1、 专题专题 18 18 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1如图， 在正方形中， = 20， AF 交对角线 BD 于点 E， 交 CD 于点 F， 则 = （ ） . A80 B70 C65 D60 2在 中， ， 为对角线 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 一定为平行四边形的是（ ） A/ B = C = D = 3如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 O， 于点 O，交 于点 E，若 的周长为 5， = 2 ，则 的长为（ ）. A2 B2.5 C3 D4 4 （2021 福建模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，已知动点 A 在双曲线 =( 0) 的第一象限分支上，连接 ，以
2、 为边，构造正方形 ，设正方形 的面积为 S.若 4 ，则实数 k 的值是（ ） A22 B2 C2 D42 5 （2021 福建模拟）一个多边形的外角和是其内角和的 2 倍（ 为正整数） ，则该多边形的边数是（ ） A B + 1 C + 2 D 2 6 （2021 厦门模拟）下列图形中，一定是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B等腰直角三角形 C平行四边形 D正五边形 7 （2021 三明模拟）如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 BC 的中点，若 OE3，则 AB 的长为（ ） A3 B6 C9 D12 8 （2021 三明模拟）如图，菱形 ABCD 中，B
3、AD = 60 ，AB = 6，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，将AEF 沿 EF 翻折得到GEF，若点 G 恰好为 CD 边的中点，则 AE 的长为（ ） A34 B214 C3415 D3 3 9 （2021 惠安模拟）如图，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，使得点 C 落在对角线 BD 上的点 处，则 的度数是（ ） A65.5 B67.5 C70 D72.5 10 （2021 永安模拟）如图，反比例函数 = 的图象经过正方形 ABCD 的顶点 A 和中心 E，若点 D的坐标为 (1,0) ，则 k 的值为 () A2 B-2 C12 D12 二、填空题二、填空题 11 （2
4、021 福建）如图， 在矩形 中， = 4， = 5 ， 点 E， F 分别是边 ， 上的动点，点 E 不与 A，B 重合，且 = ，G 是五边形 内满足 = 且 = 90 的点.现给出以下结论： 与 一定互补； 点 G 到边 ， 的距离一定相等； 点 G 到边 ， 的距离可能相等； 点 G 到边 的距离的最大值为 22 . 其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 12 （2021 厦门模拟）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 ，则 的余弦值为 . 13 （2021 厦门模
5、拟）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 在 轴正半轴上，四边形 为平行四边形， 反比例函数 = 的图象经过点 与边 相交于点 ， 若 = 15 ， = 2 ，则 = . 14（2021 泉州模拟）如图， 点A、 C为反比例函数 1= 6 上的动点， 点B、 D为反比例函数 2=2 上的动点，若四边形 为菱形，则该菱形边长的最小值为 . 15 （2021 泉州模拟）若 n 边形的每一个外角都为 45 ，则 n 的值为 . 16 （2021 泉州模拟）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经中“赵爽弦图”经修饰后的图形， 四边形 与四边形 均为正方形， 点 H 是 的中点， 阴影部分
6、的面积为 24，则 的长为 . 17（2021 福建模拟）如图所示， 在 中， = 9 ， 对角线 ， 交于点 O， 点 E 在 的延长线上，且 = 3 .连接 交 于点 F，则 = . 18 （2021 邵武模拟）如图，四边形 ABCD 为矩形，E 为对角线 AC 的中点，A、B 在 x 轴上.若函数 y = 4 (x 0 )的图象过 D、E 两点，则矩形 ABCD 的面积为 19 （2021 福州模拟）如图，平行四边形 OABC 中，点 A，C 在反比例函数 =1 第一象限的图象上，点 B 在反比例函数 =2 第一象限的图象上，连接 并延长交 x 轴于点 D，若 = 2 ，则 12 的值是
7、 . 20（2021 湖里模拟）如图， 在 中， ， ， 分别为边 ， 上的点 （ ， 不与端点重合）.对于任意 ，下面四个结论： 存在无数个平行四边形 ； 至少存在一个菱形 ； 至少存在一个矩形 ； 存在无数个面积是 面积的一半的四边形 .所有正确结论的序号是 . 三、综合题三、综合题 21 （2021 湖里模拟）正方形 ABCD 中，点 P 是边 CD 上的任意一点. （1）求作点 E，使得 PEBD 于 E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）在（1）的条件下，用等式表示线段 AE 与 BP 之间的数量关系，并证明. 22 （2021 湖里模拟）在正方形 ABCD 中，A
8、C 是对角线，点 E 在 AD 边上（不与点 A 重合） ，点 F 在CD 边上，连接 BE，BF，EF，已知 = 45. （1）求证： = . （2）设 = (0 0) ， 则 =2+ ()2=2+22 ， = 2= 2+22 ， ( )2= 2+22 2 0 ， 2+22 2 ， 又 = 2+22 4 ， 2 = 4 ， 解得 = 2 ， 故答案为：B. 【分析】设点 A 的坐标为 (,)( 0) ，根据两点之间的距离公式、正方形的面积公式可得 = 2+22 ，再利用完全平方公式可得 2+22 2 ，然后根据 4 可得 2 = 4 ，由此即可得出答案. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：
9、多边形的外角和为 360 ， 内角和为 ( 2) 180 ， 可列关系： ( 2) 180 2= 360 ， 整理得： = + 2 ， 故答案为：C. 【分析】由多边形的内角和定理得内角和为 ( 2) 180，多边形的外角和为 360 ，根据题中的相等关系列关于 n 的方程可求解. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、等腰直角三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意； D、正五边形不是中心对称图形，故本选项不合题意. 故答案为：C. 【分析】中心对称图形绕其中心点旋转 180 后图形仍和原
10、来图形重合；中心对称图形是关于点对称，因此中心对称图形必有偶数个顶点，依此分别判断即可. 7 【答案】B 【解析】【解答】在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， OA=OC， EB=EC， AB=2OE, OE3， AB=6, 故答案为：B. 【分析】点 O 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点，则 OE 是三角形 ABC 的中位线，据此计算即可 8 【答案】B 【解析】【解答】解：过点 D 作 DHAB，垂足为点 H，连接 BD 和 BG，如下图所示： 四边形 ABCD 是菱形， = = = = 6 ， = = 60 ， ， 与 是等边三角形， 且点 G 恰好为 CD 边的中点
11、， 平分 AB， ， ， ， ， = ， ， 在 中， =12 = 3 ， 由勾股定理可知： = 2 2= 33 ， = = 33 ， 由折叠可知： ，故有 = ， 设 = = ，则 = = 6 ， 在 中，由勾股定理可知： 2+ 2= 2 ， 即 (6 )2+ (33)2= 2 ，解得 =214 ， 故答案为：B. 【分析】过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 BD 和 BG，由菱形性质得 AB=AD=CD=BC，C=60 ，可推出ADB 和BCD 是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出点 G 恰好为 CD 边的中点；再求出AH 的长，利用勾股定理求出 DH 的长，即可得到 BG 的长；
12、利用折叠的性质可知 AE=GE，设 AE=x，可表示出 BE 的长，利用勾股定理建立关于 x 的方程，解方程求出 x 值. 9 【答案】B 【解析】【解答】解： 四边形 ABCD 是正方形， BD 是正方形的对角线， = 45 ， 折叠， = ， = ， = =180452= 67.5 ， 故答案为：B. 【分析】利用正方形的性质可得到BDC=45 ，利用折叠的性质可证得 DE=DC，利用等边对等角可证得DEC=DCE，然后利用三角形的内角和定理求出DEC 的度数. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：反比例函数 y= 的图象经过正方形 ABCD 的顶点 A 和中心 E，点 D 的坐标为（-
13、1，0） ， 点 A 的坐标为（-1，-k） ， 点 E 的坐标为（-1+0.5k，-0.5k） ， -0.5k= 1+0.5 ， 解得，k=-2， 故答案为：B. 【分析】首先表示出点 A、E 的坐标，然后将点 E 的坐标代入反比例函数解析式中求解即可. 11 【答案】 【解析】【解答】 = 90 = = 45 四边形 是矩形 = 90 = 90 ，四边形内角和为 360 + = 180 正确. 如图：过 作 ， = = 90 + = 180 ， + = 180 = 又 = () = 即点 G 到边 ， 的距离一定相等 正确. 如图：过 作 ， 12 = 2， 12 = 3 sin45 =
14、4 22， sin45 = 5 22 4 22 2，5 22 3 而 2 0) 上， D 点坐标为 (，4) ， =4 ， =2 ， (2，2) ， = ， = 2 ， 矩形 ABCD 的面积 = 2 4= 8 ， 故答案为：8. 【分析】 过E作EFAB于F， 根据矩形的性质可得AE=CE， 推出EF为ABC的中位线， 得到AD=2EF，设 D（m， 4） ，表示出 AD、EF，得到点 E 的坐标，然后表示出 AF、AB，接下来根据矩形的面积公式进行计算即可. 19 【答案】29 【解析】【解答】解：作 AMx 轴于 M，CNx 轴于 N ， / ， = ， = 2 ， =12 ， = 2
15、， 设 (1 ， ) ，则 (12 ， 2) ， 四边形 OABC 是平行四边形，且原点 O 向右平移 12 个单位，向上平移 2m 个单位得到 A ， 点 C 向右平移 12 个单位，向上平移 2m 个单位得到 B ， (1+12 ， 3) ， 点 B 在反比例函数 =2 第一象限的图象上， (1+12) 3 = 2 ， 12=29 ， 故答案为： 29 . 【分析】 作AMx轴于M， CNx轴于N， 根据平行线分线段成比例的性质可得AM=2CN， 设C （ 1，m） ，则 A（12，2m） ，易得 B（1+12，3m） ，代入 y=2中化简就可得到结果. 20 【答案】 【解析】【解答】存
16、在无数个平行四边形 ，故正确； 平行四边形的包含矩形、菱形图形，故正确； 平行四边形不一定是矩形，故正确； 存在无数个平行四边形 ABEF，故正确； 【分析】只要 EFAB 就可得到平行四边形 ，可以判断只要邻边相等，平行四边形是菱形，可判断 如果A 和B 不是直角，则四边形 不可能是矩形，可判断 21 【答案】（1）解：如图，点 E 即为所作； （2）解：BP= 2AE. 证明如下： 设PBC，连结 BP，取 BP 中点点 O，连接 OC，EC， 在正方形 ABCD 中，BCDC，C90 ， DBCCDB45 ， PBC DBP45 ， PEBD，且 O 为 BP 的中点， EOBO， EB
17、OBEO， EOPEBO+BEO90 2， 在正方形 ABCD 中，ABBC，ABDCBD，BEBE， ABECBE（SAS） ， AECE， 在 RtBPC 中，O 为 BP 的中点， COBO=12BP， OBCOCB， COP2 ， EOP90 2， EOCCOP+EOP90 ， 又BOEO， EOCO. EOC 是等腰直角三角形， EO2+OC2EC2， EC= 2OC=22BP， 即 BP= 2EC， BP= 2AE. 【解析】【分析】 （1）过点 P 作 BD 的垂线即可； （2） BP= 2AE；设PBC，连结 BP，取 BP 中点点 O，连接 OC，EC， 由正方形的性质可求出
18、DBP45 ， 根据直角三角形斜边中线的性质可得 EOBO，利用等边对等角可得EBOBEO， 根据三角形外角的性质可得EOPEBO+BEO90 2，同理可证 COP2 ，则可求出EOC 是等腰直角三角形，根据勾股定理可得 EO2+OC2EC2，即得 EC= 2OC=22BP，证明ABECBE（SAS） ，可得 AECE，继而得出 BP= 2EC= 2AE. 22 【答案】（1）证明：四边形是正方形， = = = 90， = = = ， 在 中， = 45， = 90 = 45 = ， = ， = ， = ， ()， = ； （2）解：设 = ，则 = = ， = ， = ， = = = = (
19、1 )， 1=12 =12 =122， 2=12 =12(1 )2=12(1 )22， 当 =12时，1=122=142， 2=12(1 )22=12(1 12)22=182， 1= 22； 当2= 21时，2 122=12(1 )22， = 2 + 3(由于0 02 2 0 ，解得： 22 2 1 . S= 12 DG EF= 12 EF， 当 EF= 22 2 时，S 取最小值 2 1 . GB=（ 2 1 ）DG 【解析】【解答】解：(3) DEF 为等腰三角形，EF 为底， G 为 EF 中点，易得 GB= 12 EF= 2 1 ， =211 GB=（ 2 1 ）DG. 【分析】 （1
20、）利用三点共线，可以求出 k=1； （2）当点 G 与点 E 重合时，DG 取最小值，当点 F 与点 C 重合时，DG 取最大值，进而求出 k 的取值范围； （3）设 BE=m，BF=n，利用一元二次方程的根与系数的关系进行和不等式进行求解； 根据求出的 EF= 22 2 ，由于 DEF 为等腰三角形，EF 为底，所以 G 为 EF 中点，易得 GB= 2 1 ，进而可以求出 GB=（ 2 1 ）DG. 25 【答案】（1）证明：COD 是等边三角形， COD=OCD=60 ， AOB=COD=60 ， 又ABBD， BAO=30 ， OCD=2BAO， AOB 与COD 为倍优三角形. （2
21、）解：由题意，BCOPAO，APOCBO. 若BCO=2PAO， 则DAO=2PAO， AP 平分DAC. 过点 P 作 PHAC 于 H， 得 PD=PH， 不妨设 PD=PH=m，则 PC=2-m. 则 PC 2 PH， 2m 2 m， m 2(2 1) ， tanDAP = 2 1 ； 若APO=2CBO， 过点 P 作 PIBC 交 AB 于 I， 则BPI=CBO. 又APO=2CBO， APO=2BPI， 则DAP=API=BPI=CBP， 故 DP=CP=1， tanDAP = 12 ， 综上，DAP 的正切值为 2 1 或 12 . 【解析】【分析】 （1）利用等边三角形的性质
22、可证得COD=OCD=60 ，由此可求出AOB、COD的度数，再求出BAO 的度数，即可证得OCD=2BAO，利用倍优三角形的定义可证得结论； （2）利用已知可得到BCOPAO，APOCBO；分情况讨论： 若BCO=2PAO，可得到DAO=2PAO，由此可推出 AP 平分DAC；过点 P 作 PHAC 于 H，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可证得 PD=PH；设 PD=PH=m，可表示出 PC 的长，利用解直角三角形建立关于 m的方程， 解方程求出 m 的值； 然后利用锐角三角函数的定义求出 tanDAP 的值； 若APO=2CBO， 过点 P 作 PIBC 交 AB 于 I，易证BPI
23、=CBO，结合易证可证得DAP=API=BPI=CBP，即可求出 DP，PC 的长；然后利用锐角三角函数的定义求出 tanDAP 的值. 26 【答案】（1）证明：在矩形 中， = = 90 ， + = 90 ， = 90 ， + = 90 ， = ， ； （2）解：当点 运动到 的延长线上， = = 3 ， = 时，使 、 、 、 四点构成的四边形为轴对称图形，如图 矩形 ， = = 90 ， = ， = 即 34=4 ，解之： =163 ， = =163 3 =73 同理可证 = 即 73=16 解之： =437 = =437 3 当点 运动到 的延长线上时，则 = = 3 ， = 时，使
24、 、 、 、 四点构成的四边形为轴对称图形，如图， 同理求出 =437 ， = + =437 + 3 当点 在线段 上（不与点 重合） ，不存在； 当点 与点 重合，则点 于点 重合，点 于点 重合， = 3 . 的长为 437+ 3 或 437 3 或 3. 【解析】【分析】 （1）根据矩形的性质可得A=EBC=90 ，根据同角的余角相等可得BCE=EBG，然后利用相似三角形的判定定理进行证明； （2）当点 E 运动到 BA 的延长线上，CD=CG=3、DF=FG 时，使 D、F、G、C 四点构成的四边形为轴对称图形， 利用有两组角对应相等的两个三角形相似易证CGBCBE， 根据相似三角形的
25、性质求出 CE，进而可得 EG；同理可证EGBEBC，求出 AE 的值；当点 E 运动到 AB 的延长线上时，则 DC=CG=3、DF=FG，使 D、F、G、C 四点构成的四边形为轴对称图形，同理可得 AE；当点 E 在线段 AB 上（不与点 B 重合） ，不存在；当点 E 与点 B 重合，则点 G 于点 B 重合，点 F 于点A 重合，据此可得 AE. 27 【答案】（1）证明：ABDCBE BCE=BAD 四边形 ABCD 的内角和为 360，ABC + ADC = 90 BAD+BCD=360(ABC + ADC)=270 BCE+BCD=270 BCE+BCD +DCE=360 DCE
26、=90 即 DCCE （2）解：过点 A 作 AFCD 于点 F，过点 D 作 DGBE 于点 G，如图 ABDCBE =58 ，ABD=CBE =85 =85 20 = 32 ， =85 =516 =1212=516 =516 =51685 即 =12 AFCD sin =12 ADC=30 ABC + ADC = 90 ABC=60 ABD=CBE ABD+DBC=DBC+CBE 即DBG=ABC=60 在 RtDBG 中， = sin = 20 32= 103 =12 =12 32 103 = 1603 【解析】【分析】 （1）根据相似三角形的对应角相等可得BCE=BAD，根据四边形的内
27、角和为 360 可得BAD+BCD=270 ，则BCE+BCD=270 ，然后结合周角为 360 求出DCE 的度数，据此证明； （2）过点 A 作 AFCD 于点 F，过点 D 作 DGBE 于点 G，根据相似三角形的性质可得 BE 的值，根据已知条件结合三角形的面积公式可得=516，进而求出 =12，由三角函数的概念得 sinADC的值，得到ADC 的度数，然后求出ABC 的度数，根据角的和差关系可得DBG=ABC=60 ，根据三角函数的概念求出 DG，然后根据三角形的面积公式进行计算即可. 28 【答案】（1）2 （2）解：如图 1， 设矩形的长和宽分别为 a，b，变形后的平行四边形的高
28、为 h， S1=ab，S2=ah， 12= ， sin= 1sin= ， 12=1sin ； AB2=AEAD， A1B12=A1E1A1D1，即 1111=1111 ， B1A1E1=D1A1B1， B1A1E1D1A1B1， A1B1E1=A1D1B1， A1D1B1C1， A1E1B1=C1B1E1， A1E1B1+A1D1B1=C1E1B1+A1B1E1=A1B1C1， 1sin=12=42= 2 sinA1B1C1= 12 ， A1B1C1=30 ， 111+ 111= 30 . 【解析】【解答】解： （1）矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是 135 度，另一个相邻内角为180 -135 =45 sin45 = 22 1sin45=2 ； 故答案为： 2； 【分析】 （1）矩形发生变形后的平行四边形较小的内角为 45 ，根据特殊角的三角函数值，即可作答； （2） 设矩形的长和宽分别为 a， b， 变形后的平行四边形的高为 h， 则 S1=ab， S2=ah， 求出 12=1sin ；根据 AB2=AEAD 列出比例式，证明 B1A1E1D1A1B1， 则可得出A1B1E1=A1D1B1， 从而推出 A1E1B1+A1D1B1=A1B1C1， 根 据 题 意 求 出 1sin= 2 ， 则 可 求 出 A1B1C1=30， 即 A1E1B1+A1D1B1的度数
