A A
40、EBF， ADEBDF（SAS） ， 学科网（北京）股份有限公司 DEDF，AEDBFD AED+DEB180 ， BFD+DEB180 ， 四边形 DEBF 是完美四边形； （3）证明：延长 CB 至点 E，使 BECD， ABC+D180 ，ABC +ABE180 ， ABED 又ABAD， ADCABE（SAS） ， ACDE，ACAE， ACEE， ACDACE， 即 CA 平分DCB ADCABE DACBAE，BE=CD， DAC+CABBAE+CAB，即DAC=CAE=90 ， 为等腰直角三角形， = 2，即 + = 2， + = 2 【解析】【解答】解： （1）平行四边形邻边不
41、相等，故不是完美四边形；菱形对角不互补，故不是完美四边形；矩形邻边不相等，故不是完美四边形；正方形邻边相等，且对角互补，故是完美四边形 故答案为：； 【分析】 （1）根据“完美四边形”的定义判断即可； （2）连接 BD，先利用“SAS”证明ADEBDF 可得 DEDF，AEDBFD，再结合AED+DEB180 ，可得BFD+DEB180 ，从而得解； 学科网（北京）股份有限公司 （3） 延长 CB 至点 E， 使 BECD， 先利用“SAS”证明ADCABE 可得ACDE， ACAE，再结合ACEE，可得ACDACE，从而可得 CA 平分DCB； 先证明 为等腰直角三角形， 可得 = 2， 即
42、 + = 2， 即可得到 + = 2。 28 【答案】（1）证明：如图，过点 B 作 BGMN 交 DC 于 G， BGAP， CBG+BPA90 ， 四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABCBCG90 ， CBG+CGB90 ， CGBBPA， 在BGC 与APB 中， = = = ， BGCAPB（AAS） ， （2）解：BGCAPB， BGAP， 四边形 ABCD 是正方形， ABCD， BGMN， 四边形 BMNG 是平行四边形， MNBGAP， 在 RtABP 中，AB9，BP3， = 2+ 2= 310， MN310； （3）解：ME+FNEF理由如下 证明：如图，过 P 作
43、 PHAB 交 MN 于 H，过 F 作 STAB 交 BC 于 S，交 AD 与 T，连接 AF，PF， 学科网（北京）股份有限公司 MN 垂直平分 AP， AEPE，AFPF， PHAB， MAEHPE， 在AME 与PHE 中， = = = ， AMEPHE（ASA） ， MEHE， TDFFBP45 ， TDTF，FSBS， 四边形 ABST 是矩形， BSAT， FSAT，t 在 RtFPS 与 RtATF 中， = = ， RtFPSRtATF（HL） ， PSTF， PSTD， 四边形 TSCD 是矩形， TDSC， PSSC， PHTSCD， HFFN， ME+FNEF 【解析
44、】【分析】 （1）过点 B 作 BGMN 交 DC 于 G，利用 AAS 即可得出BGCAPB； （2）由BGCAPB，得出 BGAP，证明四边形 BMNG 是平行四边形，由平行四边形的性质得出 MNBGAP，由勾股定理得出 AP 的长度，即可得出结果； 学科网（北京）股份有限公司 （3）过 P 作 PHAB 交 MN 于 H，过 F 作 STAB 交 BC 于 S，交 AD 与与 T，连接 AF，PF，通过AMEPHE（ASA） ，得出 MEHE，再由矩形的性质和三角形全等得出 BSAT，FSAT，利用HL 证出 RtFPSRtATF，得出 PSTF，PSTD，再根据平行线分线段成比例定理即
45、可证明结论。 29 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 为菱形， ， ， ， = ， 点 E 是 AD 中点， AE=DE， 在 和 中， = = = ， （ASA） ， OE=EF， 四边形 AODF 为平行四边形， ， 四边形 AODF 为矩形 （2）解：由（1）可知四边形 AODF 为距形， AD=OF=10， = 60， = 30， =12 = 5， OF 和 OA 的长分别为 10 和 5 【解析】【分析】 （1）由点 E 是 AD 中点，可得 AE=DE，根据 ASA 证明AEFDEO，可得 OE=EF，根据对角线互相平分可证四边形 AODF 为平行四边形， 由菱形的性质可知 A
46、CBD， 即得AOD=90 ，根据矩形的判定定理即证； （2）由矩形的性质可得 AD=OF=10，由菱形的性质可得ABO=12ABC=30 ，AB=AD=10，从而得出OA=12AB=5. 30 【答案】（1）证明：连接 OC 学科网（北京）股份有限公司 OBOC， OBCOCB ABCD 于点 E， CEB90 OBCBCD90 OCBBCD90 BCPBCD， OCBBCP90 OCCP CP 是O 的切线 （2）解：ABCD 于点 E， E 为 CD 中点 O 为 GD 中点， OE 为DCG 的中位线 GC2OE6， GCFOAF = 即65= GFOF5， OF2511 【解析】【分析】 （1）连接 OC，求出OCP=90 ，根据切线的判定定理即可证明； （2） 由垂径定理可得E为CD中点 ， 从而求出OE为 DCG的中位线， 可得GC2OE6， ， 根据平行线 GCFOAF，可得= ，结合 GF+OF=5，即可求解
