1、 第第 1414 讲讲 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1 （2022 南通）如图，在中，对角线，相交于点 O， ， = 4， = 60，若过点 O 且与边，分别相交于点 E，F，设 = ，2= ，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ） A B C D 2（2022 无锡）如图， 在 ABCD中， = ， = 105 ， 点E在AD上， = 60 ， 则 的值是（ ） A23 B12 C32 D22 3 （2022 无锡）下列命题中，是真命题的有（ ） 对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线互相垂直的四边形是菱形四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是菱形 A B C D 4 （20
2、22 连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论： ； =435 ； = 6 ； = 22 ； . 其中正确的是（ ） A B C D 5 （2022 海门模拟）如图，菱形 的边长为 4， = 60， 是边 的中点，F 是边 上的一个动点，将线段 绕着 E 逆时针旋转 60 ，得到 ，连接 、 ，则 + 的最小值为（ ） A33 B27 C43 D2 + 23 6 （2021 无锡）如图，D、E、F 分别是 各边中点，则以下说法错误的是（ ） A 和 的面积相等 B四边形 是平行
3、四边形 C若 = ，则四边形 是菱形 D若 = 90 ，则四边形 是矩形 7 （2021 苏州）如图，在平行四边形 中，将 沿着 所在的直线翻折得到 ， 交 于点 ， 连接 ， 若 = 60 ， = 45 ， = 6 ， 则 的长是 （ ） A1 B2 C3 D62 8 （2021 秦淮模拟）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形 （如图） ，以下结论： = + + ；若 = ， = ，则 ；若 = 2 ，则 = ；存在凹四边形 ，有 = ， = .其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 9 （20
4、21 仪征模拟）将一个边长为 4cn 的正方形与一个长，宽分别为 8cm，2cm 的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（ ） A B C D 10 （2021 天宁模拟）下列命题中，真命题是（ ） A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C有一个角是直角的平行四边形是矩形 D一组邻边相等的平行四边形是正方形 二、填空题二、填空题 11 （2021 徐州）如图，四边形 与 均为矩形，点 ， 分别在线段 ， 上.若 = = 2 ，矩形 的周长为 20 ，则图中阴影部分的面积为 . 12 （2021 常州）如图，在平面直角坐标系 中
5、，四边形 是平行四边形，其中点 A 在 x 轴正半轴上.若 = 3 ，则点 A 的坐标是 . 13 （2021 南京）如图，将 绕点 A 逆时针旋转到 的位置，使点 落在 上， 与 交于点 E，若 = 3, = 4,= 1 ，则 的长为 . 14 （2021 扬州）如图，在 中，点 E 在 上，且 平分 ，若 = 30 ， = 10 ，则 的面积为 . 15（2021 连云港）如图， 菱形 的对角线 、 相交于点 O， ， 垂足为 E， = 8 ， = 6 ，则 的长为 . 16 （2022 徐州）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 CE 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 F 处若点 E 在边
6、AB 上，AB3，BC5，则 AE 17 （2022 无锡）如图， 正方形 ABCD 的边长为 8， 点 E 是 CD 的中点， HG 垂直平分 AE 且分别交 AE、BC 于点 H、G，则 BG . 18 （2022 泗洪模拟）如图，从一个大正方形中截去面积为32和122的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 . 19 （2022 苏州）如图，在平行四边形 ABCD 中， ， = 3 ， = 4 ，分别以 A，C 为圆心，大于 12 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，过 M，N 两点作直线，与 BC 交于点 E，与AD 交于点 F，连接 AE，CF，则
7、四边形 AECF 的周长为 . 20 （2022 宿迁）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒 2 个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒 1 个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是 . 三、综合题三、综合题 21 （2022 徐州）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，且 BEDF求证： （1）ABECDF； （2）四边形 AECF 是平行四边形 22 （2022 镇江）已知，点、分别在正方形的
8、边、上 （1）如图 1，当四边形是正方形时，求证： + = ； （2）如图 2，已知 = ， = ，当、的大小有 关系时，四边形是矩形； （3）如图 3， = ，、相交于点，： = 4：5，已知正方形的边长为 16，长为 20，当 的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论 23 （2022 南通）如图，矩形中， = 4， = 3，点 E 在折线上运动，将绕点 A 顺时针旋转得到，旋转角等于，连接 （1）当点 E 在上时，作 ，垂足为 M，求证 = ； （2）当 = 32时，求的长； （3）连接，点 E 从点 B 运动到点 D 的过程中，试探究的最小值 24 （2022 无锡）如
9、图，在ABCD 中，点 O 为对角线 BD 的中点，EF 过点 O 且分别交 AB、DC 于点E、F，连接 DE、BF. 求证： （1）DOFBOE； （2）DE=BF. 25（2022 无锡）如图， 已知四边形 ABCD 为矩形 = 22 ， = 4 ， 点 E 在 BC 上， = ， 将ABC 沿 AC 翻折到AFC，连接 EF. （1）求 EF 的长； （2）求 sinCEF 的值. 26 （2022 无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为 10m） ，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 1：2 的矩形，已知栅栏的总长度为
10、 24m，设较小矩形的宽为 xm（如图）. （1）若矩形养殖场的总面积为 36 2 ，求此时 x 的值； （2）当 x 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 27 （2022 海陵模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AD10，点 E 是 AD 上一点，且 AEm （m 是常数） ，作BAE 关于直线 BE 的对称图形BFE，延长 EF 交直线 BC 于点 G （1）求证：EGBG； （2）若 m2 当 AB6 时，问点 G 是否与点 C 重合，并说明理由； 当直线 BF 经过点 D 时，直接写出 AB 的长； （3）随着 AB 的变化，是否存在常数 m，使等式 BG12AEAB2总成
11、立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：过 O 点作 OMAB 于 M， ACBC， ACB=90 ， ABC60 ， BAC90 -60 =30 ， AB2BC=8， 2 2= 82 42= 43， 四边形 ABCD 为平行四边形， AO12AC23， 123， 2 23； 设 BEx，OE2y，则 EMABAMBE83x5x， OE2OM2EM2， y（x5）23， 0 x8，当 x8 时 y12， 符合解析式的图象为 C. 故答案为：C. 【分析】过 O 点作 OMAB 于 M，利用 30 角所对的直角边等于斜边的一
12、半，可求出 AB 的长，利用勾股定理求出 AC 的长；利用平行四边形的性质可求出 AO 的长，从而可得到 OM 的长，利用勾股定理求出 AM 的长； 设 BEx， OE2y， 可表示出 EM 的长； 然后利用勾股定理可得到 OE2OM2EM2，可得到 y 与 x 之间的函数解析式及 x 的取值范围，即可得到符合题意的函数图象. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过点 B 作 BFAD 于 F， 四边形 ABCD 是平行四边形， CD=AB，CDAB， ADC+BAD=180 ， = 105 A=75 ， ABE=60 ， AEB=180 -A-ABE=45 ， BFAD， BFD=90
13、 ， EBF=AEB=45 ， BF=FE， AD=BD， ABD=A=75 ， ADB=30 ， 设 BF=EF=x，则 BD=2x，由勾股定理，得 DF= 3 ， DE=DF-EF=（ 3 -1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- 3 ）x， 由勾股定理，得 AB2=AF2+BF2=（2- 3 ）2x2+x2=（8-4 3 ）x2， 22=(31)22(843)2=12 =22 ， AB=CD， =22 . 故答案为：D. 【分析】过点 B 作 BFAD 于 F，根据平行四边形的性质可得 CD=AB，CDAB，由平行线的性质可得ADC+BAD=180 ，结合ADC 的度数可得A 的度
14、数，利用内角和定理可得AEB=45 ，进而推出 BF=FE，由等腰三角形的性质可得ABD=A=75 ，则ADB=30 ，设 BF=EF=x，则 BD=2x，由勾股定理，得 DF=3x，DE=DF-EF=( 3 -1)x，AF=(2- 3)x，由勾股定理可得 AB2，据此可得的值，然后结合 AB=CD 进行求解. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题； 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题； 四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题； 四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题. 故答案为：B. 【分析】根
15、据矩形的判定定理可判断；根据菱形的判定定理可判断；根据正方形的判定定理可判断. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：矩形 ABCD 沿着 GE、EC、GF 折叠，使得点 A、B、D 恰好落在点 O 处， DGOGAG，AEOEBE，OCBC，DGFFGO，AGEOGE，AEGOEG，OECBEC， FGEFGO+OGE90 ，GECOEG+OEC90 ， FGE+GEC180 ， GFCE， 符合题意； 设 AD2a，AB2b，则 DGOGAGa，AEOEBEb， CGOG+OC3a， 在 RtAGE 中，由勾股定理得 GE2=AG2+AE2，即 GE2=a2+b2， 在 RtEBC 中，由勾
16、股定理得 CE2=EB2+BC2，即 CE2=b2+（2a）2， 在 RtCGE 中，由勾股定理得 CG2GE2+CE2， （3a）2a2+b2+b2+（2a）2， 整理，解得：b2a， AB2AD， 不符合题意； 设 OFDFx，则 CF2b-x22a-x， 在 RtCOF 中，由勾股定理得 OF2+OC2=CF2， x2+（2a）2（2 a-x）2， 解得：x22a， OFDF22a， 6DF622a3a， 又GE2=a2+b2， GE=3a， GE=6DF， 符合题意； 22OF2222a2a， OC=22OF， 符合题意； 无法证明FCOGCE， 无法判断COFCEG， 不符合题意；
17、正确的有. 故答案为：B. 【分析】由矩形性质和折叠的性质可得 DGOGAG，AEOEBE，OCBC，DGFFGO，AGEOGE，AEGOEG，OECBEC，从而可得FGEFGO+OGE90 ，GECOEG+OEC90 ，得FGE+GEC180 ，可判定 GFCE；设 AD2a，AB2b，则 DGOGAGa，AEOEBEb，得 CGOG+OC3a，由勾股定理得 GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2GE2+CE2，即得（3a）2a2+b2+b2+（2a）2，解得 b2a，从而得 AB2AD；设 OFDFx，则 CF2b-x22a-x，由勾股定理得 OF2+OC2=CF2，即 x2
18、+（2a）2（2 a-x）2，解得 x22a，从而得 OFDF22a，进而求得 GE=6DF；又 22OF2222a2a，从而可得OC=22OF；因条件不足，无法证明FCOGCE，因而无法判断COFCEG. 据此逐项分析即可得出正确答案. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：取 AB 与 CD 的中点 M，N，连接 MN，作点 B 关于 MN 的对称点 E，连接 EC， EB ， 此时 CE的长就是 GB+GC 的最小值； MNAD， HM= 12 AE， HBHM，AB=4，A=60 ， MB=2，HMB=60 ， HM=1， AE=2， E 点与 E点重合， AEB=MHB=90 ， CB
19、E=90 ， 在 RtEBC 中，EB=2 3 ，BC=4， EC=2 7 ， 故答案为：B. 【分析】取 AB 与 CD 的中点 M，N，连接 MN，作点 B 关于 MN 的对称点 E，连接 EC，EB，此时CE 的长就是 GB+GC 的最小值；利用三角形的中位线定理可得到 HM= 12 AE，可求出 HM 的长；利用30 角所对的直角边等于斜边的一半，可求出 AE 的长，利用勾股定理求出 BE 的长；然后利用勾股定理求出 EC 的长. 6 【答案】C 【解析】【解答】解： 点 D、E、F 分别是ABC 三边的中点， DE、DF 为ABC 得中位线， EDAC，且 ED 12 ACAF；同理
20、 DFAB，且 DF 12 ABAE， 四边形 AEDF 一定是平行四边形，故 B 正确； ， =14 ， =14 ， 和 的面积相等，故 A 正确； = ， DF 12 AB=AE， 四边形 不一定是菱形，故 C 错误； A90 ，则四边形 AEDF 是矩形，故 D 正确； 故答案为：C. 【分析】 根据三角形中位线定理可得 EDAC， 且 ED 12 ACAF， DFAB， 且 DF 12 ABAE，可证四边形 AEDF 一定是平行四边形，由A=90 ，可证四边形 AEDF 是矩形；根据平行线可证 ， ， 利用相似三角形的性质可得 =14， =14，据此判断 A、B、D；由 = ，可得 D
21、F 12 AB=AE，从而得出四边形 不一定是菱形，据此判断 C. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：四边形 是平行四边形 AB=CD B=ADC=60 ，ACBCAD 由翻折可知：BAABDC，ACBAC B=45， AEC 为等腰直角三角形 AE=CE RtAE BRtCDE EB=DE 在等腰 RtAEC 中， = 6 = 3 在 RtDEC 中， = 3 ，ADC=60 DCE=30 DE=1 在等腰 RtDE B中，EB=DE=1 = 2 故答案为：B 【分析】 由折叠的性质可得AEC为等腰直角三角形， 结合平行四边形的性质可证RtAE BRtCDE，由全等三角形的性质可得 EB=
22、DE，在等腰 RtAEC 中，用勾股定理可求得 CE 的值，解 RtDEC 可求得 DE 的值，在等腰 RtDE B中，用勾股定理可求解. 8 【答案】A 【解析】【解答】解：如图 1，连接 AC 并延长到点 E. = + ， = + ， + = + + + 即 = + + 所以结论正确； 如图 2，连接 BD，作直线 AC. = ， 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上. = ， 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上. 点 A 和点 C 都在线段 BD 的垂直平分线上. 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线. 所以结论正确； 如图， 由可知， = + + ， 当 = 2 时，有 2 = +
23、 + ， = + 因再无其它已知条件证得 BC=CD，所以结论错误； 如图，假设存在凹四边形 ABCD，连接 AC. 当 = ， = 时， = ， () 1 = 4，3 = 2 ABCD，BCDA. 四边形 ABCD 是平行四边形. 平行四边形是凸四边形， 这与“四边形 ABCD 是凹四边形”的假设相矛盾. 不存在凹四边形 ABCD，使得 = ， = 所以结论错误. 故答案为：A. 【分析】如图 1，连接 AC 并延长到点 E，利用三角形外角和定理可得BCD=BAD+B+D； 如图 2，连接 BD，作直线 AC，根据线段垂直平分线的性质与判定，可得 ACBD； 由得BCD=BAD+B+D，结合
24、 = 2，可得A=B+D，无法证明 BC=CD； 如图，假设存在凹四边形 ABCD，连接 AC.证明四边形 ABCD 是平行四边形，由于平行四边形是凸四边形，据此判断即可. 9 【答案】B 【解析】【解答】解：A、重叠部分为矩形，长是 4 宽是 2，所以面积为 4 2=8； B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于 2，高是 4，所以面积大于 8； C、图 C 与图 B 对比，因为图 C 的倾斜度比图 B 的倾斜度小，所以，图 C 的底比图 B 的底小，两图为等高不等底，所以图 C 阴影部分的面积小于图 B 阴影部分的面积； D、如图，BD= 42+ 42= 42 ，GE=DE=2
25、，HF=BF=2， GH= 42 4 ， S重叠部分= 2(42+424)2= 82 4 ，小于 8； 故答案为：B. 【分析】A、阴影部分是长方形，根据长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积=8； B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于 2，高是 4，根据平行四边形的面积公式即可求出阴影部分的面积8； C、图 C 阴影部分的倾斜度比图 B 阴影部分的倾斜度小，得出图 C 中平行四边形的底比图 B 中平行四边形的底小，高是 4，从而得出图 C 阴影部分的面积小于图 B 阴影部分的面积； D、先求出 BD 的长，从而求出 GH 的长，利用梯形的面积公式求出阴影部分的面积8，即可得出
26、重叠部分的面积最大的是图 B. 10 【答案】C 【解析】【解答】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本选项说法是假命题； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项说法是真命题； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，本选项说法是假命题； 故答案为：C. 【分析】根据平行四边形的判定定理可判断 A；根据菱形的判定定理可判断 B；根据矩形的判定定理 可判断 C；根据正方形的判定定理可判断 D. 11 【答案】24 【解析】【解答】矩形 的周长为 20 ， + = 10 ， 设 = ，则
27、 = 10 ， = + 2 ， = 12 ， 阴影= = = ( + 2)(12 ) (10 ) = 12 + 24 2 2 10 + 2 = 24 ， 故答案为 24. 【分析】 由矩形的性质及周长， 可求出 + = 10， 设 = ， 则 = 10 ， = + 2 ， = 12 ，由阴影= 矩形 矩形，利用矩形的面积公式代入计算即得结论. 12 【答案】（3，0） 【解析】【解答】解：四边形 是平行四边形， OA=BC=3， 点 A 的坐标是（3，0） ， 故答案是： （3，0）. 【分析】由平行四边形的性质可得 OA=BC=3，据此不难得到点 A 的坐标. 13 【答案】98 【解析】【
28、解答】解：过点 C 作 CM/ 交 于点 M， 平行四边形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形 = ， = , = = = ， = = ， = =34, = 1 =43 = = = = 3 43 =53 = + = + = = = 4 1 = 3 = = = = / ， / / = = 在 和 中， = = = = = 1 / =153=35 =38 =38 =38 =38 3 =98 故答案为： 98 . 【分析】过点 C 作 CM/ 交 于点 M，利用旋转的性质可得 AB=AB ，AD=AD ，同时可证 得两平行四边形的对角相等，由此可推出BAB=DAD,B=D ，可推出ABBA
29、DD ，利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出 DD的值，即可求出 CD ，BC；再证明CMEDCE，利用相似三角形的性质可求出 CE 的长. 14 【答案】50 【解析】【解答】解：过点 E 作 EFBC，垂足为 F， EBC=30 ，BE=10， EF= 12 BE=5， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DEC=BCE， 又 EC 平分BED，即BEC=DEC， BCE=BEC， BE=BC=10， 四边形 ABCD 的面积= = 10 5 =50， 故答案为：50. 【分析】过点 E 作 EFBC，垂足为 F，由含 30 角的直角三角形的性质得出 EF=
30、 12 BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出BCE=BEC， 从而可得 BE=BC=10， 由平行四边形 ABCD 的面积= ，据此计算即可. 15 【答案】125 【解析】【解答】解：菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8，DB=6， AO=4，DO=3，AOD=90 ， AD=5， 在 中，由等面积法得： 12 =12 ， =345=125 故答案为： 125 . 【分析】由菱形的性质得出 AO=4，DO=3，AOD=90 ，利用勾股定理求出 AB=5，由ADO 的面积 =12 =12 ，据此求出 OE 的长. 16 【答案】43 【解析】【解答】解
31、：由折叠性质可得 CF=BC=5，BE=EF， 由矩形性质有 CD=AB=3，BC=AD=5， D=90 ， = 2 2= 4， 所以 = = 5 4 = 1， 所以 BE=EF=x，则 AE=AB-BE=3-x，在 RtAEF 中： 2+ 2= 2， (3 )2+ 12= 2， 解得 =53， = 3 53=43 故答案为：43. 【分析】由折叠的性质可得 CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质可得 CD=AB=3，BC=AD=5，利用勾股定理可得 DF，由 AF=AD-DF 可得 AF，设 BE=EF=x，则 AE=3-x，利用勾股定理可得 x，进而可得 AE. 17 【答案】1 【解析】
32、【解答】解：连接 AG，EG，如图， HG 垂直平分 AE， AG=EG， 正方形 ABCD 的边长为 8， B=C=90 ，AB=BC=CD=8， 点 E 是 CD 的中点， CE=4， 设 BG=x，则 CG=8-x， 由勾股定理，得 EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， （8-x）2+42=82+x2， 解得：x=1. 故答案为：1. 【分析】连接 AG，EG，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AG=EG，根据正方形的性质可得B=C=90 ， AB=BC=CD=8， 由中点的概念可得 CE=4， 设 BG=x， 则 CG=8-x，
33、 然后在 RtCEG、RtABG 中，利用勾股定理计算即可. 18 【答案】49 【解析】【解答】解：两个空白正方形的面积分别为 12 和 3， 边长分别为23和3， 大正方形的边长为23 + 3 = 33， 大正方形的面积为(33)2= 27， 阴影部分的面积为 27-12-3=12， 米粒落在图中阴影部分的概率=1227=49. 故答案为：49. 【分析】根据空白正方形的面积可得边长分别为23和3，则大正方形的边长为33，求出大正方形的面积，然后求出阴影部分的面积，接下来根据几何概率公式进行计算即可. 19 【答案】10 【解析】【解答】解：如图，设 AC 与 MN 的交点为 O ， 根据
34、作图可得 MNAC，且平分 AC ， = ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ， = ， 又 = ， = ， ， = ， ， 四边形 AECF 是平行四边形， MN 垂直平分 AC ， = ， 四边形 AECF 是菱形， ， ， ， = 1 ， E 为 BC 的中点， 中， = 3 ， = 4 ， = 2+ 2= 5 ， =12 =52 ， 四边形 AECF 的周长为 4 = 10 . 故答案为： 10 . 【分析】设 AC 与 MN 的交点为 O，根据作图可得 MNAC 且平分 AC，则 AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得FAO=OCE，证明AOFCOE，得到 AF=EC，推出
35、四边形 AECF 是平行四边形，结合 EA=EC 可得四边形 AECF 为菱形，易得 EFAB，根据平行线分线段成比例的性质可得E 为 BC 的中点，根据勾股定理可得 BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得 AE=12BC，据此求解. 20 【答案】52 【解析】【解答】解：点 M、N 分别是边 AD、BC 的中点， 连接 MN，则四边形 ABNM 是矩形， MN=AB=6，AM=BN=12AD=4， 根据题意知 EF 在运动中始终与 MN 交于点 Q，如图， 四边形 ABCD 是矩形， AD/BC， ， =12 =13 = 2 当点 E 与点 A 重合时，则 NF=12 = 2， BF=BN
36、+NF=4+2=6， AB=BF=6 是等腰直角三角形， = 45， BHAF， = 45 由题意得，点 H 在以 BQ 为直径的上运动，运动路径长为长，取 BQ 中点 O，连接 HO，NO， HON=90 ， 又 = 90， = 2+ 2= 42+ 22= 25， = = =12 = 5， 的长为905180=52 故答案为：52. 【分析】连接 MN，则四边形 ABNM 是矩形，MN=AB=6，AM=BN=4，根据矩形的性质可得 AD/BC，证明AQMFQN， 根据相似三角形的性质可得NQ， 当点E与点A重合时， 则NF=2， BF=BN+NF=6，推出ABF 是等腰直角三角形，得到AFB
37、=HBF=45 ，由题意得：点 H 在以 BQ 为直径的上运 动，运动路径长为长，取 BQ 中点 O，连接 HO，NO，利用勾股定理求出 BQ，有 ON=OH=OQ 可得 ON 的值，然后根据弧长公式进行计算. 21 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， = ， = ， 又 = ， （SAS） ； （2）证明： ， = ， = = ， 四边形 AECF 是平行四边形. 【解析】【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得 ABCD，AB=CD，根据平行线的性质得ABE=CDF，结合 BE=DF，然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明； （2） 根据全等三角形的性质可得 AE=CF，
38、AEB=CFD，结合邻补角的性质可得AEF=CFE，推出 AECF，然后根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明. 22 【答案】（1）证明：四边形 为正方形， = = 90 ， + = 90 四边形 为正方形， = ， = 90 ， + = 90 ， = 在 和 中， = = 90 ， = ， = ， = + = + = ； （2）AE=CF （3）解：四边形 为正方形， = ， ， 四边形 为平行四边形 过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ， = ： = 4：5 ， 设 = 4 ， = 5 ， = ，则 16=20520 ， = 4(4 ) =12 =12
39、4 4(4 ) = 8( 2)2+ 32 当 = 2 时， 的面积最大， = 4 = 8 =12 = ， = 5 = 10 =12 = ， 四边形 是平行四边形 【解析】【解答】解： （2） AE=CF ，证明如下： 四边形 ABCD 为正方形， = = 90 ，AB=BC=AD=CD， AE=AH，CF=CG，AE=CF， AH=CG， ， EH=FG AE=CF， ABAE=BCCF，即 BE=BF， BEF 是等腰直角三角形， BEF=BFE=45 ， AE=AH，CF=CG， AEH=CFG=45 ， HEF=EFG=90 ， EHFG， 四边形 EFGH 是矩形. 【分析】 （1）根
40、据正方形的性质可得A=B=90 ，EH=EF，HEF=90 ，根据同角的余角相等可得BEF=AHE，证明AEHBFE，得到 AH=BE，据此证明； （2）同理证明AEHFCG，得到 EH=FG，根据线段的和差关系可得 BE=BF，推出EBF 是等腰直角三角形，得到BEF=BFE=45 ，易得AEH=CFG=45 ，则HEF=EFG=90 ，推出 EHFG，然后根据矩形的判定定理进行解答； （3） 根据正方形的性质可得 ABCD， 易得四边形 AEGD 为平行四边形， 则 ADEG， 过点 H 作 HMBC，垂足为点 M，交 EG 于点 N，设 OE=4x，OF=5x，HN=h，根据平行线分线段
41、成比例的性质可得h，由三角形的面积公式可得 S，根据二次函数的性质可得 S 的最大值以及对应的 x 的值，进而求出OE、OF，然后结合平行四边形的判定定理进行解答. 23 【答案】（1）证明：如图 1 中，作 FMAC，垂足为 M， 四边形 ABCD 是矩形， B90 ， FMAC， BAMF90 ， 旋转角等于BAC， BACEAF，AE=AF BAEMAF， 在ABE 和AMF 中， ABEAMF（AAS） ， ABAM； （2）解： 解：当点 E 在 BC 上，在 RtABE 中， AB4，AE32， 2 2(32)2 422， ABEAMF， ABAM4，2， 在 RtABC 中，AB
42、4，BC3， 2242325， CMACAM541， CMF90 ， 2212(2)23 当点 E 在 CD 上时，过点 F 作 FNAC 于点 N， BAC=EAF， BAE=FAN， ABCD， BAE=AED=FAN， 在ADE 和ANF 中， = = = ADEANF（AAS） ， AD=NF=3，AN=DE 在 RtADE 中 = = 2 2=(32)2 32= 3， CN=AC-AN=5-3=2 在 RtCNF 中 = 2+ 2= 32+ 22= 13； CF 的值为3或13. （3）解：当点 E 在 BC 上时，如图 2 中，过点 D 作 DHFM 于点 H， ABEAMF， A
43、MAB4， AMF90 ， 点 F 在射线 FM 上运动，当点 F 与 K 重合时，DH 的值最小， CMJADC90 ，MCJACD， CMJCDA， ， 1435， 34，54， 4 54114； CMJDHJ90 ，CJMDJH， CMJDHJ， ， 154114， 115， DF 的最小值为115； 当点 E 在线段 CD 上时， 如图 3 中， 将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转， 旋转角为BAC， 得到线段 AR，连接 FR，过点 D 作 DQAR 于点 Q，DKFR 于点 K， EAFBAC，DARBAC， DAERAF， 在ADE 和ARF 中 ADEARF（SAS） ， AD
44、EARF90 ， 点 F 在直线 RF 上运动，当点 D 与 K 重合时，DF 的值最小， DQAR，DKRF， RDQRDKR90 ， 四边形 DKRQ 是矩形， DKQR， cos3 45125， ARAD3， 35， DF 的最小值为35， 35115， DF 的最小值为35. 【解析】【分析】（1） 作 FMAC， 垂足为 M， 利用矩形的性质和垂直的定义可证得BAMF90 ，利用旋转角等于BAC，可证得BAEMAF，AE=AF，利用 AAS 证明ABEAMF，利用全等三角形的性质可证得结论. （2）分情况讨论：当点 E 在 BC 上，在 RtABE 中，利用勾股定理求出 BE 的长，
45、利用全等三角形的性质可得到 AB，FM 的长；在 RtABC 中，利用勾股定理求出 AC 的长，即可求出 CM 的长，利用勾股定理求出 CF 的长； 当点 E 在 CD 上时， 过点 F 作 FNAC 于点 N， 易证BAE=AED=FAN，利用 AAS 证明ADEANF，利用全等三角形的性质可证得 AD=NF=3，AN=DE，利用勾股定理求出 AN 的长，即可得到 CN 的长；然后在 RtCNF 中，利用勾股定理求出 CF 的长，综上所述可得到CF 的值. （3）分情况讨论：当点 E 在 BC 上时，如图 2 中，过点 D 作 DHFM 于点 H，利用全等三角形的性质可得到 AM 的长，同时
46、可得到点 F 在射线 FM 上运动，当点 F 与 K 重合时，DH 的值最小，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似， 可证得CMJCDA， 利用相似三角形的对应边成比例可求出MJ，CJ 的长，由此可求出 DJ；再证明CMJDHJ，利用相似三角形的性质可求出 DH 的长；当点E 在线段 CD 上时，如图 3 中，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转，旋转角为BAC，得到线段 AR，连接FR，过点 D 作 DQAR 于点 Q，DKFR 于点 K，利用 SAS 证明ADEARF，可得到ADEARF90 ，即可证得点 F 在直线 RF 上运动，当点 D 与 K 重合时，DF 的值最小；易证四边形 DK
47、RQ是矩形，利用矩形的性质可证得 DK=QR，利用解直角三角形求出 AQ 的长，同时可求出 DK 的长，由此可得到 DF 的最小值，比较大小可求出 DF 的最小值. 24 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 BD 的中点， ABDC，OB=OD， OBE=ODF. 在BOE 和DOF 中， = = = ， BOEDOF（ASA） （2）证明：BOEDOF， EO=FO， OB=OD， 四边形 BEDF 是平行四边形. DE=BF. 【解析】【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得 ABDC，由中点的概念可得 OB=OD，根据平行线的性质可得OBE=ODF， 由对顶角的性
48、质可得BOE=DOF， 然后根据全等三角形的判定定理ASA 进行证明； （2）根据全等三角形的性质可得 EO=FO，结合 OB=OD 可推出四边形 BEDF 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论. 25 【答案】（1）解：设 = ，则 = 4 ， = = 4 ， 在 中， 2+ 2= 2 ， (22)2+ 2= (4 )2 ， = 1 ， = 1 ， = = 3 ， = ， 1 = 2 ， = 90 ， = 90 2 ， = 90 1 ， 由折叠可知 ， = = 90 1 ， = = 22 ， + 1 = 90 ， = 90 ， 在 中， = 2+ 2=(22)2+ 32= 17 （
49、2）解：过 F 作 FMBC 于 M， FME=FMC=90 ， 设 EM=a，则 EC=3-a， 在 中， 2= 2 2 ， 在 中， 2= 2 2 ， 2 2= 2 2 ， (17)2 2= 42 (3 )2 ， =53 ， =53 ， =(17)2 (53)2=832 ， sin =83217=85134 【解析】【分析】 （1）设 BE=x，则 AE=EC=4-x，在 RtABE 中，根据勾股定理可得 x，据此可得 BE、AE、 CE 的值， 根据等腰三角形的性质得1=2， 由折叠得FACBAC， 得到FAC=CAB， AF=AB，结合1+CAB=90 可得FAC+1=90 ，则FAE
50、=90 ，然后利用勾股定理可得 EF； （2）过 F 作 FMBC 于 M，设 EM=a，则 EC=3-a，在 RtFME、RtFMC 中，由勾股定理建立方程，求解可得 a 及 FM 的长，然后根据三角函数的概念进行计算. 26 【答案】（1）解：BC=x，矩形 CDEF 的面积是矩形 BCFA 面积的 2 倍， CD=2x， BD=3x，AB=CF=DE= 13 (24-BD)=8-x， 依题意得：3x(8-x)=36， 解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)， 此时 x 的值为 2m； （2）解：设矩形养殖场的总面积为 S， 由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48， -
