2023年福建省中考数学一轮复习专题训练18:四边形(含答案解析)

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资源描述

1、 专题专题 18 18 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1如图, 在正方形中, = 20, AF 交对角线 BD 于点 E, 交 CD 于点 F, 则 = ( ) . A80 B70 C65 D60 2在 中, , 为对角线 上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形 一定为平行四边形的是( ) A/ B = C = D = 3如图,在矩形 中,对角线 与 相交于点 O, 于点 O,交 于点 E,若 的周长为 5, = 2 ,则 的长为( ). A2 B2.5 C3 D4 4 (2021 福建模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,已知动点 A 在双曲线 =( 0) 的第一象限分支上,连接 ,以

2、 为边,构造正方形 ,设正方形 的面积为 S.若 4 ,则实数 k 的值是( ) A22 B2 C2 D42 5 (2021 福建模拟)一个多边形的外角和是其内角和的 2 倍( 为正整数) ,则该多边形的边数是( ) A B + 1 C + 2 D 2 6 (2021 厦门模拟)下列图形中,一定是中心对称图形的是( ) A等边三角形 B等腰直角三角形 C平行四边形 D正五边形 7 (2021 三明模拟)如图,在ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 BC 的中点,若 OE3,则 AB 的长为( ) A3 B6 C9 D12 8 (2021 三明模拟)如图,菱形 ABCD 中,B

3、AD = 60 ,AB = 6,点 E,F 分别在边 AB,AD 上,将AEF 沿 EF 翻折得到GEF,若点 G 恰好为 CD 边的中点,则 AE 的长为( ) A34 B214 C3415 D3 3 9 (2021 惠安模拟)如图,将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠,使得点 C 落在对角线 BD 上的点 处,则 的度数是( ) A65.5 B67.5 C70 D72.5 10 (2021 永安模拟)如图,反比例函数 = 的图象经过正方形 ABCD 的顶点 A 和中心 E,若点 D的坐标为 (1,0) ,则 k 的值为 () A2 B-2 C12 D12 二、填空题二、填空题 11 (2

4、021 福建)如图, 在矩形 中, = 4, = 5 , 点 E, F 分别是边 , 上的动点,点 E 不与 A,B 重合,且 = ,G 是五边形 内满足 = 且 = 90 的点.现给出以下结论: 与 一定互补; 点 G 到边 , 的距离一定相等; 点 G 到边 , 的距离可能相等; 点 G 到边 的距离的最大值为 22 . 其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 12 (2021 厦门模拟)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为 4,大正方形的面积为 100,直角三角形中较小的锐角为 ,则 的余弦值为 . 13 (2021 厦门模

5、拟)如图,在平面直角坐标系中, 为坐标原点, 在 轴正半轴上,四边形 为平行四边形, 反比例函数 = 的图象经过点 与边 相交于点 , 若 = 15 , = 2 ,则 = . 14(2021 泉州模拟)如图, 点A、 C为反比例函数 1= 6 上的动点, 点B、 D为反比例函数 2=2 上的动点,若四边形 为菱形,则该菱形边长的最小值为 . 15 (2021 泉州模拟)若 n 边形的每一个外角都为 45 ,则 n 的值为 . 16 (2021 泉州模拟)如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经中“赵爽弦图”经修饰后的图形, 四边形 与四边形 均为正方形, 点 H 是 的中点, 阴影部分

6、的面积为 24,则 的长为 . 17(2021 福建模拟)如图所示, 在 中, = 9 , 对角线 , 交于点 O, 点 E 在 的延长线上,且 = 3 .连接 交 于点 F,则 = . 18 (2021 邵武模拟)如图,四边形 ABCD 为矩形,E 为对角线 AC 的中点,A、B 在 x 轴上.若函数 y = 4 (x 0 )的图象过 D、E 两点,则矩形 ABCD 的面积为 19 (2021 福州模拟)如图,平行四边形 OABC 中,点 A,C 在反比例函数 =1 第一象限的图象上,点 B 在反比例函数 =2 第一象限的图象上,连接 并延长交 x 轴于点 D,若 = 2 ,则 12 的值是

7、 . 20(2021 湖里模拟)如图, 在 中, , , 分别为边 , 上的点 ( , 不与端点重合).对于任意 ,下面四个结论: 存在无数个平行四边形 ; 至少存在一个菱形 ; 至少存在一个矩形 ; 存在无数个面积是 面积的一半的四边形 .所有正确结论的序号是 . 三、综合题三、综合题 21 (2021 湖里模拟)正方形 ABCD 中,点 P 是边 CD 上的任意一点. (1)求作点 E,使得 PEBD 于 E(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) ; (2)在(1)的条件下,用等式表示线段 AE 与 BP 之间的数量关系,并证明. 22 (2021 湖里模拟)在正方形 ABCD 中,A

8、C 是对角线,点 E 在 AD 边上(不与点 A 重合) ,点 F 在CD 边上,连接 BE,BF,EF,已知 = 45. (1)求证: = . (2)设 = (0 0) , 则 =2+ ()2=2+22 , = 2= 2+22 , ( )2= 2+22 2 0 , 2+22 2 , 又 = 2+22 4 , 2 = 4 , 解得 = 2 , 故答案为:B. 【分析】设点 A 的坐标为 (,)( 0) ,根据两点之间的距离公式、正方形的面积公式可得 = 2+22 ,再利用完全平方公式可得 2+22 2 ,然后根据 4 可得 2 = 4 ,由此即可得出答案. 5 【答案】C 【解析】【解答】解:

9、多边形的外角和为 360 , 内角和为 ( 2) 180 , 可列关系: ( 2) 180 2= 360 , 整理得: = + 2 , 故答案为:C. 【分析】由多边形的内角和定理得内角和为 ( 2) 180,多边形的外角和为 360 ,根据题中的相等关系列关于 n 的方程可求解. 6 【答案】C 【解析】【解答】解:A、等边三角形不是中心对称图形,故本选项不合题意; B、等腰直角三角形不是中心对称图形,故本选项不合题意; C、平行四边形是中心对称图形,故本选项符合题意; D、正五边形不是中心对称图形,故本选项不合题意. 故答案为:C. 【分析】中心对称图形绕其中心点旋转 180 后图形仍和原

10、来图形重合;中心对称图形是关于点对称,因此中心对称图形必有偶数个顶点,依此分别判断即可. 7 【答案】B 【解析】【解答】在ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O, OA=OC, EB=EC, AB=2OE, OE3, AB=6, 故答案为:B. 【分析】点 O 是 AC 的中点,E 是 BC 的中点,则 OE 是三角形 ABC 的中位线,据此计算即可 8 【答案】B 【解析】【解答】解:过点 D 作 DHAB,垂足为点 H,连接 BD 和 BG,如下图所示: 四边形 ABCD 是菱形, = = = = 6 , = = 60 , , 与 是等边三角形, 且点 G 恰好为 CD 边的中点

11、, 平分 AB, , , , , = , , 在 中, =12 = 3 , 由勾股定理可知: = 2 2= 33 , = = 33 , 由折叠可知: ,故有 = , 设 = = ,则 = = 6 , 在 中,由勾股定理可知: 2+ 2= 2 , 即 (6 )2+ (33)2= 2 ,解得 =214 , 故答案为:B. 【分析】过点 D 作 DHAB 于点 H,连接 BD 和 BG,由菱形性质得 AB=AD=CD=BC,C=60 ,可推出ADB 和BCD 是等边三角形,利用等边三角形的性质可推出点 G 恰好为 CD 边的中点;再求出AH 的长,利用勾股定理求出 DH 的长,即可得到 BG 的长;

12、利用折叠的性质可知 AE=GE,设 AE=x,可表示出 BE 的长,利用勾股定理建立关于 x 的方程,解方程求出 x 值. 9 【答案】B 【解析】【解答】解: 四边形 ABCD 是正方形, BD 是正方形的对角线, = 45 , 折叠, = , = , = =180452= 67.5 , 故答案为:B. 【分析】利用正方形的性质可得到BDC=45 ,利用折叠的性质可证得 DE=DC,利用等边对等角可证得DEC=DCE,然后利用三角形的内角和定理求出DEC 的度数. 10 【答案】B 【解析】【解答】解:反比例函数 y= 的图象经过正方形 ABCD 的顶点 A 和中心 E,点 D 的坐标为(-

13、1,0) , 点 A 的坐标为(-1,-k) , 点 E 的坐标为(-1+0.5k,-0.5k) , -0.5k= 1+0.5 , 解得,k=-2, 故答案为:B. 【分析】首先表示出点 A、E 的坐标,然后将点 E 的坐标代入反比例函数解析式中求解即可. 11 【答案】 【解析】【解答】 = 90 = = 45 四边形 是矩形 = 90 = 90 ,四边形内角和为 360 + = 180 正确. 如图:过 作 , = = 90 + = 180 , + = 180 = 又 = () = 即点 G 到边 , 的距离一定相等 正确. 如图:过 作 , 12 = 2, 12 = 3 sin45 =

14、4 22, sin45 = 5 22 4 22 2,5 22 3 而 2 0) 上, D 点坐标为 (,4) , =4 , =2 , (2,2) , = , = 2 , 矩形 ABCD 的面积 = 2 4= 8 , 故答案为:8. 【分析】 过E作EFAB于F, 根据矩形的性质可得AE=CE, 推出EF为ABC的中位线, 得到AD=2EF,设 D(m, 4) ,表示出 AD、EF,得到点 E 的坐标,然后表示出 AF、AB,接下来根据矩形的面积公式进行计算即可. 19 【答案】29 【解析】【解答】解:作 AMx 轴于 M,CNx 轴于 N , / , = , = 2 , =12 , = 2

15、, 设 (1 , ) ,则 (12 , 2) , 四边形 OABC 是平行四边形,且原点 O 向右平移 12 个单位,向上平移 2m 个单位得到 A , 点 C 向右平移 12 个单位,向上平移 2m 个单位得到 B , (1+12 , 3) , 点 B 在反比例函数 =2 第一象限的图象上, (1+12) 3 = 2 , 12=29 , 故答案为: 29 . 【分析】 作AMx轴于M, CNx轴于N, 根据平行线分线段成比例的性质可得AM=2CN, 设C ( 1,m) ,则 A(12,2m) ,易得 B(1+12,3m) ,代入 y=2中化简就可得到结果. 20 【答案】 【解析】【解答】存

16、在无数个平行四边形 ,故正确; 平行四边形的包含矩形、菱形图形,故正确; 平行四边形不一定是矩形,故正确; 存在无数个平行四边形 ABEF,故正确; 【分析】只要 EFAB 就可得到平行四边形 ,可以判断只要邻边相等,平行四边形是菱形,可判断 如果A 和B 不是直角,则四边形 不可能是矩形,可判断 21 【答案】(1)解:如图,点 E 即为所作; (2)解:BP= 2AE. 证明如下: 设PBC,连结 BP,取 BP 中点点 O,连接 OC,EC, 在正方形 ABCD 中,BCDC,C90 , DBCCDB45 , PBC DBP45 , PEBD,且 O 为 BP 的中点, EOBO, EB

17、OBEO, EOPEBO+BEO90 2, 在正方形 ABCD 中,ABBC,ABDCBD,BEBE, ABECBE(SAS) , AECE, 在 RtBPC 中,O 为 BP 的中点, COBO=12BP, OBCOCB, COP2 , EOP90 2, EOCCOP+EOP90 , 又BOEO, EOCO. EOC 是等腰直角三角形, EO2+OC2EC2, EC= 2OC=22BP, 即 BP= 2EC, BP= 2AE. 【解析】【分析】 (1)过点 P 作 BD 的垂线即可; (2) BP= 2AE;设PBC,连结 BP,取 BP 中点点 O,连接 OC,EC, 由正方形的性质可求出

18、DBP45 , 根据直角三角形斜边中线的性质可得 EOBO,利用等边对等角可得EBOBEO, 根据三角形外角的性质可得EOPEBO+BEO90 2,同理可证 COP2 ,则可求出EOC 是等腰直角三角形,根据勾股定理可得 EO2+OC2EC2,即得 EC= 2OC=22BP,证明ABECBE(SAS) ,可得 AECE,继而得出 BP= 2EC= 2AE. 22 【答案】(1)证明:四边形是正方形, = = = 90, = = = , 在 中, = 45, = 90 = 45 = , = , = , = , (), = ; (2)解:设 = ,则 = = , = , = , = = = = (

19、1 ), 1=12 =12 =122, 2=12 =12(1 )2=12(1 )22, 当 =12时,1=122=142, 2=12(1 )22=12(1 12)22=182, 1= 22; 当2= 21时,2 122=12(1 )22, = 2 + 3(由于0 02 2 0 ,解得: 22 2 1 . S= 12 DG EF= 12 EF, 当 EF= 22 2 时,S 取最小值 2 1 . GB=( 2 1 )DG 【解析】【解答】解:(3) DEF 为等腰三角形,EF 为底, G 为 EF 中点,易得 GB= 12 EF= 2 1 , =211 GB=( 2 1 )DG. 【分析】 (1

20、)利用三点共线,可以求出 k=1; (2)当点 G 与点 E 重合时,DG 取最小值,当点 F 与点 C 重合时,DG 取最大值,进而求出 k 的取值范围; (3)设 BE=m,BF=n,利用一元二次方程的根与系数的关系进行和不等式进行求解; 根据求出的 EF= 22 2 ,由于 DEF 为等腰三角形,EF 为底,所以 G 为 EF 中点,易得 GB= 2 1 ,进而可以求出 GB=( 2 1 )DG. 25 【答案】(1)证明:COD 是等边三角形, COD=OCD=60 , AOB=COD=60 , 又ABBD, BAO=30 , OCD=2BAO, AOB 与COD 为倍优三角形. (2

21、)解:由题意,BCOPAO,APOCBO. 若BCO=2PAO, 则DAO=2PAO, AP 平分DAC. 过点 P 作 PHAC 于 H, 得 PD=PH, 不妨设 PD=PH=m,则 PC=2-m. 则 PC 2 PH, 2m 2 m, m 2(2 1) , tanDAP = 2 1 ; 若APO=2CBO, 过点 P 作 PIBC 交 AB 于 I, 则BPI=CBO. 又APO=2CBO, APO=2BPI, 则DAP=API=BPI=CBP, 故 DP=CP=1, tanDAP = 12 , 综上,DAP 的正切值为 2 1 或 12 . 【解析】【分析】 (1)利用等边三角形的性质

22、可证得COD=OCD=60 ,由此可求出AOB、COD的度数,再求出BAO 的度数,即可证得OCD=2BAO,利用倍优三角形的定义可证得结论; (2)利用已知可得到BCOPAO,APOCBO;分情况讨论: 若BCO=2PAO,可得到DAO=2PAO,由此可推出 AP 平分DAC;过点 P 作 PHAC 于 H,利用角平分线上的点到角两边的距离相等可证得 PD=PH;设 PD=PH=m,可表示出 PC 的长,利用解直角三角形建立关于 m的方程, 解方程求出 m 的值; 然后利用锐角三角函数的定义求出 tanDAP 的值; 若APO=2CBO, 过点 P 作 PIBC 交 AB 于 I,易证BPI

23、=CBO,结合易证可证得DAP=API=BPI=CBP,即可求出 DP,PC 的长;然后利用锐角三角函数的定义求出 tanDAP 的值. 26 【答案】(1)证明:在矩形 中, = = 90 , + = 90 , = 90 , + = 90 , = , ; (2)解:当点 运动到 的延长线上, = = 3 , = 时,使 、 、 、 四点构成的四边形为轴对称图形,如图 矩形 , = = 90 , = , = 即 34=4 ,解之: =163 , = =163 3 =73 同理可证 = 即 73=16 解之: =437 = =437 3 当点 运动到 的延长线上时,则 = = 3 , = 时,使

24、 、 、 、 四点构成的四边形为轴对称图形,如图, 同理求出 =437 , = + =437 + 3 当点 在线段 上(不与点 重合) ,不存在; 当点 与点 重合,则点 于点 重合,点 于点 重合, = 3 . 的长为 437+ 3 或 437 3 或 3. 【解析】【分析】 (1)根据矩形的性质可得A=EBC=90 ,根据同角的余角相等可得BCE=EBG,然后利用相似三角形的判定定理进行证明; (2)当点 E 运动到 BA 的延长线上,CD=CG=3、DF=FG 时,使 D、F、G、C 四点构成的四边形为轴对称图形, 利用有两组角对应相等的两个三角形相似易证CGBCBE, 根据相似三角形的

25、性质求出 CE,进而可得 EG;同理可证EGBEBC,求出 AE 的值;当点 E 运动到 AB 的延长线上时,则 DC=CG=3、DF=FG,使 D、F、G、C 四点构成的四边形为轴对称图形,同理可得 AE;当点 E 在线段 AB 上(不与点 B 重合) ,不存在;当点 E 与点 B 重合,则点 G 于点 B 重合,点 F 于点A 重合,据此可得 AE. 27 【答案】(1)证明:ABDCBE BCE=BAD 四边形 ABCD 的内角和为 360,ABC + ADC = 90 BAD+BCD=360(ABC + ADC)=270 BCE+BCD=270 BCE+BCD +DCE=360 DCE

26、=90 即 DCCE (2)解:过点 A 作 AFCD 于点 F,过点 D 作 DGBE 于点 G,如图 ABDCBE =58 ,ABD=CBE =85 =85 20 = 32 , =85 =516 =1212=516 =516 =51685 即 =12 AFCD sin =12 ADC=30 ABC + ADC = 90 ABC=60 ABD=CBE ABD+DBC=DBC+CBE 即DBG=ABC=60 在 RtDBG 中, = sin = 20 32= 103 =12 =12 32 103 = 1603 【解析】【分析】 (1)根据相似三角形的对应角相等可得BCE=BAD,根据四边形的内

27、角和为 360 可得BAD+BCD=270 ,则BCE+BCD=270 ,然后结合周角为 360 求出DCE 的度数,据此证明; (2)过点 A 作 AFCD 于点 F,过点 D 作 DGBE 于点 G,根据相似三角形的性质可得 BE 的值,根据已知条件结合三角形的面积公式可得=516,进而求出 =12,由三角函数的概念得 sinADC的值,得到ADC 的度数,然后求出ABC 的度数,根据角的和差关系可得DBG=ABC=60 ,根据三角函数的概念求出 DG,然后根据三角形的面积公式进行计算即可. 28 【答案】(1)2 (2)解:如图 1, 设矩形的长和宽分别为 a,b,变形后的平行四边形的高

28、为 h, S1=ab,S2=ah, 12= , sin= 1sin= , 12=1sin ; AB2=AEAD, A1B12=A1E1A1D1,即 1111=1111 , B1A1E1=D1A1B1, B1A1E1D1A1B1, A1B1E1=A1D1B1, A1D1B1C1, A1E1B1=C1B1E1, A1E1B1+A1D1B1=C1E1B1+A1B1E1=A1B1C1, 1sin=12=42= 2 sinA1B1C1= 12 , A1B1C1=30 , 111+ 111= 30 . 【解析】【解答】解: (1)矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是 135 度,另一个相邻内角为180 -135 =45 sin45 = 22 1sin45=2 ; 故答案为: 2; 【分析】 (1)矩形发生变形后的平行四边形较小的内角为 45 ,根据特殊角的三角函数值,即可作答; (2) 设矩形的长和宽分别为 a, b, 变形后的平行四边形的高为 h, 则 S1=ab, S2=ah, 求出 12=1sin ;根据 AB2=AEAD 列出比例式,证明 B1A1E1D1A1B1, 则可得出A1B1E1=A1D1B1, 从而推出 A1E1B1+A1D1B1=A1B1C1, 根 据 题 意 求 出 1sin= 2 , 则 可 求 出 A1B1C1=30, 即 A1E1B1+A1D1B1的度数

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