1、河南省郑州市二七区二校联考九年级上第一次月考数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1（3分）下列方程中是一元二次方程的是ABCD2（3分）以下列数据（单位：为长度的各组线段中，成比例的是A2、3、4、5B2、3、4、6C1、2、3、4D1、4、9、163（3分）如图，菱形中，过点作交于点，若，则ABCD4（3分）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是A甲和乙B甲和丙C乙和丙D甲、乙和丙5（3分）如图，的对角线和相交于点，下列说法正确的是A若，则是菱形B若，则是菱形C若，则是菱形D若，则是菱形6（3分）如图，在中，分别是，上的点，且，若，则A6B9C10D127（3分）受国际油价影响，今年我国汽
2、油价格总体呈上升趋势某地92号汽油价格三月底是6.2元升，五月底是8.9元升设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是ABCD8（3分）如图，菱形中，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是A直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形9（3分）定义运算：例如：4，则方程1的根的情况为A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D只有一个实数根10（3分）如图，在正方形中，、分别是，的中点，交
3、于点，连接，下列结论：；，其中正确的结论是ABCD二、填空题（每题3分，共15分）11（3分）若，则的值等于 12（3分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：1921、香山叶正红、建党伟业、建军大业甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 13（3分）如图，在中，点在上（不与点，重合），连接只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是 （写出一个即可）14（3分）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且，则15（3分）如图，在矩形中，为的中点
4、，为线段上一动点，为中点，连接，则线段长的取值范围是 三、解答题（共75分）16（10分）解方程：（1）；（2）17（9分）先化简，再求值：，其中为方程的实数根18（9分）如图，点、分别在、上，且（1）尺规作图：作的角平分线，与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：19（9分）2022年3月25日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版），优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表等级时
5、长（单位：分钟）人数所占百分比420根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生总人数为 ，表中的值为 ；（2）该校共有500名学生，请你估计等级为的学生人数；（3）本次调查中，等级为的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率20（9分）如图，在菱形中，点是边的中点点是边上一动点（不与点重合），延长交时线于点，连接、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）填空：当的值为 时，四边形是矩形；当的值为 时，四边形是菱形21（9分）已知关于的一元二次方程（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）
6、若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根22（9分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个（1）当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量（个与每个售价（元之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？23
7、（11分）如图，在正方形中，为为边上的定点，、分别是、边上的动点，和交于点有2个选项：；（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）（2）若，若，求的长；连结、，直接写出的最小值参考答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1（3分）下列方程中是一元二次方程的是ABCD【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可【解答】解：该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：2（3分）以下列
8、数据（单位：为长度的各组线段中，成比例的是A2、3、4、5B2、3、4、6C1、2、3、4D1、4、9、16【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分析，排除错误答案【解答】解：、，故选项不符合题意；、，故选项符合题意；、，故选项不符合题意；、，故选项不符合题意故选：3（3分）如图，菱形中，过点作交于点，若，则ABCD【分析】根据菱形的性质得：，根据等腰三角形的性质可得，由菱形的对角线平分线组对角可得，最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论【解答】解：四边形是菱形，故选：4（3分）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是A甲和乙B甲和丙C乙和丙D甲、乙
9、和丙【分析】分别求出矩形的邻边的比，再根据相似多边形的定义解答【解答】解：甲：邻边的比为，乙：邻边的比为，丙：邻边的比为，所以，是相似图形的是甲和丙故选：5（3分）如图，的对角线和相交于点，下列说法正确的是A若，则是菱形B若，则是菱形C若，则是菱形D若，则是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可【解答】解：、四边形是平行四边形，故选项不符合题意；、四边形是平行四边形，是矩形，故选项不符合题意；、四边形是平行四边形，是矩形，故选项不符合题意；、四边形是平行四边形，是菱形，故选项符合题意；故选：6（3分）如图，在中，分别是，上的点，且，若，则A6B9C10D12【分析】根据
10、平行线分线段成比例可得，从而可得，再利用平行线分线段成比例得出，然后进行计算即可解答【解答】解：，故选：7（3分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势某地92号汽油价格三月底是6.2元升，五月底是8.9元升设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是ABCD【分析】利用该地92号汽油五月底的价格该地92号汽油三月底的价格该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解【解答】解：依题意得，故选：8（3分）如图，菱形中，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是A直角三角形等边三角形
11、等腰三角形直角三角形B直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形C直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形D等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形【分析】把点从点出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可【解答】解：，故菱形由两个等边三角形组合而成，当时，此时为直角三角形；当点到达点处时，此时为等边三角形；当为中点时，为直角三角形；当点与点重合时，此时为等腰三角形，故选：9（3分）定义运算：例如：4，则方程1的根的情况为A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D只有一个实数根【分析】根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案【解答】解：由题意可知：1，
12、有两个不相等的实数根故选：10（3分）如图，在正方形中，、分别是，的中点，交于点，连接，下列结论：；，其中正确的结论是ABCD【分析】根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故正确；求得，根据垂直的定义得到，故正确；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到故正确根据，可得，所以，所以不是等边三角形，故错误【解答】解：四边形是正方形，分别是，的中点，在与中，故正确；，故正确；，延长交的延长线于，点是的中点，是斜边的中线，故正确；，不是等边三角形，故错误；故选：二、填空题（每题3分，共15分）11（3分）若，则
13、的值等于 【分析】先把要求的式子变成，再进行计算即可得出答案【解答】解：，故答案为：12（3分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：1921、香山叶正红、建党伟业、建军大业甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可【解答】解：把影片剧照1921、香山叶正红、建党伟业、建军大业的四张卡片分别记为、，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、
14、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，故答案为：13（3分）如图，在中，点在上（不与点，重合），连接只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是 （写出一个即可）【分析】利用相似三角形的判定方法可求解【解答】解：添加的条件为：，理由如下：，故答案为：14（3分）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且，则【分析】根据根与系数的关系得到，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可【解答】解：根据题意得，或时，不合题意，故答案为：15（3分）如图，在矩形中，为的中点，为线段上一动点，为中点，连接，则线段长的取值范围是 【分析】根据中位线定理先判断出点的轨迹是线段，再根
15、据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点到线段上各点的连线中，最小，最大【解答】解：如图：当点与点重合时，点在点处，当点与点重合时，点在点处，且，当点在上除点、的位置处时，有，由中位线定理可知：且，点的运动轨迹是线段，矩形中，为的中点，、为等腰直角三角形，的长最小，最大，故答案为：三、解答题（共75分）16（10分）解方程：（1）；（2）【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；（2）先移项利用因式分解法求解即可【解答】解：（1），或，所以，；（2），或，所以，17（9分）先化简，再求值：，其中为方程的实数根【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号
16、外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答【解答】解：，或，或；，当时，原式18（9分）如图，点、分别在、上，且（1）尺规作图：作的角平分线，与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据角平分线定义和相似三角形的判定定理即可得到结论【解答】解：（1）如图所示，线段即为所求；（2），平分，是的一个外角，19（9分）2022年3月25日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版），优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们
17、每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表等级时长（单位：分钟）人数所占百分比420根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生总人数为 50，表中的值为 ；（2）该校共有500名学生，请你估计等级为的学生人数；（3）本次调查中，等级为的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率【分析】（1）用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到的值；（2）用500乘以等级人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的
18、结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为（人，所以；故答案为：50；（2）（人，所以估计等级为的学生人数为200人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率20（9分）如图，在菱形中，点是边的中点点是边上一动点（不与点重合），延长交时线于点，连接、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）填空：当的值为 1时，四边形是矩形；当的值为 时，四边形是菱形【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）证是等边三角形，得，则，再由矩形的判定即可得出结论；是等边三角形，得，再由菱形的判定即可
19、得出结论【解答】（1）证明：四边形是菱形，点是边的中点，在与中，又，四边形是平行四边形；（2）解：当的值为1时，四边形是矩形理由如下：四边形是菱形，是等边三角形，平行四边形是矩形；故答案为：1；当的值为2时，四边形是菱形理由如下：，是等边三角形，平行四边形是菱形，故答案为：221（9分）已知关于的一元二次方程（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可；（2）将代入方程，求出的值，进而得出方程的解【解答】（1）证明：，而，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：方程的一个根是1，解得
20、：，原方程为：，解得：，即的值为，方程的另一个根是422（9分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个（1）当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量（个与每个售价（元之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多
21、少元？【分析】（1）利用销售量每个降低的钱数，即可找出与之间的函数关系式，再结合每个“冰墩墩”的进价及从第二天起降价销售，即可得出自变量的取值范围；（2）利用总利润每个的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合（1）中的取值范围及第二天销售数量不低于30个，即可得出结论【解答】解：（1）依题意得：（2）依题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），当时，符合题意答：第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元23（11分）如图，在正方形中，为为边上的定点，、分别是、边上的动点，和交于点有2个选项：；（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）（2）若，若，求的长；连结、，直接写出的最小值【分析】（1）条件是，结论是过点作交于，证明即可；（2）在中，求出，利用勾股定理得出；过点作，过点作，当、三点共线时，的值最小，证明是等腰直角三角形，由勾股定理即可求的值即为所求【解答】解：（1）选择的条件是，结论是理由如下：如图1，过点作交于，在与中，故答案为：，；（2），在中，；过点作，过点作，四边形为平行四边形，当、三点共线时，的值最小，是等腰直角三角形，的最小值为
