1、 专题专题 21 21 对称、平移、旋转对称、平移、旋转 一、单选题一、单选题 1如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 = 90， = 60，AB8，点 A 对应直尺的刻度为 12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得ABC 移动到 ，点对应直尺的刻度为 0，则四边形的面积是（ ） A96 B963 C192 D1603 2下列道路交通标志图中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （2022 福建）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A B C D 4 （2021 集美模拟）下列各组图形中， ABC与 ABC 成中心对称的是（ ） A B C D 5 （2021
2、三明模拟）如图，菱形 ABCD 中，BAD = 60 ，AB = 6，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，将AEF 沿 EF 翻折得到GEF，若点 G 恰好为 CD 边的中点，则 AE 的长为（ ） A34 B214 C3415 D3 3 6 （2021 湖里模拟）以下四个汽车车标中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 7 （2021 上杭模拟）把直线 = 2 + 1 向右平移 2 个单位后，所得直线的解析式为（ ） A = 2 + 3 B = 2 1 C = 2 3 D = 2 + 5 8 （2021 厦门模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 9
3、 （2021 上杭模拟）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） A圆 B正方形 C等边三角形 D平行四边形 10 （2021 福建模拟）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上面的小直角三角形将留下的纸片展开，得到的图形是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 11 （2022 福州模拟）点（ - 2， - 3）关于原点的对称点的坐标是 . 12 （2021 南平模拟）如图，在ABC 中，BC3，将ABC 平移 5 个单位长度得到A1B1C1，点 P、Q分别是 AB、A1C1的中点，PQ 的最小值等于 . 13 （2021 福建模拟）在平面直角坐标系中有一个轴对称图形
4、只有一条对称轴，其中点 (1,2) 和点 (9,2) 是这个图形上的一对称点，若此图形上另有一点 (52,3) ，则点 的对称点的坐标是 . 14 （2021 惠安模拟）如图，矩形 OABC 的顶点 ， 分别在 轴， 轴正半轴上，反比例函数 =( 0， 0) 的图象分别与矩形 OABC 两边 AB， BC 交于点 D， E， 沿直线 DE 将 翻折得到 ，且点 F 恰好落在直线 上.下列四个结论： = ；= ；tan = ； = .其中结论正确的有 .（仅填代号即可） 15 （2021 福建模拟）如图，其中的 和 是由 分别沿着直线 ， 折叠得到的， 与 相交于点 ，若 = 140 ，则 =
5、. 16 （2021 厦门模拟）如图，在 RtABC 中，ACB90 ，A60 ，AC1，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC，此时点 A恰好在 AB 边上，则点 B与点 B 之间的距离为 . 17 （2021 石狮模拟）如图，在菱形 中， = ，将菱形 绕点 逆时针旋转得到菱形 ， 与 交于点 .当点 ， ， 在同一条直线上时， 的大小为 .（用含 的代数式表示） 18 （2021 南平模拟）如图，点 D 是等边ABC 内一点，将BDC 以点 C 为中心顺时针旋转 60 ，得到ACE，连接 BE，若AEB45 ，则DBE 的度数为 . 19（2021 厦门模拟）如图， 正五边形 绕
6、点 A 旋转了 角， 当 = 30 时， 则 1 = . 20 （2021 永安模拟）在平行四边形 ABCD 中， = 2 ， = 3 ，点 E 为 BC 中点，连结 AE，将 沿 AE 折叠到AB E 的位置，若 = 45 ，则点 B 到直线 BC 的距离为 . 三、综合题三、综合题 21 （2022 福建）已知 ，ABAC，ABBC. （1）如图 1，CB 平分ACD，求证：四边形 ABDC 是菱形； （2）如图 2，将（1）中的CDE 绕点 C 逆时针旋转（旋转角小于BAC） ，BC，DE 的延长线相交于点 F，用等式表示ACE 与EFC 之间的数量关系，并证明； （3）如图 3，将（1
7、）中的CDE 绕点 C 顺时针旋转（旋转角小于ABC） ，若 = ，求ADB 的度数. 22 （2022 福州模拟）已知一次函数 y = x - 5 的图象与反比例函数 = （k0，x 0）的图象交点的横坐标是 6. （1）求 k 的值； （2） 若 A 是该反比例函数图象上的点， 连接 OA， 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90 得到线段 OB，点 B 恰好在该一次函数的图象上，求点 A 的坐标. 23 （2021 福建）如图，在 中， = 90 .线段 是由线段 平移得到的，点 F 在边 上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在 的延长线上. （1）求证： = ； （2）
8、求证： = . 24 （2021 福建模拟）（模型构建）如图所示，在边长为 1 的正方形 中， 的顶点 E，F分别在 ， 上 （可与点 A， B， C 重合） ， 且满足 = 45 . 的高线 交线段 于点 G（可与 E，F 重合） ，设 = . （1）求 k 的值. （2）判断 k 的值是否改变.若改变，请求出 k 的取值范围；若不改变，请证明. （深入探究）在（模型构建）的基础上，设 的面积为 S. （3）求 S 的最小值； 当 S 取到最小值时，直接写出 与 的数量关系. 25 （2021 福建模拟）如图，在 和 中， = = 90 ， = = 4 ， = = 2 .现将 绕着点 旋转一
9、定角度后，再平移线段 得到线段 （点 与点 对应） ，连接 ， . （1）如图，当点 在线段 的延长线上时，求线段 的长； （2）当点 与点 在直线 的同侧时，探究 与 的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）连接 ，求线段 长的最大值. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：依题意 ACCA为平行四边形， = 90， = 60，AB8，= 12. = 2 平行四边形 ACCA的面积= sin60 = 2sin60 = 2 8 12 32= 963 故答案为：B. 【分析】依题意可得 ACCA为平行四边形，根据含 30 角的直角三角形的性质可得 AC=2AB，然后结合
10、平行四边形 ACCA的面积=AAACsin60进行计算. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、是中心对称图形，本选项符合题意； D、不是中心对称图形，本选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称
11、图形，故此选项不合题意. 故答案为：A. 【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此一一判断得出答案. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：A、是平移变换，故本选项错误； B、 ABC与ABC 成轴对称，故本选项错误； C、是旋转变换，故本选项错误； D、ABC与ABC 成中心对称，故本选项正确. 故答案为：D. 【分析】根据中心对称，轴对称，平移和旋转的性质对各选项分析判断即可得解. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：过点 D 作 DHAB，垂足为点 H，连接 BD 和 BG，如下图所示： 四边形 ABCD 是菱形， = = = = 6 ，
12、= = 60 ， ， 与 是等边三角形， 且点 G 恰好为 CD 边的中点， 平分 AB， ， ， ， ， = ， ， 在 中， =12 = 3 ， 由勾股定理可知： = 2 2= 33 ， = = 33 ， 由折叠可知： ，故有 = ， 设 = = ，则 = = 6 ， 在 中，由勾股定理可知： 2+ 2= 2 ， 即 (6 )2+ (33)2= 2 ，解得 =214 ， 故答案为：B. 【分析】过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 BD 和 BG，由菱形性质得 AB=AD=CD=BC，C=60 ，可推出ADB 和BCD 是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出点 G 恰好为 CD 边的中
13、点；再求出AH 的长，利用勾股定理求出 DH 的长，即可得到 BG 的长；利用折叠的性质可知 AE=GE，设 AE=x，可表示出 BE 的长，利用勾股定理建立关于 x 的方程，解方程求出 x 值. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合题意. 故答案为：C. 【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，得直线向右平移 2 个单位， 即对应点的纵坐标不变，
14、横坐标减 2， 解析式是 = 2( 2) + 1 . = 2 + 5 ； 故答案为：D. 【分析】图象向右平移 2 个单位的特点是：对应点的纵坐标不变，横坐标减 2，据此解答即可. 8 【答案】C 【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点
15、旋转 180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：圆有无数条对称轴，正方形有 4 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴，一般的平行四边形没有对称轴； 所以，对称轴最多的是圆. 故答案为：A. 【分析】轴对称图形沿一条轴折叠 180 ，被折叠两部分能完全重合，关键是找对称轴，其中圆的任一 条直径都是对称轴，有无数条. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：根据折叠的过程和对称的性质，显然是四个角各少了一个正方形，即是选项 A 中的图形.故答案为：A. 【分析】利用折叠的性质，观察图形，可得答案. 11 【
16、答案】（2，3） 【解析】【解答】解：点（2，3）关于原点的对称点的坐标是（2，3） 故答案为： （2，3）. 【分析】关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，据此解答. 12 【答案】72 【解析】【解答】解：取 的中点 ， 11 的中点 ，连接 ， ， ， ， 将 平移 5 个单位长度得到 111 ， 11= = 3 ， = 5 ， 点 、 分别是 、 11 的中点， =1211=32 ， 5 32 5 +32 ， 即 72 132 ， 的最小值等于 72 ， 故答案为： 72 . 【分析】 取 AC 的中点 M，A1B1的中点 N，连接 PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的
17、三边关系定理即可求解 13 【答案】(112,3) 【解析】【解答】点 A(1，2) 和点 A(9，2) 是这个图形上的一对称点， 点 A 与点 A关于直线 x=4 对称， 点 B( 52 ，3)关于直线 x=4 对称为（ 112，3 ） ， 故答案为： （112，3） . 【分析】先根据点 A(1，2) 和点 A(9，2) 是这个图形上的一对称点找到相应的对称关系，再根据该对称关系找到点 B 的对称点的坐标即可. 14 【答案】 【解析】【解答】 解： 设 = ， = ， E 点的纵坐标为 b ， A 的横坐标为 a ， 分别代入 = ， 得 ( ， ) ， (，) ， = ， = ， 四边
18、形 OABC 是矩形， = = ， = = ， = ， = ， = ， = ， = ，故正确； = ， = ， ， ，故错误； 过点 E 作 EGOA 于点 G ， = = 90 ，且 = = 90 ， + = 90 ， + = 90 ， GEF=AFD， ， = ， = = 90 ， 四边形 EGAB 是矩形， = ， = ， = ， 在 中， tan = ， tan = ，故正确； = = ， = = ，且 ， = ， = ， = = ， = ， ， 垂直平分 OF， = ，故正确. 故答案为：. 【分析】设 OA=a，OC=b，利用函数解析式可表示出点 D，E 的坐标，同时可求出 CE，
19、AD 的长；利用矩形的性质和折叠的性质可表示出 BE，BD 的长；然后分别求出 CE 与 BE 的比值，AD 与 BD 的比值，可对作出判断；利用比例的性质，由=可推出=，由 BCAB，证得 CDAD，可对作出判断； 过点 E 作 EGOA 于点 G， 利用余角的性质得GEF=AFD， 可得到EGFFAD，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；利用矩形的性质可证得 EB=AG，EG=BA，可推出=；然后在 RtEFD 中利用解直角三角形可对作出判断；利用EGFFAD，利用相似三角形的性质可得=，可求出 GF 的长，由此可推出 OG=GF，可证得 EG 垂直平分 OF，利用垂直平分线的性质可
20、证得 OE=EF，可对作出判断；综上所述可得到正确结论的个数. 15 【答案】80 【解析】【解答】 是由 沿着直线 折叠得到的， BAE= = 140 ， EAC=360 -BAE- = 80 是由 沿着直线 折叠得到的 E=ACB=ACD ACD+EAC= +E = EAC=80 故答案为：80. 【分析】由翻折的性质可得BAE= = 140，E=ACB=ACD，根据周角可得EAC 的度数，根据三角形内角和可得ACD+EAC= +E 可得结果. 16 【答案】3 【解析】【解答】解：连接 ， 在 中， = 90 ，A=60 ， ABC=30 ， AB=2AC=2， 由勾股定理得： = 2
21、2= 3 ， 将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 ABC ， = ， = ， = ， A=60 ， ACA是等边三角形， ACA=BCB=60 ， BCB是等边三角形， = = 3 . 故答案为： 3 . 【分析】连接 BB ，根据内角和定理可得ABC=30 ，则 AB=2AC=2，由勾股定理求出 BC，根据旋转的性质可得ACA=BCB， CA=CA， CB=CB， 推出AAC 是等边三角形， 得ACA=BCB=60，进而推出BCB等边三角形，据此解答. 17 【答案】180 32 【解析】【解答】解：连接 AC，如图， 点 ， ， 在同一条直线上， 线段 AE 在菱形 ABCD 的对角
22、线 AC 上， 四边形 ABCD 为菱形， = =12， = = 180 ， 又菱形 AEFG 是由菱形 ABCD 旋转得到， = = 180 ， + + + = 360， = 360 = 360 12 (180 ) (180 ) =32 ， + = 180， = 180 = 180 32 ， 故答案为： 180 32 . 【分析】连接 AC，利用已知条件可知线段 AE 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，利用菱形的性质可表示出DAC， B的度数； 再利用旋转的性质可表示出AEF， 利用四边形的内角和为360 表示出DPE，然后根据CPE+DPE=180 ，可得到CPE 的度数. 18 【答
23、案】15 【解析】【解答】解：ABC 为等边三角形， ACB60 ， BDC 以点 C 为中心顺时针旋转 60 ，得到ACE， CBDCAE， CAE+AEBCBE+BCA， 即CBD+45 CBE+60 ， CBDCBE60 45 15 ， 即DBE15 . 故答案为：15 . 【分析】由旋转的性质可得CBDCAE，结合角的构成易得CAE+AEBCBE+BCA，整理可求得DBECBDCBE 的度数. 19 【答案】138 【解析】【解答】解：如图所示： 正五边形的每一个内角为 180（52）5= 108 ， = 30 2108 78 ， 由旋转性质得：15402108 3138 . 故答案为
24、：138 . 【分析】利用正多边形的性质可求出正五边形的每一个内角的度数，由此可求出2 的度数，再利用旋转的性质及多边形的内角和定理可求出1 的度数. 20 【答案】223 【解析】【解答】解：如图连接 BB，作 BHBC 于 H. BAE=EAB=45， BAB=90， AB=AB=2， BB=2 2 ， AEBB， OB=OB= 2 ， BE=EC=1.5， OE= 2 2 =0.5， EBO=HBB，BOE=BHB=90， BOEBHB， = ， 0.5=221.5 ， BH= 223 . 故答案为 223 . 【分析】连接 BB，作 BHBC 于 H，由折叠的性质可得BAE=EAB=4
25、5，得到BAB=90，进而可求得 BB的值，由 AEBB可求得 OB、OB的值，根据 AD 的值以及平行四边形的性质可得 BE、EC 的值，由勾股定理求出 OE 的值，然后证明BOEBHB，最后根据相似三角形的性质求解即可. 21 【答案】（1）证明： ， ACDC， ABAC， ABCACB，ABDC， CB 平分ACD， = ， = ， ， 四边形 ABDC 是平行四边形， 又ABAC， 四边形 ABDC 是菱形 （2）解：结论： + = 180. 证明： ， = ， ABAC， = ， = ， + = + = 180， = ， + + = 180， + + = 180， + = 180
26、（3）解：在 AD 上取一点 M，使得 AMCB，连接 BM， ABCD， = ， ， BMBD， = ， = ， = + ， = + ， 设 = = ， = ，则 = + ， CACD， = = + 2， = = 2， =12(180 ) = 90 ， = (90 ) + ， + + = 180， (90 ) + + 2( + 2) = 180， + = 30，即ADB30 . 【解析】【分析】 （1） 根据全等三角形的性质可得 ACDC， 由等腰三角形的性质可得ABCACB，根据角平分线的概念可得ACB=DCB，则ABC=DCB，推出 ABCD，得到四边形 ABDC 是平行四边形，然后结合
27、 AB=AC 以及菱形的判定定理进行证明； （2） 根据全等三角形的性质可得ABC=DEC， 由等腰三角形的性质可得ABC=ACB， 则ACB=DEC，结合邻补角的性质可得ACF=CEF，然后根据内角和定理进行解答； （3）在 AD 上取一点 M，使得 AMCB，连接 BM，易证ABMCDB，得到 BM=BD，MBA=BDC， 由外角的性质可得BMD=BAD+MBA， 则ADB=BCD+BDC， 设BCD=BAD=，BDC=，则ADB=+，根据等腰三角形的性质可得CAD=CDA=+2，则BAC=2，ACB=90 -，ACD=(90 -)+，然后结合内角和定理进行解答. 22 【答案】（1）解：
28、设交点坐标为(6，m)，由该点在函数 = 5 上， 代入有： = 6 5 ， 则 = 1 ， 故交点坐标为(6，1)， 代入 = 可得， = 6 ， （2）解：如图，作 轴， 轴， 设 (，6) ， 由 OA 旋转 90 至 OB，可知 = 且 + = 90 ， + = 90 ， 则 = ，同理有 = ， 在 和 中， = = = ， ， 则 = =6 ， = = ， 可知 (6， ) ，又 B 在 = 5 上， 则 =6 5 ， 解得： 1= 2，2= 3 ， 则 (2，3) 或 (3，2) ， 【解析】【分析】 （1）设交点坐标为（6，m） ，代入 y=x-5 中可得 m 的值，据此可得交
29、点坐标，然后代入 y= 中就可求出 k 的值； （2）作 ACx 轴，BDx 轴，设 A（x， 6） ，由旋转性质可得 OA=OB，由同角的余角相等可得OAC=BOD，AOC=OBD，证明AOCBOD，则 OD=CA=6，BD=OC=x，推出 B（ 6，-x） ，代入 y=x-5 中可得 x 的值，进而可得点 A 的坐标. 23 【答案】（1）证明：在等腰直角三角形 中， = 90 ， + = 90 . = 90 ， + = = 90 ， = . （2）证明：连接 . 由平移的性质得 /， = . = = 90 ， = 180 = 90 ， = . 是等腰直角三角形， = . 由（1）得 =
30、， ， = ， = . 【解析】【分析】 （1） 在等腰直角三角形 中，可得 + = 90，由 = 90 可得 + = = 90，利用余角的性质即得 = ； （2）连接，由平移的性质得 /， = ，从而求出 = ， 在等腰直角三角形 中，可得 = ，证明 ，可得 = ，由等量代换可得 = . . 24 【答案】（1）解：如图 1 所示，把 DAE，DCF 分别沿着 DE、DF 翻折， 在正方形 ABCD 中， ADC= DAB= DCB=90，AD=CD， ADE+ CDF= ADC- EDF=90 -45 =45 ， 翻折后，AD，CD 重合. 设重合线为 AG，则 DGE= DGF=90
31、， DG EF，且 E、G、F 三点共线，则 G在 EF 上。 又 DG EF， DG与 DG 重合， DG=DG=AD. k= =1. （模型拓展） 在 （模型构建） 的基础上， 将条件“边长为 1 的正方形 ”改为“长 = 8 、 宽 = 6 的矩形 ”（其他条件不变）. （2）解：k 的值发生改变. 如图 2 所示，当点 G 与点 E 重合时，DG 取最小值， DEF=90 又 EDF=45 ， DEF 是等腰直角三角形，则 DE=EF. 易证 ADE BEF， AD=BE=6， AE=AB-BE=8-6=2， 在 RtADE 中，由勾股定理，得 DE= 2+ 2=22+62= 210
32、， min=103 如图 3 所示，当点 F 与点 C 重合时，DG 取最大值， EDC=45 ， AB/DF，则 AED= EDC=45 ， DAE 是等腰直角三角形，则 AD=AE=6， BE=AB-AE=8-6=2， 在 RtEBC 中，由勾股定理得：CE= 2+ 2=22+ 62= 210 ， 易证 DGCCBE， = ，即 DG= =86210=12105 ， =2105 ， 综上所述， 103 2105 . （3）解：设 BE=m，BF=n， 易知 BEF 的周长为 2. + + = 2+ 2= 2 ， 一元二次方程 2+ + = 0( 0) 有求根公式： 1=+242 ， 2=2
33、42 ， 所以 1+ 2=+242+242= ， 1 2=+242242= ， 则 m，n 是关于 x 的方程 2+ ( 2) + 2 2 = 0 的两个实数根， （2 )2 4(2 2) 02 02 2 0 ，解得： 22 2 1 . S= 12 DG EF= 12 EF， 当 EF= 22 2 时，S 取最小值 2 1 . GB=（ 2 1 ）DG 【解析】【解答】解：(3) DEF 为等腰三角形，EF 为底， G 为 EF 中点，易得 GB= 12 EF= 2 1 ， =211 GB=（ 2 1 ）DG. 【分析】 （1）利用三点共线，可以求出 k=1； （2）当点 G 与点 E 重合时
34、，DG 取最小值，当点 F 与点 C 重合时，DG 取最大值，进而求出 k 的取值范围； （3）设 BE=m，BF=n，利用一元二次方程的根与系数的关系进行和不等式进行求解； 根据求出的 EF= 22 2 ，由于 DEF 为等腰三角形，EF 为底，所以 G 为 EF 中点，易得 GB= 2 1 ，进而可以求出 GB=（ 2 1 ）DG. 25 【答案】（1）解： = = 90 ， = = 4 ， = = 2 ， = = = = 45 ， = 2 ， / . 由 平移得到，/ ， = = 4 ， ， ， 三点共线， = + = 2 + 4 = 6 ； （2）解： = ， ，理由如下： 如解图，连
35、接 ， ，设 分别交 ， 于点 ， . 由平移的性质，得 / ， = . = = 45 ， = . =2 ， ， = ， =2 . = ， = = 45 . / ， = ， = = 45 ， = 2 . 过点 作 于点 ，则 = cos = 22= . 点 和点 重合， 为等腰直角三角形，即 = ， ； 方法二：如解图，延长 交 于点 ， / ， = = 90 ， = 180 = 90 . 在四边形 中， + + + = 360 ， 又 = 90 ， = 90 ， + = 180 . + = 180 ， = . = = ， = ， () ， = ， = ， = = 90 ，即 . （3）解：如
36、解图，连接 交 于点 ，由（2）得 / ， = . 四边形 为平行四边形， 为 的中点. 取 中点 ，连接 ， ， =12 = 1 ，即 为定值， = 2+ 2= 42+ 22= 25 ， 也为定值， = 2 2( + ) = 2(25 + 1) = 45 + 2 . 即 的最大值为 45 + 2 （当 / 时， ， ， 三点共线， 取得最大值）. 【解析】【分析】 （1）由已知条件可得ABC=ACB=DCE=DEC=45 ，CE=2，推出 CEAB，由平移的性质可得 EFAB， EF=AB=4， 判断出 C、 E、 F 三点共线， 然后根据线段的和差关系进行求解； （2）连接 BE，AF，设 BE 分别交 AC、AD 于点 O、G，由平移的性质可得：BEAF，BE=AF，证明 BCEACD，得到EBC=DAC，过点 F 作 FHAD 于点 H，则 AH=AD，此时点 H 与点 D 重合， ADF 为等腰直角三角形，据此解答； （3）连接 AE 交 BF 于点 P，由（2）得 BEEF，BE=AF，则四边形 ABEF 为平行四边形，推出 P 为AE 的中点， 取 AC 的中点 Q， 连接 PQ、 BQ， 则 PQ=1， 根据勾股定理求出 BQ， 再由 BF=2BP2(BQ+PQ)进行求解
