1、第15讲 四边形一、单选题1将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出()A正方形纸片的面积B四边形EFGH的面积CBEF的面积DAEH的面积2如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF将ABE沿BE翻折，将DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF则下列结论不正确的是（）ABD=10BHG=2CEGFHDGFBC3（2022绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角
2、形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ABCD ，其中 A=90 ， AB=9 ， BC=7 ， CD=6 ， AD=2 ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A252B454C10D3544（2022绍兴）如图，在平行四边形 ABCD 中， AD=2AB=2 ， ABC=60 ， E ， F 是对角线 BD 上的动点，且 BE=DF ， M ， N 分别是边 AD ，边 BC 上的动点下列四种说法： 存在无数个平行四边形 MENF ；存在无数个矩形 MENF ；存在无数个菱形 MENF ；存在无数个正方形 MENF
3、 其中正确的个数是（）A1B2C3D45（2022桐乡模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=33 ， AD=3 ， A=60. 点 E 在 AB 边上，将 ADE 沿着直线 DE 翻折得 ADE. 连结 AC ，若点 A 恰好落在 BCD 的平分线上，则 A ， C 两点间的距离为（） A3或6B3或 332C332D66（2022丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分EAD交CD于点F，FGAD交AE于点G，若cosB 14 ，则FG的长是（） A3B83C2153D527（2022瑞安模拟）如图，在ABC中，ACB90， 分别以AC， BC为边向外作正方
4、形ACDE与正方形BCFG， H为EG的中点，连接DH，FH.记FGH的面积为S1，CDH的面积为S2，若S1S26，则AB的长为（） A26B32C33D428（2022龙游会考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF、GN折叠，使点A和点C重合于点M，点D与点H重合，点B落在边AD上的点P处，且MN经过点P.已知EPPG=43，FN=10cm，则GD的长为（）A425cmB435cmC445cmD9cm9（2022路桥模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P是AB的中点.若OP=4，AP=3，则平行四边形ABCD的周长为（） A12B14C22D2810（2022舟山模拟）
5、如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2 5 ，E是BC的中点，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cosECF的值为（） A23B104C53D255二、填空题11（2022台州）如图，在菱形 ABCD中，A=60 ，AB=6折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD交于点E，F当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 12（2022台州）如图， ABC的边BC长为4cm将ABC平移2cm得到ABC ，且BBBC，则阴影部分的面积为 cm2 13（2022温州）如图，在菱形ABCD中， AB=1，BAD=60在其内部作形状、
6、大小都相同的菱形 AENH 和菱形 CGMF ，使点E，F，G，H分别在边 AB、BC、CD、DA 上，点M，N在对角线 AC 上若 AE=3BE，则 MN 的长为 14（2022奉化模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且 AC=6 ， BD=8 过O的直线EF交BC于E，交AD于F把四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形 CEFD ， CD 交AC于点G当 CDBD 时， CGDG 的值为 ，BE的长为 15（2022奉化模拟）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数 y=kx 的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”如图，在直角坐标系中，矩形ABCD是第一象限
7、内的一个“奇特矩形”且点 A(4，1) ， B(7，1) ，则BC的长为 16（2022宁波模拟）如图，在矩形 ABCD中，点E在边AD上，BEAC 于点F，若AD=2，AB=CF，则sinABE 的值为 17（2022丽水）如图，标号为，的矩形不重叠地围成矩形PQMN.已知和能够重合，和能够重合，这四个矩形的面积都是5，AE=a，DE=b，且ab.（1）若a，b是整数，则PQ的长是 ；（2）若代数式a22abb2的值为零，则 S四边形ABCDS矩形PQMN 的值是 18（2022嵊州模拟）如图，在ABC中，AB= AC=23，BAC=120，D为直线BC上一点，连结AD，把线段AD绕点A按逆
8、时针旋转60得到线段AE，H是线段AE的中点，G是线段BC的中点，连结DE，GH，若CDBD=23，则GH的长为 .19（2022泰顺模拟）如图1是将正方形分割成七个几何图形得到的七巧板，它是中国古代劳动人民发明的一种智力玩具图2是由七巧板拼成“熊”的几何图形四边形ABCD是菱形，且CIJ的面积为2，则AE= 记点K到直线LG的距离为d，则 dAB = 20（2022鹿城会考）郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：他先用图形拼出矩形ABCD.接着拿出图形 .通过平移的方法，用拼出了矩形ABMN.已知AE：EO = 2：3，图形的面积为15，则增加的图形的面积为 ：，当CO=312，EH=
9、4时，tanBAO= .三、综合题21（2022衢州）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分CBE交DE于点G（1）求证：DBG=90.（2）若BD=6，DG=2GE求菱形ABCD的面积.求tanBDE的值.（3）若BE=AB，当DAB的大小发生变化时（0DAB180），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值22（2022杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH（1）如图1若AB=4
10、，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积（2）如图2已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K求证：EK=2EH；设AEK=，FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2求证： S2S1 =4sin2-123（2022杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14 、 （1）若AB=8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积24（2022金华）如图，在菱形ABCD中，AB=10. sinB=35 ，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在
11、的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH. （1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与BEF相似(包括全等)？25（2022龙游会考）在正方形ABCD，E，F分别是射线BC，CD上的点，AEBF于点G.（1）如图1，若点E是BC边上的点.求证：CE=DF.（2）如图2，在（1）的条件下，延长BF交AD的延长线于点H，连结CH.若AB=4，BE=3，求tanBHC的值.（3）延长BF交射线AD于点H，连结CG，CH，若
12、CHCG=k，求CEBE的值（用含k的代数式表示）.26（2022舟山模拟）我们知道：如图，点B把线段AC分成两部分，如果 BCAB=ABAC .那么称点为B线段AC的黄金分割点.它们的比值为 5-12 . （1）在图中，若AC10cm，则AB的长为 cm；（2）如图，用边长为10cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明G是AB的黄金分割点；（3）如图，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E，连接BE，作CFBE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰
13、好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】解：设MD=m，MH=n，则MH=m-n，矩形纸片和正方形纸片的周长相等，2AP+2(PG-PH)=2AP+2（m-n）=4m，AP=m+n，阴影部分面积=S矩形ABCD-2SADH-2SAEB =(2m+n)(2m-n)-212(m-n)(2m+n)-212(2m-n)m =2mn，正方形纸片的面积=m2，四边形EFGH的面积=n2，BEF的面积=12mn， AEH的面积=12n(m-n) ；BEF的面积=14阴影部分面积，一定能求出BEF的面积. 故答案为：C. 【分析】设设MD=m，MH
14、=n，则MH=m-n，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，列式求出AP=m+n，然后根据面积的和差表示图中阴影部分的面积，再整理化简，再用m、n分别表示出四个选项的面积，即可作出选择.2【答案】D【解析】【解答】解：BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，AD=BC=8，BD=AB2+AD2=62+82=10，A选项不符合题意；ABE沿BE翻折，DCF沿DF翻折，翻折后点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，BG=AB=6，HD=CD=6，HG=HD-（BD-BG）=6-（10-6）=2，B选项不符合题意；EGB=A=90，FHD=B=90，EGB=FHD=90，EGFH，C选项符合
15、题意；若GFBC，则HGF+HFG=90，又GBF+BFH=90，HGF=GBF=45，无法确定BF=GF，GFBC不一定成立，D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据矩形性质得AD=BC=8，由勾股定理求得BD=10，可判断A选项；由图形折叠的性质得，BG=AB=6，HD=CD=6，再由线段和差关系求出HG=2，可判断B选项；由EGB=FHD=90，可判断EGFH，可判断C选项；若GFBC，推出HGF+HFG=90，再结合GBF+BFH=90，从而得HGF=GBF=45，因为无法确定BF=GF，故GFBC不一定成立，可判断D选项. 据此逐项分析，即可得出正确答案.3【答案】A【解析】【解答
16、】解：如图1，剪掉的是两个直角三角形，F=BCE=90，FED+BEC=90，BEC+CBE=90，FED=CBE，FEDCBE，DFCE=FEBC=DEBE矩形ABEF，AB=EF=9，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+yxy=97=6+yx+2解之：x=274y=214经检验x=274y=214是有原方程组的解DE=6+214=454，故B不符合题意；BE=274+2=354，故D不符合题意；如图2同理可知CFDEFB，DFBF=DCEF=CFBE设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，n7+m=69=mn+2 解之： m=8n=10经检验m=8n
17、=10是原方程组的解，DF=10，故C不符合题意；BF=7+8=15，故A符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图1，易证FEDCBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知CFDEFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.4【答案】C【解析】【解答】解：连接AC
18、交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，ADBC，OB=ODMAO=NCO，在MAO和NCO中MAO=NCOAO=COAOM=CONMAONCO（ASA）OM=ON；BE=DF，OE=OF，四边形MENF是平行四边形，M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形， 存在无数个平行四边形MENF，故正确；四边形MENF是平行四边形，当MN=EF时，四边形MENF是矩形，M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，存在无数个矩形MENF，故正确；点E，F是BD上的动点，只需MNEF，OM
19、=ON，就存在无数个菱形MENF，故正确；只要MN=EF，MNEF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故不符合题意；正确结论的个数有3个.故答案为：C.【分析】连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，利用平行四边形的性质可证得OA=OC，ADBC，OB=OD，利用平行线的性质可得到MAO=NCO，利用ASA证明MAONCO，利用全等三角形的性质去证明OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形MENF是平行四边形，利用M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，可对作出判断；易证四边形MENF是平行四边形，利用对角线
20、相等的四边形是矩形，可对作出判断；利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，利用点E，F是动点，可对作出判断；只要MN=EF，MNEF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，这样的正方形只有一个，可对作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.5【答案】A【解析】【解答】解：由翻折可得， AD=AD=3 ， 四边形ABCD为平行四边形， AB=33 ， A=60 ，AB=CD=33 ， BCD=A=60 ，AC 平分 BCD ，ACB=ACD=30 ，当点A在平行四边形ABCD内部时，过点A 作 AMCD 于点M ，设 AM=x ，在 RtACM 中， tanACM=tan30=AMMC=xMC=33
21、 ，MC=3x ， DM=CD-MC=33-3x ，在 RtADM 中，由勾股定理可得，AD2=AM2+DM2 ，即 32=x2+(33-3x)2 ，解得 x=32 或 3( 舍去 ) ，AC=2AM=3 ；当点A 在平行四边形ABCD外部时，过点D 作 DNAC 于点N ，在 RtCDN 中， CD=33 ， ACD=30 ，sinACD=sin30=DNCD=DN33=12 ，cosACD=cos30=CNCD=CN33=32 ，DN=332 ， CN=92 ，在 RtADN 中，AN=AD2-DN2=32-(332)2=32 ，AC=AN+CN=32+92=6 .综上所述， AC=3 或
22、6.故答案为：A.【分析】由翻折可得AD=AD=3，根据平行四边形的性质可得AB=CD，BCD=A=60，根据角平分线的概念可得ACB=ACD=30，当点A在平行四边形ABCD内部时，过点A作AMCD于点M，设AM=x，根据三角函数的概念可得MC，然后表示出DM，根据勾股定理求出x，进而可得AC的值；当点A在平行四边形ABCD外部时，过点D作DNAC于点N，根据三角函数的概念可得DN、CN， 利用勾股定理求出AN，然后根据AC=AN+CN进行计算.6【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P， 由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，BE=2，co
23、sB= 14 ，BH=1=12BE，H是BE的中点，AB=AE=4， 又AF是DAE的角平分线，ADFG，FAG=AFG，AG=FG， 又PFAD， APDF，PF=AD=4， 设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，PFBC，AGP=AEB=B，cosB=cosAGP=12PGAG=2-x2x=14， 解得x=83. 故答案为：B. 【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，cosB= 14 ，推出H是BE的中点，根据条件求出AG=FG， EG=GP，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出AGP=B，根据cosAGP=14建立
24、方程，即可求出FG的长.7【答案】A【解析】【解答】解：连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，四边形ACDE，BCFG是正方形，ADEC，BFCG，AD=EC，BF=CG ， DM=12AD，FN=12BF ，设 AC=a，BC=b ， EAC=90，AE=AC=a ，EC=AE2+AC2=2aAD=2a ，DM=12AD=122a=22a ，同理可证： CG=2b，FN=22b ，EG=EC+CG ，EG=2(a+b) ，H为EG的中点，HG=EH=122(a+b)=22(a+b) ，CH=EH-EC=22(b-a) ，S1=SFG1H=12HGFN=ab+b24 ， S2=S(DH=
25、12CHDM=ab-a24又S1-S2=6 ，ab+b24-ab-a24=6 ，整理得， a2+b2=24 ， ACB=90 ，AB=AC2+BC2=24=26.故答案为：A.【分析】连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，根据正方形的性质可得ADEC，BFCG，AD=EC，BF=CG，DM=12AD，FN=12BF，设AC=a，BC=b，则EC=2a，AD=2a，DM=22a，CG=2b，FN=22b，EG=2(a+b)，根据中点的概念可得HG=EH=22(a+b)，则CH=EH-EC=22(b-a)，然后表示出S1、S2，结合S1-S26可得a2+b2=24，则ACB=90，接下来利用
26、勾股定理计算即可.8【答案】A【解析】【解答】解：如图，过点P作PQBC，则四边形ABQP，QPDC是矩形，PD=QC， 四边形ABCD是矩形，PQ=AB，EMP=A=90，EP/FN，EM/PF，MPE=PNF，EMP=FPN=90，1=2，折叠，PFE=BFE，CNG=GNP，AB/CD，PEF=EFB，PGN=GNC，PEF=PFE，PGN=PNG，PE=PF，PG=PN，EPPG=43，FN=10cm，tan1=PNPF=GPEP=34，1=90-PNQ=QPN，tanQPN=QNPQ=34，设PF=4k，PN=3k，则FN=5k，RtPFN中，FN=10，k=2，PF=8，PN=6，
27、PQ=PFPNFN=8610=245，QNPQ=34，QN=34245=185，NC=MN=PM+PN=PQ+PN=245+6=545，PD=QC=QN+NC=18+545=725，PG=PN=6，GD=725-6=425.故答案为：A. 【分析】过点P作PQBC，则四边形ABQP、QPDC是矩形，PD=QC，根据矩形的性质可得PQ=AB，EMP=A=90，EPFN，EMPF，根据平行线的性质可得MPE=PNF，根据等角的余角相等可得1=2，根据折叠的性质可得PFE=BFE，CNG=GNP，根据平行线的性质可得PEF=EFB，PGN=GNC，推出PE=PF，PG=PN，根据三角函数的概念可设P
28、F=4k，PN=3k，则FN=5k，结合FN的值可得k的值，然后求出PF、PQ、QN、NC、PD、PG，据此计算.9【答案】D【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， BODO，ABCD，ADBC， P是AB的中点，AP=3，OP=4，AB2AP6，OP是ABD的中位线，AD2OP8，平行四边形ABCD的周长为ABCDADBC2AB2AD28.故答案为：D.【分析】根据平行四边形的性质可得ODO，ABCD，ADBC，根据中点的概念可得AB2AP6，易得OP是ABD的中位线，则AD2OP8，据此不难求出平行四边形ABCD的周长.10【答案】C【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形
29、，B90，E是BC的中点，BC2 5 ，BECE =12 BC =5 ，AE =AB2+BE2=22+(5)2= 3，由翻折变换的性质得：AFEABE，AEFAEB，EFBE =5 ，EFCE，EFCECF，BEFEFC+ECF，AEBECF，cosECFcosAEB =BEAE=53 .故答案为：C.【分析】由矩形的性质可得B90，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得AFEABE，可得AEFAEB，EFBE =5 ，从而得出EFCE，由等边对等角可得EFCECF，由三角形外角的性质可推出AEBECF，根据cosECFcosAEB =BEAE即可求解.11【答案】33；6-33【解析】【解答
30、】解：如图1，当点M与点B重合时， 折叠该菱形，使点 A 落在边 BC 上的点 M 处，折痕分别与边 AB ， AD 交于点 E ， F，EF垂直平分AB，AD=AB=6，在RtAEF中，A=60，EF=ADsinA=6sin60=632=33；如图2，连接AM交EF于点N，过点A作AHDC，交CD的延长线于点H，四边形ABCD是菱形，AD=AB=6，ADBC，BAD=ABH=60，DAM=AMH， BAH=30，BH=3，AH=ABsinA=6sin60=632=33；设BM=x，DF=y则HM=x+33，AM=332+3+x2=x2+6x+36折叠菱形，EF垂直平分AM，AN=12x2+6
31、x+36，ANF=MHA=90，FAN=ANHFANANHAFAM=ANMH即AFx2+6x+36=12x2+6x+363+x解之：AF=x2+6x+362x+6y=DF=AD-AF=6-x2+6x+362x+6=-x2+6x2x+6x2+（2y-6）x+6y=0b2-4ac=（2y-6）2-24y0y6-33，y6+330y60y6-33DF的最大值为6-33.故答案为：33，6-33.【分析】如图1，当点M与点B重合时，利用折叠的性质可证得EF垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质，可求出AD的长，在RtAEF中，利用解直角三角形求出EF的长；连接AM交EF于点N，过点A作AHDC，交CD
32、的延长线于点H，利用菱形的性质可证得AD=AB=6，ADBC，利用平行线的性质可得到BAD=ABH=60，DAM=AMH，利用解直角三角形求出BH，AH的长，设BM=x，DF=y，表示出HM的长，利用勾股定理可表示出AM的长，再利用折叠的性质可表示出AN的长；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得FANANH，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AF的长，根据y=AD=AF，可得到y与x之间的函数解析式，从而可得到关于x的方程，由b2-4ac0，可建立关于y的不等式，然后求出y的取值范围，即可得到DF的最大值.12【答案】8【解析】【解答】解： 将ABC平移 2cm 得到ABC ，BB
33、=CC=2，BC=BC=4，ABCABC，四边形BCCB是平行四边形，SABC=SABC，BBBC，BBC=90，四边形BCCB是矩形，S阴影部分=S矩形BCCB=42=8.故答案为：8【分析】利用平移的性质可证得BB=CC=2，BC=BC=4，ABCABC，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BCCB是平行四边形，同时可证得SABC=SABC；再证明四边形BCCB是矩形，由此可得到阴影部分的面积=矩形BCCB的面积，然后利用矩形的面积公式进行计算.13【答案】32【解析】【解答】解：连接DB交AC于点O，作MIAB于点I，作FJAB交AB的延长线于点J，四边形ABCD是菱形
34、，BAD60，AB1，ABBCCDDA1，BAC30，ACBD， ABD是等边三角形，AB=BD=1OD12BD=12，AOAD2-DO212-(12)232AC2AO3，AE3BE，AE34，BE14，菱形AENH和菱形CGMF大小相同，BEBF14，FBJ60，FJMI=BFsin60143238，AMCN=MIsin30381234，MNAC-AM-CN3-34-34=32.故答案为：32.【分析】连接DB交AC于点O，作MIAB于点I，作FJAB交AB的延长线于点J，利用菱形的性质和BAD60，可求出BAC的度数，同时可证得ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出DO的长；利用勾
35、股定理求出AO的长，从而可求出AC的长；利用AE=3BE，可得到AE，BE，BF的长；利用解直角三角形求出FJ，MI，AM，CN的长；然后根据MN=AC-CN，代入计算求出MN的长.14【答案】916；2013【解析】【解答】解：如图，连接CO，DO，菱形ABCD，AC=6，BD=8，ACBD，OA=OC=3，OB=OD=4，CD=32+42=5，四边形CDFE沿着EF折叠得到四边形CEFD，OC=OC=3，OD=OD=4，CD=CD=5，CDBD，OACD，OG2=OC2-CG2=DO2-DG2，9-CG2=16-（5-CG）2，整理，解得：CG=95，DG=165，CGDG=916；如图，
36、连接CC交OE与点M，过点E作ENBD于点N，易知：OC=OC=3，OB=OD=4，CG=95，OG=125，CG=125+3=275，CCEF，ACBD，NOE+EOC=EOC+GCC=90，NOE=GCC，tanNOE=ENNO=tanGCC=CGCG=95275=13，即ENNO=13，设EN=a，NO=3a，BN=4-3a，ENCO，ENCO=BNBO，即a3=4-3a4，整理，解得：a=1213，BN=1613，BE=BN2+NE2=(1613)2+(1213)2=2013.故答案为：916，2013.【分析】连接CO，DO，由菱形性质得ACBD，OA=OC=3，OB=OD=4，由勾
37、股定理得CD=5，由折叠性质得OC=OC=3，OD=OD=4，CD=CD=5，再结合勾股定理得OG2=OC2-CG2=DO2-DG2，即9-CG2=16-（5-CG）2，求得CG=95，DG=165，即可求得CGDG的比值；连接CC交OE于M，过点E作ENBD于点N，易得OC=OC=3，OB=OD=4，CG=95，进而求得CG=125+3=275，由CCEF，ACBD，可推出NOE=GCC，即得tanNOE=ENNO=tanGCC=CGCG=13，即ENNO=13，设EN=a，NO=3a，表示出BN=4-3a，由平行线分线段成比例可得a3=4-3a4，解得a=1213，即得BN=1613，最后
38、由勾股定理即可求得BE的长.15【答案】15 或9【解析】【解答】解：设BC=a，当反比例函数y=kx的图象过CD、AB上的三等分点时，A（4，1），B（7，1），（5，a+1）和（6，1）在反比例函数的图象上，5（a+1）=6，a=15；当反比例函数y=kx的图象过AD、CB上的三等分点时，A（4，1），B（7，1），（4，23a+1）和（7，13a+1）在反比例函数的图象上，4（23a+1）=7（13a+1），a=9，综上，BC的长为15或9.故答案为：15或9.【分析】设BC=a，根据”奇特矩形“定义分两种情况：当反比例函数y=kx的图象过CD、AB上的三等分点时，当反比例函数y=kx的
39、图象过AD、CB上的三等分点时，分别求出反比例函数经过的两个三等分点，再根据k=xy代入数据据列出关于a的方程求解，即可求得BC的长.16【答案】5-12【解析】【解答】解：BEAC，即AFB=90，矩形ABCD，ABC=90，ABC=ABF+CBF=CBF+BCF，ABF=BCF，AFBABC，ABAF=ACAB，AB=CF，ABAF=AF+ABAB，AF2+AFAB-AB2=0，AF=5-12AB或-5-12AB（舍去），sinABE=AFAB=5-12.故答案为：5-12.【分析】根据矩形的性质和余角的性质求出ABF=BCF，再证明AFBABC，根据成比例的性质求出ABAF=ACAB，结
40、合AB=CF，将比例式化成AF2+AFAB-AB2=0，解关于AF的一元二次方程，求出AF=5-12AB，最后根据三角函数的定义计算即可.17【答案】（1）a-b（2）3+22【解析】【解答】解：(1)和能够重合，和能够重合，AE=a，DE=b，PQ=AE+DE-2ED=a+b-2b=b，故答案为：a-b；(2)a2- 2ab- b2=0，a2-b2=2ab，则(a-b)2=2b2，a=(2+1)b或(1-2)b(舍去)，四个矩形的面积都是5，AE=a，DE=b，EP=5a，EN=5b， S四边形ABCDS矩形PQMN=a+b5a+5ba-b5b-5a=a2+2ab+b2a2-2ab+b2=a
41、2b2=2+12b2b2=3+22.故答案为：3+22.【分析】(1)直接根据线段和差关系，结合两组全等矩形的边相等，列式计算可得结论；(2)解关于a的二元一次方程：a2-2ab-b2=0， 得到a=(2+1)b ，根据四个矩形的面积都是5分别表示小矩形的宽，再利用含a、b的代数式表示S四边形ABCDS矩形PQMN，化简后，再代入a=(2+1)b，即可解答.18【答案】95或9【解析】【解答】解：如图1，取AD、AB中点P、Q，连接PQ、AG，由旋转可知，AD=AE，DAE=60，AB= AC=23，BAC=120，G是线段BC的中点，B=C=30，BAG=60，AGB=90，AG=12AB=
42、3，BG=AB2-AG2=3，BC=2BG=6，CDBD=23，BD=35BC=185，Q是线段AB的中点，AG=AQ，H是线段AE的中点，P是线段AD的中点，AP=AH，DAE=BAG=60，HAG=PAQ，APQAHG，QP=GH，PQ是ABD的中位线，QP=12BD=95；如图2，同理可得，BD=3BC=18，QP=12BD=9；故答案为：95或9.【分析】取AD、AB中点P、Q，连接PQ、AG，由旋转的性质可得：AD=AE，DAE=60，根据等腰三角形的性质可得B=C=30，BAG=60，AGB=90，根据含30角的直角三角形的性质可得AG，利用勾股定理求出BG，据此可得BC，结合已知条件可得BD，根据中点的概念可得AG=AQ，AP=AH，证明APQAHG，得到QP=GH，然后根据中位线的性质可得QP，同理可得BD、QP、GH的值.19【答案】32；3210【解析】【解答】解：DEL=90，EGF=4
