1、 专题专题 15 15 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1如图， 矩形中， 射线交于点 E， 平分， 若 = 57， 则的度数是 （ ） A66 B49 C33 D16 2用一张宽为 x 的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图 1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图 2，若弦图的大正方形的边长为 6，中间的小正方形面积为 S，请探究 S 与x 之间是什么函数关系（ ） A一次函数 B二次函数 C反比例函数 D其它函数 3如图，直线 = 43 + 5与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，将线段沿 x 轴方向向右平移 5 个单位长度得到线段，与双曲线 =交( 0)于点
2、 N，点 M 在线段上，连接，若四边形是菱形，则 k=（ ） A6 B8 C10 D12 4如图，是 的直径，弦 ，垂足为， = 30， = 6，则阴影等于（ ） A12 B C32 D2 5（2022 瑞金模拟）如图， 将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30 ， 那么图中阴影部分的面积为( ) A3 B3 C3 3 D1 + 3 6 （2022 八下 抚州期末）一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是（ ） A4 B8 C10 D12 7（2022 八下 新余期末）如图， 已知菱形的对角线 AC； BD 交于点 O， E 为 CD 的中点， 若 = 6， 则菱形的周长为（
3、） A18 B48 C24 D12 8 （2022 八下 泰和期末）一个正多边形，它的每一个外角都等于 40 ，则该正多边形是（ ） A正六边形 B正七边形 C正八边形 D正九边形 9 （2022 八下 兴国期末）如图，点 O 是矩形的对角线的中点，点 M 是的中点若 = 3， = 4，则四边形的周长是（） A7 B8 C9 D10 10 （2022 八下 宜春期末）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A ， = B ， C ， = D = ， = 二、填空题二、填空题 11（2022 九江模拟）如图， 在四边形中，
4、 ， ， 分别是， ， 的中点， = ， = 144，则的度数为 12 （2022 江西模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD30 ，AD2若平行四边形 ABCD 沿边 AB 作轴对称图形 ABEF，连接 BD若 D，B，E 在同一直线上，则 AB 的长为 13 （2022 湖口模拟）如图，在 中，AD 和 AE 分别是边 BC 上的中线和高，已知 = 3， =2， = 90，求高 = 14 （2022 湖口模拟）俊俊和霞霞共同合作将一张长为2，宽为 1 的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次） ，裁剪出来的图形刚好是 4 个等腰三角形（无纸张剩余） 霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是 1”；
5、俊俊说： “有一个等腰三角形的腰长是2 1”； 那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 15 （2022 江西模拟）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB2，AD22，E 是 AB 的中点，F 是 AD 边 上的一个动点 （点 F 不与点 AD 重合） 将AEF 沿 EF 所在直线翻折， 点 A 的对应点为 A， 连接 AD，AC当ADC 是等腰三角形时，AF 的长为 16 （2022 赣州模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB8cm，AD6cm，矩形 ABCD 绕它的对称中心 O 旋转一周，边 AD 扫过的面积是 cm2 17 （2022 赣州模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB6，AD2，点 E
6、是边 CD 的中点，点 P 在 AB 边上运动，点 F 为 DP 的中点；当 为等腰三角形时，则 AP 的长为 18 （2022 吉州模拟）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板，如图 1 所示.19 世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”） ，图 2是由边长为 8 的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为 19 （2022 八下 抚州期末）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AB5cm，AD9cm点 P 在 AD 边上以 1cm/s 的速度从点 A 向点 D 运动，点 Q 在 BC 边
7、上以 4cm/s 的速度从点 C 出发，在 CB 间往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点 D 时，P、Q 同时停止运动，设运动时间为 t（s）且 t0，当以 P，D，Q，B 为顶点的四边形是平行四边形时，则 t 的所有可能值为 20 （2022 八下 萍乡期末）如图，E、F 分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点P，与相交于点，若 SAPD=15cm2，= 252，则阴影部分的面积为 2 三、综合题三、综合题 21 （2022 七下 寻乌期末）如图，在平面直角坐标系中，已知(，0)，(，)，且满足( 6)2+ 8 = 0，是36的算术平方根，将线段平移至，点 D 在 x 轴正半轴上(不
8、与点 A重合)，连接， （1）直接写出点 A、B、C 的坐标； （2）当 的面积是 的面积的 3 倍时，求点 D 的坐标； （3）已知 ，设 = ， = ， = ，判断、之间的数量关系，并说明理由 22 （2022 八下 新余期末）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形是菱形，点A 的坐标为(5，12)，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H （1）求菱形的边长； （2）求直线 AC 的解析式： （3）如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 向终点 C 运动，过点 P 作 轴交 AC 于点Q，设点 P 的横坐标为 a，线段
9、 PQ 的长度为 l 求 l 与 a 之间的函数关系式； 取 OM 的中点 N，请问以 P、Q、N、M 四点构成的四边形能否成为平行四边形？如果能成为平行四边形，请求出点 P 点 Q 的坐标，如果不能，请说明理由 23 （2022 八下 新余期末）如图 1，在正方形中，点 E 是边 CD 上一点（点 E 不与点 C、D 重合） ，连接 BE，过点 A 作 交 BC 于点 F （1）求证： ； （2）如图 2，取 BE 的中点 M，过点 M 作 ，交 AD 于点 G，交 BC 于点 H 求证： = ； 连接 CM，若 = 3，求 GH 的长； （3） 如图 3， 取 BE 的中点 M， 连接 C
10、M， 过点 C 作 交 AD 于点 G， 连接 EG、 MG， 若 = 4， 则四边形的面积为 （直接写出结果） 24 （2022 八下 抚州期末）如图，点 O 是ABC 内一点，连接 OB，OC，并将 AB，OB，OC，AC 的中点 D，E，F，G 依次连接，得到四边形 DEFG （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形 （2）如果OBC45 ，OCB30 ，OC8，求 EF 的长 25 （2022 八下 高安期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 =33 + 30与坐标轴相交于点和，点从点出发沿方向以每秒 4 个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒 2 个单位长度的速度向
11、点匀速运动，设点、时间是秒（0 6，不合题意，舍去， = 6 42，即 = 6 42； 当 = 时，过点作 ，垂足为点， ，垂足为点，如图 3， 四边形是矩形， =12 =12 3 =32，/， = =32， /， ， =， 32=12， = 3， 综上，的值为 3 或6 42或42 故答案为 3 或6 42或42 【分析】先求出 DE=3，再分类讨论，结合图形求解即可。 18 【答案】12 【解析】【解答】解：如下图所示， 图 2 中阴影部分实际上是由图 1 中的等腰直角三角形 A 和平行四边形 B 组成， 图 1 中的 A、B、C 三部分的面积等于14大正方形=14 82=16 图 1 中
12、的 C 的面积=14小正方形=116大正方形= 4 图 2 的阴影部分面积=图 1 中 A 和 B 的面积=16-4=12 故答案为：12 【分析】利用正方形的面积，结合图形求解即可。 19 【答案】185或 6 或365 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD9cm，ADBC， 以点 P、D、Q、B 为顶点的四边形是平行四边形， DPBQ， 点 Q 的运动路线是 CB， 则 9t94t， 解得：t0，不符合题意； 点 Q 的运动路线是 CBC， 则 9t4t9， 解得：t185； 点 Q 的运动路线是 CBCB， 则 9t9（4t18） ， 解得：t6； 点 Q 的运
13、动路线是 CBCBC， 则 9t4t27， 解得：t365； 综上所述，t 的所有可能值为185或 6 或365， 故答案为：185或 6 或365 【分析】分四种情况：点 Q 的运动路线是 CB，点 Q 的运动路线是 CBC，点 Q 的运动路线是 CBCB， 点 Q 的运动路线是 CBCBC， 再根据平行四边形的性质列出方程求出 t 的值即可。 20 【答案】40 【解析】【解答】解：连接 E、F 两点， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， EFC 的 FC 边上的高与BCF 的 FC 边上的高相等， SEFC=SBCF， SEFQ=SBCQ， 同理：SEFD=SADF， SEFP
14、=SADP， SAPD=15cm2，SBQC=25cm2， S四边形EPFQ=40cm2， 故答案为：40 【分析】先求出 SEFD=SADF，再求出 SEFP=SADP，最后求解即可。 21 【答案】（1）(6，0)，(8，6)，(2，6) （2）解：设(，0)，当 的面积是 的面积的 3 倍时，若点 D 在线段上， = 3，126 = 3 12 6 (6 )， =92， (92，0)； 若点 D 在线段延长线上， = 3， 126 = 3 12 6( 6)， = 9，(9，0)综上所述，D 点的坐标为(92，0)或(9，0)； （3）解：如图 1，当点 D 在线段上时，过点 D 作 ，与交
15、于点 E， ， ， = ， = ， = = + ， = + ； 如图 2，当点 D 在的延长线上时，过点 D 作 ，与得延长线交于点 E， 由平移可知， ， ， = ， = ， = = ， = ，综上所述，之间的数量关系 = + ，或 = 【解析】【解答】解： （1）( 6)2+ 8 = 0， 6 = 0， 8 = 0， 解得， = 6， = 8， 是36的算术平方根， = 6， 点 A 的坐标为(6，0)，(8，6)， 将线段平移至， (2，6)， 即(6，0)，(8，6)，(2，6)； 【分析】 （1）利用非负数之和为 0 的性质求出 a、b 的值，利用算术平方根求出 m 的值，即可得到点
16、A、B、C 的坐标； （2）设(，0)，根据三角形的面积可得12 6 = 3 12 6 (6 )，求出 x 的值，即可得到点 D的坐标； （3）分两种情况：当点 D 在线段上时，当点 D 在的延长线上时，再分别画出图象并求解即可。 22 【答案】（1）解：点 A 的坐标为(5，12)， AH5，OH12， 由勾股定理得：OA2+ 2=52+122= 13， 菱形的边长为 13； （2）解：菱形的边长为 13， OC13， C（13，0） ， 设直线 AC 的解析式为：ykxb（k0） ， 把 A（5，12） ，C（13，0）代入得：5+ = 1213 + = 0， 解得： = 23 =263，
17、 直线 AC 的解析式为： = 23 +263； （3）解：/轴，点 P 的横坐标为 a， Q（a，23 +263） ， 当5 8时，此时点 P 在 AB 上，P（a，12） ， = 12 (23 +263) =23 +103； 当8 13时，此时点 P 在 BC 上， B 点坐标为（8，12） ，C 点坐标为（13，0） ， 设直线 BC 的解析式为：ymxn（m0） ， 则8 + = 1213 + = 0，解得： = 125 =1565， 直线 BC 的解析式为： = 125 +1565， 此时 P（a，125 +1565） ， = 125 +1565 (23 +263) = 2615 +
18、33815， 综上所述， = 23 +103(5 8)2615 +33815(8 13)； 能； 在 = 23 +263中，令 x0，得 =263， OM263， MN12OM133， PQMN， 当 PQMN 时，四边形 PQNM 为平行四边形， 当5 8时，有23 +103=133， 解得： =32， P（32，12） ，Q（32，233） ； 当8 13时，有2615 +33815=133， 解得： =212， P（212，6） ，Q（212，53） ， 综上所述，P（32，12） ，Q（32，233）或 P（212，6） ，Q（212，53） 【解析】【分析】 （1）求出 OA 即为菱
19、形的边长； （2）利用待定系数法即可求出直线解析式； （3）求出直线 BC 的解析式，当5 8时，此时点 P 在 AB 上，当8 13时，此时点 P 在BC 上，分类讨论即可；在 = 23 +263中，令 x0，得 =263，得出 MN 的值，当 PQMN 时，四边形PQNM为平行四边形， 当5 8时， 有23 +103=133， 当8 13时， 有2615 +33815=133，即可得出点 P 的坐标。 23 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，BCE=ABC=90 ， ABE+CBE=90 ， AFBE， ABE+BAF=90 ， BAF=CBE， 在ABF 和B
20、CE 中， = = = = 90， ABFBCE（ASA） （2）解：证明：如图 2， 过点 G 作 GPBC 于 P， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，BAD=ABC=90 ， 四边形 ABPG 是矩形， PG=AB， PG=BC， 同（1）得，PGH=CBE， 在PGH 和CBE 中， = = = = 90， PGHCBE（ASA） ， BE=GH； ：由知，BE=GH，连接 CM， BCE=90 ，点 M 是 BE 的中点， = 3， BE=2CM=6， GH=6 （3）16 【解析】【解答】解：(3)由（2）可知，BE=2ME=2CM， = 4， ME=4， 同理可得：DCG
21、CBE（ASA） ， CG=BE=8， BECG， 四边形=12 =12 8 4 = 16 故答案为：16 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是正方形，得出 AB=BC，BCE=ABC=90 ，由 AFBE，得出BAF=CBE，即可得出结论； （2）由四边形 ABCD 是正方形，证出四边形 ABPG 是矩形，得出 PG=BC，同（1）得，PGH=CBE， 证出PGHCBE （ASA） ， 即可得出结论； 由知， BE=GH， 连接 CM， 由BCE=90 ，点 M 是 BE 的中点， = 3，即可得解； （3）由（2）可知，BE=2ME=2CM， = 4，得出 ME=4，同理可得：DCGCB
22、E（ASA） ，得出 CG=BE=8，再根据四边形=12 =12 8 4 = 16，即可得解。 24 【答案】（1）证明：AB、OB、OC、AC 的中点分别为 D、E、F、G， DGBC，DG=12BC，EFBC，EF=12BC， DGEF，DG=EF， 四边形 DEFG 是平行四边形； （2）解：如图，过点 O 作 OMBC 于 M， 在 RtOCM 中，OCM=30 ，OC=8， OM=12OC=4， = 2 2= 43， 在 RtOBM 中， OBC45 ， OBM=BOM=45 BM=OM=4， BC=443， EF=12BC， EF=223 【解析】【分析】 （1）根据三角形中位线的
23、性质得出 DGEF，DG=EF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）根据勾股定理求出 BC 的长，即可求出 EF。 25 【答案】（1）解：对于 =33 + 30，令 = 0，则 = 30，即点 A 坐标为（0，30） 令 = 0，则33 + 30 = 0 解得： = 303 即点 B 坐标为（303，0） = 30， = 303 在 中， = 2+ 2=302+ (303)2= 60 = 2， 根据含30角的直角三角形的性质可知 = 30 （2）解：根据题意可知 = 4， = 2， = = 60 4， = = 30 2 由（1）可知 = 30， =12 =12(60 4) = 30 2， CE=AD ， /， 四边形 ACED 是平行四边形 （3）解：当四边形 CEOD 为矩形时， = 90， /， = = 30， =12，即30 2 =12 4， 解得： =152 故当 =152秒时四边形 CEOD 为矩形 【解析】【分析】 （1）先求出点 A、B 的坐标，可得 = 30 = 303，再利用勾股定理求出 AB 的长，可得 = 2，即可得到 = 30； （2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可； （3）根据矩形的性质可得 = = 30，再利用含 30 角的直角三角形的性质可得30 2 =12 4，求出 t 的值即可
