1、 专题专题 16 16 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1下列命题是真命题的是（ ） A对顶角相等 B平行四边形的对角线互相垂直 C三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D三角分别相等的两个三角形是全等三角形 2如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 OH，OH4，若菱形 ABCD 的面积为 323，则 CD 的长为（ ） A4 B43 C8 D83 3如图，在 中， = 90， = 30，将 绕点顺时针旋转60得到 ，点A、B 的对应点分别是，点是边的中点，连接，.则下列结论错误的是（ ） A = B ， = C = 90
2、D = 3 4 （2022 湘西）如图，在 RtABC 中，A90 ，M 为 BC 的中点，H 为 AB 上一点，过点 C 作 CGAB，交 HM 的延长线于点 G，若 AC8，AB6，则四边形 ACGH 周长的最小值是（ ） A24 B22 C20 D18 5 （2022 长沙）如图，PA，PB 是 的切线，A、B 为切点，若 = 128，则的度数为（ ） A32 B52 C64 D72 6 （2022 怀化）下列说法正确的是（ ） A相等的角是对顶角 B对角线相等的四边形是矩形 C三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 7 （2022 怀化）一个多
3、边形的内角和为 900 ，则这个多边形是（ ） A七边形 B八边形 C九边形 D十边形 8 （2022 湘潭）中国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时，用 4 个全等的直角三角形拼成正方形（如图） ，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”，若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为 1， 为直角三角形中的一个锐角，则 tan（ ） A2 B32 C12 D55 9 （2022 株洲）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作 交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（ ） A =12 B 是直角三角形 C =12 D = 10 （2022 衡阳）下列命题为假命题的是（ ） A对角线相等
4、的平行四边形是矩形 B对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D有一组邻边相等的矩形是正方形 二、填空题二、填空题 11 （2022 邵阳）如图，在等腰 中， = 120，顶点在的边上，已知1 = 40，则2 = . 12 （2022 娄底）菱形的边长为 2， = 45，点、分别是、上的动点， + 的最小值为 . 13 （2022 邵阳）已知矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，则矩形的面积为 2. 14 （2022 常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了 2 张纸片；从这 2 张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直
5、线将其剪成了 2 张纸片，这样共有 3 张纸片：从这 3 张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了 2 张纸片，这样共有 4张纸片；如此下去，若最后得到 10 张纸片，其中有 1 张五边形纸片，3 张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 . 15（2022 长沙）如图， A、 B、 C 是 上的点， ， 垂足为点 D， 且 D 为 OC 的中点， 若 = 7， 则 BC的长为 . 16 （2022 娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图） 、测量、计算发现点是的黄金分割点，即 0.618.延长与
6、相交于点，则 .（精确到 0.001） 17 （2022 株洲）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为 6.若反比例函数 =的图象经过点，则的值为 . 18 （2022 株洲）中国元代数学家朱世杰所著四元玉鉴记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线与相交于点、（点在点的右上方） ，若的长度为 10 丈，的半径为 2 丈，则的长度为 丈. 19 （2022 株洲）如图所示，已知 = 60，正五边
7、形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 = 度. 20 （2022 怀化）如图， ABC 中， 点 D、 E 分别是 AB、 AC 的中点， 若 SADE2， 则 SABC . 三、综合题三、综合题 21 （2022 郴州）如图 1，在矩形 ABCD 中， = 4 ， = 6 .点 E 是线段 AD 上的动点（点 E 不与点 A，D 重合） ，连接 CE，过点 E 作 ，交 AB 于点 F. （1）求证： ； （2）如图 2，连接 CF，过点 B 作 ，垂足为 G，连接 AG.点 M 是线段 BC 的中点，连接GM. 求 + 的最小值； 当 + 取最小值时，求线段 DE 的长. 22 （2022
8、 衡阳）如图，在菱形 中， = 4 ， = 60 ，点 从点 出发，沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动，过点 作 于点 ，作 交直线 于点 ，交直线 于点 ，设 与菱形 重叠部分图形的面积为 （平方单位） ，点 运动时间为 （秒）. （1）当点 与点 重合时，求 的值； （2）当 为何值时， 与 全等； （3）求 与 的函数关系式； （4）以线段 为边，在 右侧作等边三角形 ，当 2 4 时，求点 运动路径的长. 23 （2022 岳阳）如图，点，分别在的边，上， = ，连接，.请从以下三个条件：1 = 2； = ；3 = 4中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形. （1）你添
9、加的条件是 （填序号） ； （2）添加了条件后，请证明为菱形. 24 （2022 娄底）如图，以为边分别作菱形和菱形（点，共线） ，动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点.设 = . （1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使 成立的值. （2）当 = 90时，试给出tan的值，使得垂直平分，请说明理由. 25 （2022 常德）在四边形中，的平分线交于，延长到使 = ，是的中点，交于，连接. （1）当四边形是矩形时，如图，求证： = ； = . （2）当四边形是平行四边形时，如图， （1）中的结论都成立，请给出结论的证明. 26 （2022 长沙）如图，在中，对角线 AC，B
10、D 相交于点 O， = . （1）求证： ； （2）若点 E，F 分别为 AD，AO 的中点，连接 EF， =32， = 2，求 BD 的长及四边形 ABCD的周长. 27 （2022 永州）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点. （1）请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次） ： （2）根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整. 证明：四边形是平行四边形， = .（两线平行，内错角相等）. 又平分，平分， =12， =12 = . （ ） （填推理的依据） 又四边形是平行四边形. . 四边形为平行四边形（
11、） （填推理的依据） ， 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故 A 选项符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故 B 选项不符合题意； C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故 C 选项不符合题意； D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故 D 选项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据对顶角的性质可判断 A；根据平行四边形的性质可判断 B；根据内心
12、的概念可判断 C；根据全等三角形的判定定理可判断 D. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：DHAB， BHD=90 ， 点 O 是 BD 的中点 BD=2OH=2 4=8，OD=OH=4； 菱形 ABCD 的面积为 323， S 菱形 ABCD=12AC BD=323=12AC 8 解之： = 83 OC=12AC=43 在 RtCOD 中 = 2+ 2=42+ (43)2= 8. 故答案为：C. 【分析】利用垂直的定义可证得BHD=90 ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BD，OD 的长；再利用菱形的面积公式求出 AC 的长，即可得到 OC 的长；然后利用勾股定理求出 CD
13、的长. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A、将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60 得到DEC， BCE=ACD=60 ，CB=CE， BCE 是等边三角形， BE=BC，故 A 正确； B、点 F 是边 AC 中点， CF=BF=AF=12AC， BCA=30 ， BA=12AC， BF=AB=AF=CF， FCB=FBC=30 ， 延长 BF 交 CE 于点 H，则BHE=HBC+BCH=90 ， BHE=DEC=90 ， BF/ED， AB=DE， BF=DE，故 B 正确. C、BFED，BF=DE， 四边形 BEDF 是平行四边形， BC=BE=DF， AB=CF， BC=DF，A
14、C=CD， ABCCFD， = = 90，故 C 正确； D、.ACB=30 ， BCE=60 ， FCG=30 ， FG=12CG， CG=2FG. DCE=CDG=30 ， DG=CG， DG=2FG.故 D 错误. 故答案为：D. 【分析】根据旋转的性质可得BCE=ACD=60 ，CB=CE，推出BCE 是等边三角形，据此判断 A；根据直角三角形斜边上中线的性质可得 CF=BF=AF=12AC，根据含 30 角的直角三角形的性质可得BA=12AC， 则 BF=AB=AF=CF， 延长 BF 交 CE 于点 H， 则BHE=DEC=90 ， 推出 BF/ED， 结合 AB=DE可判断 B；
15、易得四边形 BEDF 是平行四边形，则 BC=BE=DF，证明ABCCFD，据此判断 C；易得FCG=30 ，则 CG=2FG，根据DCE=CDG=30 可得 DG=CG，进而判断 D. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：CGAB，A=90 ， B=MCG，ACG=90 点 M 为 BC 的中点， BM=CM； 在BMH 和CMG 中 = = = BMHCMG（ASA） ， HM=MG，BH=CG； 四边形 ACGH 的周长为 AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH； 当 GH 最小时，即 GHAB 时，四边形 ACGH 的周长最小， AHG=A=ACG=90 ， 四边
16、形 ACGH 是矩形， AC=GH=8， 四边形 ACGH 的周长的最小值为 14+8=22. 故答案为：B. 【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得B=MCG，ACG=90 ，利用线段中点的定义可证得 BM=CM； 再利用 ASA 证明BMHCMG， 利用全等三角形的性质可得到 HM=MG， BH=CG；再利用垂线段最短可知即GHAB时， 四边形ACGH的周长最小值就是14+GH； 然后证明四边形ACGH是矩形，利用矩形的性质可求出 GH 的长，即可求解. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：PA，PB 是 的切线， ， ， = = 90， = 128， 则 = 360 90 90 12
17、8 = 52. 故答案为：B. 【分析】根据切线的性质可得 OAPA，OBPB，根据垂直的概念可得PAO=PBO=90 ，然后结合四边形内角和为 360 进行计算. 6 【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意； B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意； C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意； D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角互为对顶角，
18、据此可判断 A；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断 B；根据“外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点”可判断 C；根据线段垂直平分线的性质“ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ”可判断 D. 7 【答案】A 【解析】【解答】解：根据 n 边形的内角和公式，得 （n2）180=900， 解得 n=7， 这个多边形的边数是 7. 故答案为：A. 【分析】n 边形的内角和为(n-2) 180 ，结合题意可得关于 n 的一元一次方程，求解即可. 8 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，设直角对角线的两条直角边为 a、b，且 ab， 小正方形的边长=a-b，
19、( )2= 1，12ab=1， ( )2=12ab， 2a2-5ab+2b2=0， (a-2b)(2a-b)=0， = 2或=12（舍去） ， tan= 2. 故答案为：A. 【分析】 设直角对角线的两条直角边为 a、 b， 且 ab， 根据小正方形面积与每个直角三角形面积均为 1，得出( )2=12ab，然后解方程得出= 2，再根据正切的定义求解即可. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ， = ， = 90， ， = = 90， ACE 是直角三角形，故 B 选项正确； = = 90， = ， ， =12， =12， =12，故
20、 A 选项正确； BC 为 RtACE 斜边上的中线， =12，故 C 选项正确； 现有条件不足以证明 BE=CE，故 D 选项错误. 故答案为：D. 【分析】根据菱形的性质可得 ACBD，AO=OC，由平行线的性质可得ACE=AOB=90 ，据此判断 B；易证ACEAOB，根据相似三角形的性质可判断 A；根据直角三角形斜边上中线的性质可判断 C. 10 【答案】C 【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，此命题是真命题，故 A 不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此命题是真命题，故 B 不符合题意； C、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故 C
21、 符合题意； D、有一组邻边相等的矩形是正方形，此命题是真命题，故 D 不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用矩形的判定定理，可对 A 作出判断；利用菱形的判定定理，可对 B 作出判断利用正方形的判定定理，可对 C，D 作出判断. 11 【答案】110 【解析】【解答】解：ABC 是等腰三角形，A=120 ， ABC=C=(180 -A) 2=30 ， 四边形 ODEF 是平行四边形， OFDE， 2+ABE=180 ， 即2+30 +40 =180 ， 2=110 . 故答案为：110 . 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得ABC=C=30 ，根据平行四边形的性质以及
22、平行线的性质可得2+ABC+1=180 ，据此计算. 12 【答案】2 【解析】【解答】解：如图，过点 C 作 CEAB 于 E，交 BD 于 G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知 CE 为 FG+CG 的最小值，当 P 与点 F 重合，Q 与 G 重合时，PQ+QC 最小， 菱形 ABCD 的边长为 2， = 45， 中， =22 = 2 PQ+QC 的最小值为2. 故答案为：2. 【分析】过点 C 作 CEAB 于 E，交 BD 于 G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知 CE为 FG+CG 的最小值，当 P 与点 F 重合，Q 与 G 重合时，PQ+QC 最小，根据
23、菱形的性质以及三角函数的概念可得 EC，据此解答. 13 【答案】48 【解析】【解答】解：在矩形 ABCD 中， = 6， = 10， 在 中， = 102 62= 8(cm)， 矩形= = 8 6 = 48(2). 故答案为：48. 【分析】根据矩形的性质可得ABC=90 ，利用勾股定理求出 AB，然后根据矩形的面积公式进行计算. 14 【答案】6 【解析】【解答】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了 2 张纸片，则每剪一次， 所有的多边形的内角和增加 360 ， 10 张纸片，则剪了 9 次，其中有 1 张五边形纸片，3 张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸
24、片的边数为， (5 2) 180 + 3 180 + (4 2) 180 5 + ( 2) 180 = 360 + 360 9， 解得 = 6. 故答案为：6. 【分析】根据题意可得：10 张纸片，需剪 9 次，其中有 1 张五边形纸片，3 张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为 n，根据每剪一次，所有的多边形的内角和增加 360 列出关于 n的方程，求解即可. 15 【答案】7 【解析】【解答】解：如图，连接 OB、AC， A、B、C 是 上的点， ， = ， D 为 OC 的中点， = ， 四边形 AOBC 是菱形， = = 7. 故答案为：7. 【分析】连接 OB、
25、CA，根据垂径定理可得 AD=DB，由中点的概念可得 OD=DC，推出四边形 AOBC为菱形，然后结合 OA 的值可得 BC 的值. 16 【答案】0.618 【解析】【解答】解：如图，设每个矩形的长为 x，宽为 y， 则 DEADAExy， 由题意易得GEMEMFMFG90 ， 四边形 EFGM 是矩形， EGMFy， 0.618， xy0.618x， 解得 y0.382x， =0.3820.382 0.618， EG0.618DE. 故答案为：0.618. 【分析】设每个矩形的长为 x，宽为 y，则 DEx-y，易得四边形 EFGM 是矩形，EGMFy，根据DE0.618AD 可得 y0.
26、382x，然后根据=进行解答. 17 【答案】3 【解析】【解答】解：设 BC 交 x 轴于 E，如图， x 轴为矩形 ABCD 的一条对称轴，且矩形 ABCD 的面积为 6， 四边形 DOEC 是矩形，且矩形 DOEC 面积是 3， 设 C（m，n） ，则 OE=m，CE=n， 矩形 DOEC 的面积是 3， mn=3， C 在反比例函数 y=的图象上， n=，即 k=mn， k=3. 故答案为：3. 【分析】设 BC 交 x 轴于 E，根据矩形的对称性可得矩形 DOEC 面积是 3，设 C（m，n） ，则 OE=m，CE=n，根据矩形的面积公式可得 mn=3，根据点 C 在反比例函数图象上
27、可得 mn=k，据此可得 k 的值. 18 【答案】（8 22） 【解析】【解答】解：如图， 设与 AD 边的切点为点 C，连接 OC， 则 = 2（丈） ， ， 由正方形的性质知 = 90，对角线 AB 平分， =12 = 45， =sin=2sin45= 2 22= 22（丈） ， = + = 2 + 22（丈） ， = = 10 (2 + 22) = 8 22（丈）. 故答案为： （8 22）. 【分析】设O 与 AD 边的切点为点 C，连接 OC，则 OC=2 丈，OCAD，根据正方形的性质可得EAD=90 ，对角线 AB 平分EAD，则OAC=45 ，根据三角函数的概念可得 AO，由
28、 AN=ON+AO 可得 AN，然后根据 BN=AB-AN 进行计算. 19 【答案】48 【解析】【解答】解：四边形 ABCDE 是正五边形，EAO 是一个外角 =3605= 72 在AEO 中： = 180 = 180 72 60 = 48 故答案为：48. 【分析】根据外角和定理可得EAO=3605=72 ，然后根据内角和定理进行计算. 20 【答案】8 【解析】【解答】解：D、E 分别是 AB、AC 的中点， DE 为中位线， DEBC，=12 ADEABC = ()2=14 SADE=2， SABC=8 故答案为：8. 【分析】由题意可得 DE 为ABC 的中位线，则=12，DEBC
29、，证明ADEABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答. 21 【答案】（1）证明：如图 1， 四边形 ABCD 是矩形， = = 90 ， + = 90 . ， + = 90 ， = ， （2）解：解：如图 2-1，连接 AM. ， 是直角二角形. = = =12 = 3 . 点 G 在以点 M 为圆心，3 为半径的圆上. 当 A，G，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： + ， 当 A，G，M 三点共线时， + = . 此时， + 取最小值.在 中， = 2+ 2= 5 . + 的最小值为 5. （求 AF 的方法一）如图 2-2，过点 M 作 交 FC 于点
30、N， . =12 . 设 = ，则 = 4 ， =12 =12(4 ) . ， ， = ， 由知 + 的最小值为 5、即 = 5 ， 又 = 3 ， = 2 . 12(4)=23 ，解得 = 1 ，即 = 1 . （求 AF 的方法二） 如图 2-3，过点 G 作 交 BC 于点 H. . = ， 由知 + 的最小值为 5，即 = 5 ， 又 = 3 ， 35=4=3 . =125 ， =95 . 由 得 ， = ，即 125=3+956 ， 解得 = 3 . = = 1 . 由（1）的结论可得 = . 设 = ，则 = 6 ， 1=64 ， 解得 = 3 + 5 或 3 5 . 0 3 +
31、5 6 ， 0 3 5 6 ， = 3 + 5 或 = 3 5 . 【解析】【分析】 （1）根据矩形的性质可得A=D=90 ，根据同角的余角相等可得DCE=AEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明； （2）连接 AM，易得BGC 是直角二角形，由直角三角形斜边上中线性质得 BM=CM=GM=3，推出点 G 在以点 M 为圆心，3 为半径的圆上，故当 A，G，M 三点共线时，AG+GM=AM，此时 AG+GM 最小，利用勾股定理求解即可； 过点 M 作 MNAB 交 FC 于点 N，证明CMNCBF，设 AF=x，则 BF=4-x，根据相似三角形的性质可得 MN=12BF=12(4-x)，
32、证明AFGMNG， 由知 AG+GM 的最小值为 5， 即 AM=5， 则 AG=2，根据相似三角形的性质可得 x 的值，由（1）的结论可得=，设 DE=y，则 AE=6-y，根据相似三角形的性质可得 y 的值，据此解答. 22 【答案】（1）解： 与 重合时， = 60 ， =12 = 2 ， = 2 . （2）解：当 0 2 时， = 2 ， = 4 2 ， ， = ， = 4 2 ， =43 . 当 2 4 ， = 2 ， = 2 4 ， ， = ， = 2 4 ， = 4 . = 4 或 =43 . （3）解：当 0 2 时， =32 ， =32 ， = =3382 . 当 2 4 时
33、， = 2 ， = 3( 2) ， =32( 2)2 ， = = 382+ 23 23 ， = 3382，0 2382+ 23 23，2 4 . （4）解：连接 . 为正三角形， =32 ， 在 中， tan =32=32 ， 为定值. 的运动轨迹为直线， = 2+ 2=72 ， 当 = 2 时 = 7 ， 当 = 4 时 = 27 ， 的运动路径长为 27 7 = 7 【解析】【分析】 （1）当点 M 与点 B 重合时，利用 30 角所对的直角边等于斜边的一半，可求出 PA 的长，即可得到 t 的值. （2）分情况讨论：当 0t2 时，利用点的运动方向和速度，可表示出 AM，BM 的长，利用
34、全等三角形的对应边相等，可证得 AP=BM，由此可得到关于 t 的方程，解方程求出 t 的值；当 2t4 时，可表示出 AM，BM 的长，利用全等三角形的对应边相等，可得到 AP=AM，由此可得到关于 t 的方程，解 方程求出 t 的值；综上所述可得到 t 的值. （3）当 0t2 时，利用解直角三角形表示出 PQ，MQ 的长，再利用三角形的面积公式可得到 S 与 t的函数解析式；当 2t4 时，利用解直角三角形可表示出 BF，MF 的长；利用三角形的面积公式可得到 S 与 t 之间的函数解析式；综上所述可得到 S 与 t 的函数解析式. （4）连接 AE，利用等边三角形的性质及解直角三角形表
35、示出 PE 的长，在 RtAPE 中利用解直角三角形可得到PAE 的正切值，可得到PAE 是定值；从而可得到点 E 的运动轨迹是直线，利用勾股定理表示出 AE 的长；再分别求出当 t=2 和 t=4 时的 AE 的长. 23 【答案】（1） （2）证明：四边形是平行四边形， = ， 在 和 中， 1 = 2 = = ， ()， = ， 为菱形. 【解析】【解答】解： （1）添加的条件是1 = 2. 故答案为：； 【分析】 （1）根据菱形的判定定理进行解答； （2）根据平行四边形的性质可得A=C，利用 AAS 证明ADECDF，得到 AD=CD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明.
36、24 【答案】（1）证明：如图所示：连接 BF、CE， 菱形和菱形（点，共线） ， 点 G、B、E 共线， ， = = ， ， = ， 四边形 BFCE 是平行四边形， 与相互平分， 即：无论为何值，与相互平分； 又 ， 四边形 BFCE 是菱形， BE=BF， 又菱形和菱形， = = = ， 为等边三角形， = = 60； （2）解：如图所示：连接 AF，AO ，设 EF 与 AC 交于点 H， 垂直平分 = ， = ， = 90 ， 由（1）知，O 为 BC 的中点， 动点在以 O 为圆心，为直径且处于菱形内的圆弧上， = 90， = = ， = ， + = + = 90 ， = = ，
37、在 和 中， = = = ， ， = ， = 90，菱形， 四边形 BCFG 为正方形， = 90， = ， = = 90， 设 = = ，则 = = ， = =12 =12 ， 在 中， tan =12= 2， = ， tan = tan = 2. 【解析】【分析】 （1）连接 BF、CE，根据菱形的性质可得 FCBG，FC=BC=BE，推出四边形 BFCE是平行四边形，得到 EF 与 BC 相互平分，结合 EFBC 可得四边形 BFCE 是菱形，则 BE=BF，进而推出GFB 为等边三角形，据此解答； （2） 连接 AF、 AO， 设 EF 与 AC 交于点 H， 根据垂直平分线的性质可得
38、 AF=FG， AO=CO， AHO=90 ，由（1）知：O 为 BC 的中点，则动点 A 在以 O 为圆心，BC 为直径且处于菱形 BCFG 内的圆弧上，根据等腰三角形的性质可得OBA=OAB，推出AOH=OAB=OBA，证明AOFCOF，得到FAO=FCO，易得四边形 BCFG 为正方形，则FCO=90 ，FC=BC，设 FC=BC=x，则 AF=CF=x，AO=OC=12x，根据AOH=OBA 结合三角函数的概念进行计算. 25 【答案】（1）证明：证明过程： 四边形 ABCD 为矩形， = = 90 平分 = = 45 为等腰直角三角形 = = + = + ，即 = = = = 证明：
39、连接 BG，CG， G 为 AF 的中点，四边形 ABCD 为矩形， = = 90， = = = 平分， 为等腰直角三角形， = = 45 = = = = = = = = （2）解：作 交于，连接，作 交于点，如图所示 = 90 = = = 由（1）同理可证： = 四边形 ABCD 为平行四边形 = = 90 G 为 AF 的中点，由平行线分线段成比例可得 = = ， = ， = = = = = 【解析】【分析】 （1）根据矩形的性质可得ABC=BAD=90 ，根据角平分线的概念可得BAF=DAF=45 ，推出ABF 为等腰直角三角形，得到 AB=BF，结合 BE=FC 以及线段的和差关系可得
40、AE=BC=AD，证明ADGAEG，据此可得结论； 连接 BG，CG， 根据矩形的性质可得ABC=BAD=90 ，AD=BC，则 BG=AG=FG，根据等腰直角三角形的性质得BAF=DAF=45 =ABG=CBG，证明ADGBCG，得到ADG=BCG，由（1）知E=ADG，进而推出E=BCG，证明BOEGOC，然后根据相似三角形的性质进行证明； （2） 作 DMBC 交 BC 于点 M， 连接 GM， 作 GNDM 交 DM 于点 N， 同 （1） 可证ADGAEG，得到E=ADG， 根据平行四边形以及平行线的性质可得ADM=DMC=90 ， 推出 BCGNAD，根据平行线分线段成比例的性质可
41、得DN=MN， 则DG=MG， 由等腰三角形的性质可得GDM=GMD，证明BOEGOM，然后根据相似三角形的性质进行证明. 26 【答案】（1）证明：四边形是平行四边， = ， 四边形是菱形， （2）解：点 E，F 分别为 AD，AO 的中点， 是 的中位线， =12， =32， = 3， 四边形是菱形， = 2 = 6， ， 在 中， = 2， = 3， = 2+ 2= 22+ 32= 13， 菱形形的周长为413. 【解析】【分析】 （1）由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形 ABCD 为菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直可得结论； （2） 易得 EF 为AOD 的中位线， 则 EF
42、=12OD， 结合 EF 的值可得 OD 的值， 根据菱形的性质可得 BD，利用勾股定理求出 AD，据此不难求出菱形 ABCD 的周长. 27 【答案】（1）解： （1）如图， DE 就是所求作的图形. （2）证明：四边形是平行四边形， = .（两线平行，内错角相等）. 又平分，平分， =12， =12 = . （内错角相等，两线平行） （填推理的依据） 又四边形是平行四边形. . 四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） （填推理的依据） 【解析】【分析】 （1）此题的作法正确，画出图形即可. （2）利用平行四边形的性质可证得 ADBC，利用平行线的性质可推出ADB=DBC，利用角平分线的定义去证明EDB=DBF，利用内错角相等，两直线平行，可证得 DEBF；然后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论
