1、 2022 年河南省郑州市重点中学中考第一次联考数学试卷年河南省郑州市重点中学中考第一次联考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1. 78的相反数是( ) A. 78 B. 78 C. 87 D. 87 2. 2021年2月22日， 农业农村部部长唐仁健强调要坚决遏制耕地“非农化”和防止耕地“非粮化”， 牢牢守住18亿亩耕地红线，同时还要确保15.5亿亩永久基本农田主要种植粮食及瓜菜等一年生的作物将数据“15.5亿”用科学记数法表示为( ) A. 0.155 1010 B. 15.5 108 C. 1.55 108 D. 1.55 109 3. 如图，下列四个几何体中，
2、主视图、俯视图和左视图都相同的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 如图，已知/，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置若1 = 115，则2的度数为( ) A. 25B. 45C. 20D. 30 5. 下列运算正确的是( ) A. 2+ = 33 B. (22)3= 86 C. ( + 1)(1 + ) = 2 1 D. 22 33= 66 6. 小明在一次射击训练中，连续10次的成绩为1次10环，3次9环，6次8环，则小明这10次射击的平均成绩为( ) A. 8.5环 B. 8.6环 C. 8.7环 D. 8.8环 7. 定义新运算“ ”：对于任意实数，都有 =
3、 2+ 2 2 2，其中等式右边是通常的加法、 减法、 乘法运算， 例如： 5 6 = 52+ 62 2 5 6 2 = 1.若方程 = (为实数)是关于的方程，则方程的根的情况为( ) A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 8. 如图，直线分别与轴，轴交于点，点，为线段的三等分点，且，在反比例函数 =的图象上，= 12，则的值为( ) A. 2B. 4C. 6D. 8 第 2 页，共 20 页 9. 如图，在中， = 60， = 8， = 10，为的平分线利用尺规在中作图，作图痕迹如图所示，交于点，连接，则的长为( ) A. 33 B.
4、 3 C. 5 D. 27 10. 如图，在 中， = 90，tan =54，边在轴上，点的坐标为(2,0)，矩形的顶点与点重合， 顶点在边上， 且点的坐标为(2,1)， 将矩形沿轴向左平移， 当点落在边上时，点的坐标为( ) A. (65,1) B. (165,1) C. (225,1) D. (5,1) 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15 分） 11. 请写出一个整数部分为1的无理数_ 12. 已知不等式组 2 1 + 2 0的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个的值_ 13. 一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数字2，1，1，2，小球除所标数字不同外，其他完全相同摇匀
5、后从中随机摸出一球，记下数字为，不放回，再随机摸出一球，记下数字为，以此来确定点的坐标为(,)，则点落在直线 = + 1上的概率为_ 14. 如图，在等腰三角形中， = 30， = = 23，将 绕点逆时针旋转30得到 ，其中点的运动轨迹为，连接，则图中阴影部分的面积是_ 15. 如图，在矩形中， = 60， = 4，点在边上，且 =14，点在边上运动，连接，将 沿折叠，点落在点处，则点到直线的最短距离是_ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题 2+ 2 + 12 1 (2 + 1 1 1) =(:1)2(:1)(;1)
6、 (2:1;1;1;1)第一步 =:1;12:1;1;1第二步 =:1;1;1第三步 =:1;1;1第四步 =:1第五步 (1)填空： 以上化简步骤中，第_步是进行分式的通分，通分的依据是_； 第_步开始出现错误，这一步错误的原因是_ (2)请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简 (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议 17. 某校在第五届全国学生“学宪法讲宪法”活动中，举办了宪法知识竞赛，现从初三班和班中各抽取20名学生的竞赛成绩(单位：分，百分制)进行调查分析，成绩如下： 班 90 89 100 96 97 98 89 97 8
7、7 100 95 99 98 77 87 93 92 84 94 98 班 78 86 92 95 97 86 76 91 90 99 100 97 89 97 85 91 100 95 100 96 整理数据 第 4 页，共 20 页 成绩 频数 班级 76 80 81 85 86 90 91 95 96 100 班 1 1 5 4 9 班 2 1 4 5 8 分析数据根据以上数据进行统计分析： 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 班 93 94.5 35.3 班 92 97，100 46.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的 =_， =_ (2)请你根据以上统计信息，分析
8、哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定 (3)若全校九年级共有学生800人，请你估计本次宪法知识竞赛中分数在90分以上的人数若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，还应该怎样做，请你给出合理化的建议(写出一条即可) 18. 五一期间，小明跟父母去乌镇旅游，欣赏乌镇水乡的美景如图，当小明走到乌镇古桥的处时，发现远处有一艘船匀速行驶过来，当船行驶到处时，小明测得船头的俯角为30.同时小明开始计时，船在航行过小明所在的桥之后，继续向前航行到达处，此时测得船尾的俯角为45.从小明开始计时到船行驶至处，共用时15.已知小明所在位置距离水面6，船长3，船到水面的距离忽略不计请你帮
9、助小明计算一下船的航行速度(结果保留根号) 19. 某学习用品商店销售某种黑色签字笔和某种文具盒，进价和售价保持不变其中黑色签字笔的进价为2元/个，文具盒的进价为12元/个，下表是前两个月黑色签字笔和文具盒的销售情况： 时间 销售数量(个) 销售收人(元) (销售收入=售价销售数量) 黑色签字笔 文具盒 第一个月 230 120 2490 第二个月 340 150 3270 (1)求黑色签字笔和文具盒的售价 (2)第三个月该学习用品商店想再购进黑色签字笔、文具盒共650个，但预算成本不超过2700元，且黑色签字笔最多购进550个在购进的黑色签字笔和文具盒全部售完的情况下，设购进黑色签字笔个，利
10、润为元，写出与之间的函数关系式，并求出第三个月所能获得的最大利润 20. 复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点如图1，直线1为 的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相 交，我们把这条直线叫做圆的割线如图1，直线2为 的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长 阅读材料 几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36 2圆幂定理(切割线定理)内容如下： 第 6
11、页，共 20 页 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，是 外一点，_ 求证：_ 提示辅助线可先考虑作 的直径 在平面直角坐标系中，抛物线 = 2+ 6与轴交于，两点 (1)若抛物线经过点(4,6)，求抛物线的解析式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围 (2)当 0时，若抛物线 = 2+ 6的最低点到直线 = 的距离为6，求的值 21. 如图1，是半圆的直径，点是直径上一动点，点是直径下方一定点，且 = 60，
12、= 3， = 6， 连接并延长交于点， 连接， .设 = ， = 1， = 2.小明同学根据学习函数的经验，分别对1，2随自变量的变化而变化的规律进行了探究下面是小明同学的探究过程，请补充完整： (1)根据点在直径上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，的长度，得到了1，2与的几组对应值，如下表所示： / 0 1 2 3 4 5 6 1/ 0 1.98 3.95 5.19 5.77 5.97 6.00 2/ 4.55 5.68 6.00 5.83 5.51 5.20 请补全表格：的值为_ (2)在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(,1)，(,2)，并画出函数1，2的图象
13、 22. (1)问题发现 如图1，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中， = = 90，连接，交的延长线于点 填空：的值为_，的度数为_ (2)类比探究 如图2，在矩形和矩形中， = = 30，连接，的延长线和的延长线交于点.请求出的值及的度数 (3)拓展延伸 在(2)的条件下，将矩形绕点在平面内自由旋转，所在直线交于点.若 = 3，请直接写出的最大值 第 8 页，共 20 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据相反数的定义，得78的相反数是(78) =78 故选： 求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号 一
14、个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0 学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆 2.【答案】 【解析】解：15.5亿= 1550000000 = 1.55 109， 故选： 科学记数法的表示形式为 10的形式， 其中1 | 10， 为整数 确定的值时， 要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 10时，是正整数；当原数的绝对值 0， 方程有两个不相等的实数根 故选： 利用新运算把方程 = (为实数)化为2+ 2 2 2 = ，整理得到2 3 + 2 2 = 0，再计算判别式的值得到 0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 本题考查了
15、根的判别式： 一元二次方程2+ + = 0( 0)的根与= 2 4有如下关系： 当 0时，方程有两个不相等的实数根；当= 0时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程无实数根 8.【答案】 【解析】解：作 轴于， 设(,)，)，则 = ， = 点，为线段的三等分点， = 3， = 12， 12 =12 4 = 12， = 6， 故选： 作 轴于，设(,)，则 = ， =，由题意可知 = 4，然后利用三角形面积公式得到12 4 = 12，求得 = 6 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出的坐标以及的长是解题的关键 9.【答案】 第 12 页，共 20 页 【解析】解：过点作
16、 于点， 平分， = ， 四边形是平行四边形， /， = ， = ， = ， = 60， 是等边三角形， = = = 8， 由作图可知平分， ， = 30， = 43， = 23， = 6， = 10， = 4， = 2+ 2=42+ (23)2= 27 故选： 过点作 于点， 证明 是等边三角形， 由等边三角形的性质得出 = = = 8， 求出，的长，由勾股定理可得出答案 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 10.【答案】 【解析】解：点的坐标为(2,0)，点的坐标为(2,1)， = 2， = 1， = 2， = 4， tan
17、=54=， = 5， 点(2,5)， 设直线解析式为 = + ， 由题意可得：5 = 2 + 0 = 2 + ， 解得： =54 =52， 直线解析式为 =54 +52， 当 = 1时， = 65， 平移后点坐标为(165,1)， 故选： 利用待定系数法可求直线的解析式，即可求解 本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，一次函数的性质，求出的解析式是本题的关键 11.【答案】3(答案不唯一) 【解析】解：整数部分为1的无理数是3，答案不唯一 故答案为：3(答案不唯一) 由于所求无理数的整数部分为1，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可 此题考查了无理数，熟悉无理数的定义和无
18、理数的估算方法是解题的关键 12.【答案】1(答案不唯一) 【解析】解： 2 1 + 2 0， 由得， 2 + 1， 由得， 2， 由数轴上不等式的解集可知 2， 2 + 1 2，即 32， 可以等于1 故答案为：1(答案不唯一) 先把当作已知条件求出各不等式的解集，再根据已知数轴上表示的不等式的解集列出关于的不等式，求第 14 页，共 20 页 出的取值范围，写出符合条件的一个的值即可 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键 13.【答案】16 【解析】解：根据题意画图如下： 共有12种等可能的结果，其中点落在直线 = + 1上的有2种， 点落在直线
19、 = + 1上的概率为212=16 故答案为：16 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得 此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14.【答案】 + 6 33 【解析】解：如图，过点作 于点 = = 23， ， = ， = 30， =12 = 3， = = 3 = 3， = 2 = 6， = = 30， = 180 30 30 = 120， = 30， = 120 30 = 90， 阴= 扇形+ =30(23)2360+12 23 23 12 6 3 = + 6 33 故答案为： + 6
20、 33 把阴影部分的面积看成扇形的面积+ 的面积 的面积即可 本题考查根据，旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积 15.【答案】32 【解析】解：过作 于，如图： 矩形中， = 60， = 4， = 90， = 30， = = 4， = 8， = 2 2= 43， =14， = 3， = 33， 沿折叠，点落在点处， 在以为圆心，3为半径的弧上， 当落在上时，到直线的距离最短，最短距离是， 在 中， =12 =332， 点到直线的最短距离是 =332 3 =32 故答案为：32 过作 于，根据矩形中， = 60， = 4，可得
21、= 8， = 2 2= 43，又 =14，即得 = 3， = 33，根据 沿折叠，点落在点处，知在以为圆心，3为半径的弧上， 故当落在上时， 到直线的距离最短， 最短距离是， 在 中， =12 =332，第 16 页，共 20 页 即得点到直线的最短距离是 =32 本题考查矩形中的翻折变换， 解题的关键是掌握折叠的性质， 理解的轨迹是在以为圆心，3为半径的弧 16.【答案】一 分式的基本性质 二 1没有变号 【解析】解：(1)以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 第二步开始出现错误，这一步错误的原因是1没有变号， 故答案为：一，分式的基本性质； 二，1没有变号；
22、 (2)原式=:1;12:1;:1;1 =:1;1;1:2 =:1:2； (3)在进行分式化简时，分子或分母是多项式，一般先进行分解因式，然后再进行计算 (1)根据异分母分式的加减法法则判断即可； 根据异分母分式的加减法法则判断即可； (2)先算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答； (3)根据分式化简的步骤进行解答即可 本题考查了分式的混合运算，通分，分式的定义，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键 17.【答案】93.5 98 【解析】解：(1)班成绩重新排列为：76、78、85、86、86、89、90、91、91、92、95、95、96、97、97、97、99、100
23、、100、100， 班成绩的中位数 =92:952= 93.5， 班成绩的众数 = 98， 故答案为93.5，98； (2)由表知，班成绩的平均数大，且方差小， 所以班在本次活动中整体水平较高且稳定； (3)若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，可从九年级各班中随机抽取20名学生进行统计 (1)根据众数和中位数的概念求解即可； (2)根据平均数和方差的意义求解即可； (3)答案不唯一，合理均可 本题考查频数分布表、方差、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 18.【答案】解：如图，过作 于， 在 中， = 30， = 6， =tan=63
24、3= 63()， 在 中， = 45， = 90 = 45， = ， = = 6， = + = (63 + 6)()， 船长3， 船航行的路程为：63 + 6 + 3 = (63 + 9)()， 船的航行速度为63:915=23:35(/)， 答：船的航行速度为23:35/ 【解析】 过作 于， 再锐角三角函数定义得 = 63()， 再证 = ， 则 = = 6，得 = + = (63 + 6)()，然后求出船航行的路程，即可得出答案 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 19.【答案】解：(1)设黑色签字笔的售价为元/个，文具盒的售价元/个，根据
25、题意，得： 230 + 120 = 2490340 + 150 = 3270， 解得 = 3 = 15， 答：黑色签字笔的售价为3元/个，文具盒的售价15元/个； (2) 预算成本不超过2700元，且黑色签字笔最多购进550个， 2 + 12(650 ) 2700 550， 解得510 550， = (3 2) + (15 12)(650 ) = 2 + 1950， 2 0， 随的增大而减小， = 510时，取最大值，最大值是2 510 + 1950 = 930(元)， 第 18 页，共 20 页 答：与之间的函数关系式为 = 2 + 1950，第三个月所能获得的最大利润是930元 【解析】
26、(1)根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组， 从而可以求得黑色签字笔和文具盒的售价； (2)根据利润=每件利润数量得黑色签字笔和文具盒的利润，相加可得与的函数关系式 本题考查二元一次方程组及一次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式 20.【答案】是 的切线，直线为 的割线 2= 【解析】解：已知：如图，是 外一点，是 的切线，直线为 的割线 求证：2= 故答案为：是 的切线，直线为 的割线，2= ， 证明：连接，连接并延长交 于点，连接， 是 的切线，则 + = 90， 是圆的直径， = 90 = + ， = ， 而 = ， = ， = ， ， =， 2= 按照题设要
27、求，写出“已知”和“求证”，然后证明 ，即可求解 本题为圆的综合题，主要考查了切线的性质、新定义和三角形相似、命题的知识等，正确理解题意是本题解题的关键 21.【答案】解：(1) 抛物线经过点(4,6)， 6 = 16 + 4 6， 解得， = 4， 抛物线的解析式为 = 2 4 6 抛物线的对称轴为 =;2= 2， 当 2时，函数值随的增大而增大 (2) 抛物线 = 2+ 6的开口向上， 0时，抛物线 = 2+ 6的最低点是(0,6)， 抛物线 = 2+ 6的最低点到直线 = 的距离为6， = 6 + 6 = 0或者 = 6 6 = 12 【解析】(1)由抛物线经过点(4,6)，求出 = 4
28、，得到抛物线的解析式为 = 2 4 6.根据对称轴可得，当 2时，函数值随的增大而增大 (2)由抛物线的开口向上，可以得到 0时，抛物线的最低点是(0,6)，根据这时抛物线的最低点到直线 = 的距离为6，即可求出的值 本题主要考查了二次函数的增减性和最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质 22.【答案】3 【解析】解：(1)当 = 0时，点与点重合，此时 = = 3，即 = 3 故答案为：3； (2)函数1，2的图象如下图所示： (1)当 = 0时，点与点重合，此时 = = 3，由此可得结论； (2)在坐标系描出各点，并用光滑曲线画图即可 本题考查动点问题，函数图象等知识，解题的关键是
29、理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型 23.【答案】2 45 【解析】解：(1)在等腰直角三角形和等腰直角三角形中， = = 90， = = = = 45， = ， = ， = 2， = 2， 第 20 页，共 20 页 = ，= 2 =， ， = 2， = ， = 180 = 45， 故答案为：2，45； (2)在矩形和矩形中， = = 30， =32， =32， = ， = 60， =32=， ， =32， = ， = 180 = 180 90 = 30； (3) = 30 = ， 点，点，点，点四点共圆， 如图2， = 90， = 3， 是直径， = 2， 点是以为直径的圆上一点， 当是直径时，有最大值为2 (1)通过证明 ，可得= 2， = ，可求解； (2)通过证明 ，可得=32， = ，可求解； (3)先证点，点，点，点四点共圆，则当是直径时，有最大值为2 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键
