1、 江苏省无锡市滨湖区江苏省无锡市滨湖区 2021-2022 学年学年九年级九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中，关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax+y3 B3x+y22 C2xx23 Dx（x23）0 2已知，则的值为（ ） A B C D 3用配方法解一元二次方程 x24x+10 时，下列变形正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）25 C （x+2）23 D （x2）23 4一元二次方程 x23x0 的根是（ ） Ax3 Bx10，x23 Cx10，x2 Dx
2、10，x23 5已知线段 a、b、c，其中 c 是 a、b 的比例中项，若 a9cm，b4cm，则线段 c 长（ ） A6cm B5cm C18cm D6cm 6在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ） A12.36cm B13.6cm C32.36cm D7.64cm 7平面直角坐标系中，在以（2，1）为圆心，5 为半径的圆上的点的坐标是（ ） A （4，7） B （1，2） C （5，4） D （2，4） 8下列说法：优弧比劣弧长；三点可以确定一个圆；长度相等的弧是等弧；经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个
3、数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 如图， 边长为 10 的等边ABC 中， 点 D 在边 AC 上， 且 AD3， 将含 30角的直角三角板 （F30）绕直角顶点 D 旋转，DE、DF 分别交边 AB、BC 于 P、Q，连接 PQ当 EFPQ 时，DQ 长为（ ） A6 B C10 D6 10如图，ABAD6，A60，点 C 在DAB 内部且C120，则 CB+CD 的最大值（ ） A4 B8 C10 D6 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 8 小题小题 10 空，每空空，每空 3 分，共分，共 30 分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题分，不需写出解答过
4、程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）卡上相应的位置） 11在比例尺为 1：5000 的地图上，一条长为 6cm 的线段实际长为 12若 x2 是一元二次方程 x2+ax60 的一个根，则 a 13在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 12m，那么这根旗杆的高度为 m 14 （6 分）已知 x1、x2是一元二次方程 2x24x50 的两个根，则 x1+x2 ，x1x2 15如图，四边形 ABCD 内接于O，若DCE55，则BOD 16 如图， 在ABC 中， 点 D 是边 AB 上的一点， ADCACB， AD2， BD6， 则边 AC 的长为
5、 17平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点分别为 A（1，0） ，B（1，0） ，C（3，2） ，设ABC的外心为 P，点 P 到直线 yx3 的距离为 18 （6 分）如图，在ABCD 中，B60，AB6，BC4，则ABCD 的面积为 ，E 为 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DE3DF，以 EC、EF 为邻边作EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 90 分 ）分 ） 19 （10 分）解下列方程： （1） （x3）225； （2）x26x80 20 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E 在 B
6、C 上，CDEA （1）求证：ADEDEC； （2）若 CE2，DE4，求 EB 的长 21 （8 分）已知：矩形 ABCD 两边 AB、BC 的长是关于 x 的方程 x22mx+4m40 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，矩形 ABCD 是正方形； （2）若 AB 的长为 4，求矩形 ABCD 的周长 22 （8 分）平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，2） ，B（2，1） ，C（4，3） （1）画出A1B1C1，使它与ABC 关于 x 轴对称； （2）以点（4，0）为位似中心，在网格中画出ABC 的位似图形A2B2C2，且A2B2C2与A1B1C1的相似比为 2：1
7、； （3） 设点 P （a， b） 为ABC 内一点， 则依上述变换后点 P 在A2B2C2内的对应点 P2的坐标是 23 （8 分）如图，在 RtABO 中，O90，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 AB 于点 C，交 OA 于点 D （1）若 C 为 AB 的中点，求A 的度数； （2）若 BO2，AO4，求 BC 的长 24 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 OM 为 AD 中点，连接 CM 交 BD 于点 N （1）求 DN：BN 的值； （2）若OCN 的面积为 2，求四边形 AONM 的面积 25 （8 分）如图 1，在 RtABC 中，B
8、90，C40，以 AB 为直径画O 交 AC 于点 D，E 是线段 AB 上的动点，延长 DE 交O 于 F 点，连接 AF （1）如图 1，求F 的度数； （2）如图 2，当 AEAD 时，求DFO 的度数 26 （10 分）某商店购进 60 个盲盒，进价为每个 20 元，第一天以每个 30 元的价格售出 20 个，为了尽快售完，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 2 个 （1）若商家想第二天就将这批盲盒销售完，则销售价格应定为多少？ （2）第三天，商店对剩余盲盒清仓处理，以每个 18 元的价格全部售出，如果这批盲盒共获利 330 元，问第二天每个盲盒的销售价格为
9、多少元？ 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，BC4，AC2，ACB90，矩形 BDEF 的边 BF1，BD2，矩形 BDEF 可以绕点 B 在平面内旋转，连接 AE、BE、CD （1）证明：ABECBD； （2）当 A、E、F 三点共线时，求 CD 的长； （3）设 AE 的中点为 M，连接 FM，直接写出 FM 的最大值 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中 O 为坐标原点，点 A（6，0） ，点 B（0，8） ，点 C（2，0） ，点 P从 B 出发沿 BA 向 A 运动，速度为每秒 1 单位长度，点 P 运动的同时，点 Q 从 A 出发沿 AC 向 C 运动，速度为每秒
10、2 个单位长度，当点 Q 到达点 C 时，P，Q 同时停止运动，设 P，Q 两点运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，PQBC； （2）若点 E 是点 B 以 P 为对称中心的对称点， 当PEQ 的面积是ABC 面积的时，求出此时 t 的值； 当 t 为何值时，以 A、E、Q 其中一点为圆心的圆恰好过另外两个点 （直接写出结果） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中，关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax+y3 B3x+y22 C2xx23 Dx（x23）0 【分析】根据一元二
11、次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可 【解答】解：A、x+y3 是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、3x+y22 是二元二次方程，故此选项不符合题意； C、2xx23 是一元二次方程，故此选项符合题意； D、x（x23）0 是一元三次方程，故此选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：是 整式方程，只含有一个未知数，所含未知数的项的最高次数是 2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c0（a0） 2已知，则的值为（ ） A B C D 【分析
12、】先把式子变成1，再代值计算即可得出答案 【解答】解：， 11； 故选：A 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键 3用配方法解一元二次方程 x24x+10 时，下列变形正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）25 C （x+2）23 D （x2）23 【分析】移项，配方，即可得出选项 【解答】解：x24x+10， x24x1， x24x+41+4， （x2）23， 故选：D 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键 4一元二次方程 x23x0 的根是（ ） Ax3 Bx10，x23 Cx10，x2 Dx10，x23 【分析】本题应对方程进行变形，
13、提取公因式 x，将原式化为两式相乘的形式 x（x3）0，再根据“两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0”来解题 【解答】解：x23x0 x（ x3）0 x10，x23 故选：D 【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，解此类方程只需按解一元二次方程的一般步骤按部就班即可 5已知线段 a、b、c，其中 c 是 a、b 的比例中项，若 a9cm，b4cm，则线段 c 长（ ） A6cm B5cm C18cm D6cm 【分析】根据比例中项的定义，求解即可 【解答】解：c 是 a、b 的比例中项， c2ab， a9cm，b4cm， c236， c0， c6cm 故选：A 【点评】本题考查比例
14、线段，比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握比例中项的性质，属于中考常考题型 6在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ） A12.36cm B13.6cm C32.36cm D7.64cm 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比 【解答】解：方法 1：设书的宽为 x，则有（20+x） ：2020：x，解得 x12.36cm 方法 2：书的宽为 200.61812.36cm 故选：A 【点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应
15、线段是解决问题的关键 7平面直角坐标系中，在以（2，1）为圆心，5 为半径的圆上的点的坐标是（ ） A （4，7） B （1，2） C （5，4） D （2，4） 【分析】 根据两点的距离公式计算这些点与圆心的距离， 大于 5 在圆外， 等于 5 在圆上， 小于 5 在圆内，可得结论 【解答】解：如图， 由题意得：AE35， AC5， AD35， AB25， 点 E，D 在圆内，点 C 在圆上，点 B 在圆外 故选：D 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，可以计算该点到圆心的距离与半径比较，也可以画图和标点的位置直观确定 8下列说法：优弧比劣弧长；三点可以确定一个圆；长度相等的弧是等弧；经过圆
16、内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义一一判断即可 【解答】解：优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故错误 三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆故错误 长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故错误 经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故正确 故选：C 【点评】本题考查等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型 9 如图， 边长为 10 的等边ABC
17、 中， 点 D 在边 AC 上， 且 AD3， 将含 30角的直角三角板 （F30）绕直角顶点 D 旋转，DE、DF 分别交边 AB、BC 于 P、Q，连接 PQ当 EFPQ 时，DQ 长为（ ） A6 B C10 D6 【分析】证明ADPBPQ，由相似三角形的性质得出，求出 BP6，CQ2，过点 Q作 QMAC 于点 M，由勾股定理可求出答案 【解答】解：F30， E60， EFPQ， DPQE60，DQPF30， APD+BPQ120， ABC 为等边三角形， AB60，ACBCAB10， APD+ADP120， BPQADP， ADPBPQ， ， PDQ90，DQP30， PDPQ， ，
18、 BP6， AP4，BQ8， CQ2， 过点 Q 作 QMAC 于点 M， CMCQ1，QM， CDACAD1037， DQ 故选：B 【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明ADPBPQ 是解题的关键 10如图，ABAD6，A60，点 C 在DAB 内部且C120，则 CB+CD 的最大值（ ） A4 B8 C10 D6 【分析】连接 AC，BD，在 AC 上取点 M 使 DMDC，根据题意可得 A，B，C，D，四点共圆，再证明ADMBDC 得到 ACAM+MCBC+CD，当 AC 最大时，四边形 ABCD 的周长最大，则 CB+CD 最大
19、，根据解直角三角形的性质得到 AC 的长即可求解 【解答】解：如图，连接 AC，BD，在 AC 上取点 M 使 DMDC， DAB60，DCB120， DAB+DCB180， A，B，C，D，四点共圆， ADAB，DAB60， ADB 是等边三角形， ABDACD60， DMDC， DMC 是等边三角形， ADBACD60， ADMBDC， ADBD， ADMBDC（SAS） ， AMBC， ACAM+MCBC+CD， 四边形 ABCD 的周长为 AD+AB+CD+BCAD+AB+AC， 且 ADAB6， 当 AC 最大时，四边形 ABCD 的周长最大，则 CB+CD 最大， 此时 C 点在的
20、中点处， CAB30， AC 的最大值ABcos304， CB+CD 最大值为 AC4， 故选：A 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含 30角的直角三角形的性质等知识，将 CB+CD 转化为 AC 是解题的关键 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 8 小题小题 10 空，每空空，每空 3 分，共分，共 30 分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）卡上相应的位置） 11在比例尺为 1：5000 的地图上，一条长为 6cm 的线段实际长为 300m 【分析】图上距离除以比例尺，算出实际距
21、离，进而把厘米换算成米即可 【解答】解：6500030000（cm） ， 30000cm300m 故答案为：300m 【点评】本题考查了比例线段，是有关比例线段的计算；注意厘米换算成米应缩小 100 倍 12若 x2 是一元二次方程 x2+ax60 的一个根，则 a 1 【分析】把 x2 代入方程 x2+ax60 得 4+2a60，然后解关于 a 的方程即可 【解答】解：把 x2 代入方程，可得： 4+2a60， 解得：a1， 故答案为：1 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 13在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿影长为 3m
22、，同时测得一根旗杆的影长为 12m，那么这根旗杆的高度为 7.2 m 【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解 【解答】解：设旗杆高度为 xm， 由题意得 1.8：3x：12， 解得：x7.2 故答案为：7.2 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记 14 （6 分）已知 x1、x2是一元二次方程 2x24x50 的两个根，则 x1+x2 2 ，x1x2 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解 【解答】解：x1、x2是一元二次方程 2x24x50 的两个根， a2，b4，c5， x1+x22， x1x2， 故答案为：2， 【点评】本
23、题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解决本题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系公式（x1+x2，x1x2） 15如图，四边形 ABCD 内接于O，若DCE55，则BOD 110 【分析】首先根据邻补角的定义求得BCD 的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得A 的度数，再 利用圆周角定理求得BOD 的度数 【解答】解：DCE55， BCD125， 四边形 ABCD 内接于O， A180BCD55， BOD2A110， 故答案为：110 【点评】 本题考查的是圆内接四边形的性质、 圆周角定理， 掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键 16 如图， 在ABC 中， 点 D 是边 AB 上的一点
24、， ADCACB， AD2， BD6， 则边 AC 的长为 4 【分析】通过证明ADCACB，可得 AC2ABAD16，即可求 AC 的长 【解答】解：AD2，BD6， ABAD+DB8， AA，ADCACB， ADCACB， ， AC2ABAD16 AC4， 故答案为：4 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明ADCACB 是本题的关键 17平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点分别为 A（1，0） ，B（1，0） ，C（3，2） ，设ABC的外心为 P，点 P 到直线 yx3 的距离为 3 【分析】先确定点 P 一定在 y 轴上，设 P（0，m） ，根据外心到 A 和 C 的距离
25、相等列等式可得 m 的值，确定 OP3，根据一次函数与坐标轴的交点得 OF，OE3，所以OEF30，从而可得答案 【解答】解：如图，连接 PA，PC，过点 P 作 PMEF 于 M， A（1，0） ，B（1，0） ， 点 P 一定在 y 轴上， 设 P（0，m） ， PAPC， （0+1）2+m2（0+3）2+（m2）2， 解得：m3， P（0，3） ， OP3， 直线 yx3 中，当 x0 时，y3， 当 y0 时，x， OF，OE3， EF2， OEF30， RtPEM 中，PE6， PM3， 即点 P 到直线 yx3 的距离为 3 故答案为：3 【点评】本题考查的是三角形的外心的性质：外
26、心到各顶点的距离相等，一次函数与坐标轴的交点及含30角的直角三角形的性质，把圆与一次函数结合起来是解题的关键，解答时，要灵活运用数形结合思想 18 （6 分）如图，在ABCD 中，B60，AB6，BC4，则ABCD 的面积为 12 ，E 为 AB 上 的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DE3DF，以 EC、EF 为邻边作EFGC，连接 EG，则 EG的最小值为 【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到 ED 和 EF 的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到 EG 的最小值，本题得以解决 【解答】解：如图，作 CHAB 于点 H， 在ABCD 中，B60，BC4， CH2，
27、 ABCD 的面积为：ABCH12； 四边形 ECGF 是平行四边形， EFCG， EODGOC， ， DE3DF， ， ， ， 当 EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值， 当 EOCD 时，EO 取得最小值， CHEO， EO2， GO， EG 的最小值是 2+ 故答案为：12； 【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 90 分 ）分 ） 19 （10 分）解下列方程： （1） （x3）225； （2）x26x80 【分析】 （1）利用直接开平方
28、法解一元二次方程； （2）利用配方法解一元二次方程 【解答】解： （1） （x3）225， x35， x5+3， x18，x22； （2）x26x80， x26x8， x26x+98+9， （x3）217， x3， x3， x13+，x23 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 20 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E 在 BC 上，CDEA （1）求证：ADEDEC； （2）若 CE2，DE4，求 EB 的长 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是平行四边形
29、，得ADEDEC，再由CDEA，即可得出结论； （2）由相似三角形的性质列出比例式即可求解 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ADEDEC， 又CDEA， ADEDEC； （2）解：ADEDEC， ， AD8， ADBC8， BE826 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 21 （8 分）已知：矩形 ABCD 两边 AB、BC 的长是关于 x 的方程 x22mx+4m40 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，矩形 ABCD 是正方形； （2）若 AB 的长为 4，求矩形 ABCD 的周
30、长 【分析】 （1）由正方形的四边相等可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于 m 的方程，则可求得 m 的值； （2）由条件可知 x4 是方程的根，代入方程则可求得 m 的值，进一步可求得方程的根，则可求得该方程的另一个根，即可求得矩形的另一边长，则可求得周长 【解答】解： （1）当矩形 ABCD 为正方形时，可知 ABBC， 关于 x 的方程 x22mx+4m40 有两个相等的实数根， b24ac（2m）24（4m4）0， 解得：m1m22， 答：当 m 为 2 时，矩形 ABCD 是正方形； （2）当 AB4 时，即 x4 是方程的根， 4224m+4m40， 解得：m3， 此
31、时，原方程为 x26x+80， （x2） （x4）0， x20 或 x40， 解得：x12，x24， AB 的长为 4， BC 的长为 2， 2（AB+BC）2（2+4）12， 答：若 AB 的长为 4，矩形 ABCD 的周长为 12 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及矩形、正方形的性质，利用根的判别式或根的定义求得 m 的值是解题的关键 22 （8 分）平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，2） ，B（2，1） ，C（4，3） （1）画出A1B1C1，使它与ABC 关于 x 轴对称； （2）以点（4，0）为位似中心，在网格中画出ABC 的位似图形A2B2C2，且A
32、2B2C2与A1B1C1的相似比为 2：1； （3）设点 P（a，b）为ABC 内一点，则依上述变换后点 P 在A2B2C2内的对应点 P2的坐标是 （2a4，0） 【分析】 （1）根据轴对称的性质即可画出图形； （2）根据位似图形的性质，分别画出点 A2、B2、C2即可； （3）根据位似图形的性质，可知点 P 关于 x 轴对称点为 P2与点（4，0）的中点，根据中点坐标公式即可得出答案 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）如图，A2B2C2即为所求； （3）点 P（a，b）为ABC 内一点，A2B2C2与ABC 的相似比为 2：1， 对应点 P2的坐标为（122a，2
33、b） ， 故答案为： （122a，2b） 【点评】本题主要考查了作图轴对称，位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键 23 （8 分）如图，在 RtABO 中，O90，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 AB 于点 C，交 OA 于点D （1）若 C 为 AB 的中点，求A 的度数； （2）若 BO2，AO4，求 BC 的长 【分析】 （1）连接 OC，根据直角三角形的性质得出 OCBC，再利用等边三角形的性质求出OBC，进而解答即可 （2）作 OHBC 于 H，利用面积法求出 OH，再利用勾股定理求出 BH，利用垂径定理 BC2BH 即可解决问题 【解答】解： （1）连接 OC， AO
34、B90，C 为 AB 的中点， OCBCCA， OBOC， BOC 是等边三角形， OBC60， A90OBC906030； （2）作 OHBC 于 H 在 RtAOB 中，AOB90，OA4，OB2， AB， SAOBOBOAABOH， OH， BH， OHBC， BHCH， BC2BH 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 24 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 OM 为 AD 中点，连接 CM 交 BD 于点 N （1）求 DN：BN 的值； （2）若OCN 的面积为 2，求四边形
35、 AONM 的面积 【分析】 （1）由平行四边形 ABCD 的性质得到 MNBC，从而得到MNDCNB，进而结合点 M 为 AD的中点和相似三角形的性质得到 DN：BN 的值； （2）利用相似三角形的性质得到 MN：CN 的值，进而得到 MC：CN 的值，然后得到OCN 与OCM的面积之比从而求得OCM 的面积、ACM 的面积，最后求得四边形 AONM 的面积 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，且 ADBC， MDNCBN， 又BNCDNM， MNDCNB， ， M 为 AD 的中点， DM， DN：BN1：2； （2）连接 OM， MNDCNB，DN：BN1：2
36、； MN：CN1：2， MC：CN3：2， SOCM：SOCN3：2， SOCN2， SOCM3， SACM2SOCM6， S四边形AONMSACMSOCN624 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是通过相似三角形的性质得到相似比 25 （8 分）如图 1，在 RtABC 中，B90，C40，以 AB 为直径画O 交 AC 于点 D，E 是线段 AB 上的动点，延长 DE 交O 于 F 点，连接 AF （1）如图 1，求F 的度数； （2）如图 2，当 AEAD 时，求DFO 的度数 【分析】 （1）如图 1，连接 OD，先求得BAC50，进而
37、根据等腰三角形的性质得出AOD80，根据圆周角定理得到FAOD40； （2） 根据等腰三角形的性质得出ODAOAD50， ADEAED （18050） 65，即可求得ODFADEODA15，然后根据等腰三角形的性质求得DFOFDO15 【解答】解： （1）如图 1，连接 OD， 在 RtABC 中，B90，C40， BAC50， OAOD， ODAOAD50， AOD180505080， FAOD40； （2）如图 2，连接 OD， 在 RtABC 中，B90，C40， BAC50， OAOD， ODAOAD50， AEAD， ADEAED（18050）65， ODFADEODA655015，
38、 OFOD， DFOFDO15 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，作出辅助性根据等腰三角形是解题的关键 26 （10 分）某商店购进 60 个盲盒，进价为每个 20 元，第一天以每个 30 元的价格售出 20 个，为了尽快售完，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 2 个 （1）若商家想第二天就将这批盲盒销售完，则销售价格应定为多少？ （2）第三天，商店对剩余盲盒清仓处理，以每个 18 元的价格全部售出，如果这批盲盒共获利 330 元，问第二天每个盲盒的销售价格为多少元？ 【分析】 （1）设销售价格为 x 元，根据第二天的销售量为（6020）个，即可得出
39、关于 x 的一元一次方程，解之即可得出销售价格应定为 20 元； （2）设第二天每个盲盒的销售价格为 y 元，则第二天的销售量为（802y）个，第三天的销售量为（2y40）个，利用总利润每个盲盒的销售利润销售数量，即可得出关于 y 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再结合“为了尽快售完，从第二天起降价销售” ，即可得出第二天每个盲盒的销售价格为25 元 【解答】解： （1）设销售价格为 x 元， 依题意得：20+2（30 x）6020， 解得：x20 答：销售价格应定为 20 元 （2）设第二天每个盲盒的销售价格为 y 元，则第二天的销售量为 20+2（30y）（802y）个，第三天的销
40、售量为 6020（802y）（2y40）个， 依题意得： （3020）20+（y20） （802y）+（1820） （2y40）330， 整理得：y258y+8250， 解得：y125，y233 又为了尽快售完，从第二天起降价销售， y25 答：第二天每个盲盒的销售价格为 25 元 【点评】 本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用， 解题的关键是： （1） 找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，BC4，AC2，ACB90，矩形 BDEF 的边 BF1，BD2，矩形 BDEF 可以绕点 B 在平面内
41、旋转，连接 AE、BE、CD （1）证明：ABECBD； （2）当 A、E、F 三点共线时，求 CD 的长； （3）设 AE 的中点为 M，连接 FM，直接写出 FM 的最大值 【分析】 （1）先根据矩形的性质和ACB90等条件证明EDBACB，再将其对应边的比例式及对应角进行转化，进而证明ABECBD； （2）A、E、F 三点共线有两种情况，即点 E 在点 A 与点 F 之间或点 F 在点 A 与点 E 之间，可先根据勾股定理求出 AB 的长，再由相似三角形的对应边成比例求出 CD 的长； （3）延长 EF 到点 G，使 GFEF，连接 BG、AG，根据三角形的中位线定理可得 FMAG，再根
42、据三角形三边关系求出 AG 的最大值，即可求出 FM 的最大值 【解答】 （1）证明：如图 1，四边形 BDEF 是矩形， EDB90， ACB90， EDBACB， BC4，AC2，EDBF1，BD2， ， EDBACB， EBDABC， EBDABDABCABD， ABECBD， 由得， ABECBD. （2）如图 2，A、E、F 三点共线，且点 E 在点 A 与点 F 之间， F90，BA2BC2+AC242+2220， AF，BA2， EFBD2， AEAFEF2， ABECBD， ， CD； 如图 3，A、E、F 三点共线，且点 F 在点 A 与点 E 之间， AEAF+EF+2，
43、ABDEBDABDABC， ABECBD， ， ABECBD， ， CD， 综上所述，CD 的长为或 （3）如图 4，延长 EF 到点 G，使 GFEF，连接 BG、AG， AMEM， FMAG， BFE90， EFEG， BF 垂直平分 EG， BGBE， AGBA+BG， 当 AG 经过点 B 时，AGBA+BG2+3， 此时 AG 的值最大，AG 的值也最大， FM最大3， FM 的最大值为 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、二次根式的化简、线段长的最大值问题的求解等知识与方法，解第（2）题时要分类讨论，以免丢解 28 （12 分）如图
44、，在平面直角坐标系中 O 为坐标原点，点 A（6，0） ，点 B（0，8） ，点 C（2，0） ，点 P从 B 出发沿 BA 向 A 运动，速度为每秒 1 单位长度，点 P 运动的同时，点 Q 从 A 出发沿 AC 向 C 运动，速度为每秒 2 个单位长度，当点 Q 到达点 C 时，P，Q 同时停止运动，设 P，Q 两点运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，PQBC； （2）若点 E 是点 B 以 P 为对称中心的对称点， 当PEQ 的面积是ABC 面积的时，求出此时 t 的值； 当 t 为何值时，以 A、E、Q 其中一点为圆心的圆恰好过另外两个点 （直接写出结果） 【分析】 （1）由平
45、行线得APQABC，则，即，即可求解； （2）过点 Q 作 QHAB 于 H，由锐角三角函数定义得，则 QHt，再由对称的性质得 PEBPt，然后由三角形面积关系得t232，求解即可； 由题意得AEQ 为等腰三角形，分三种情况：a、当 AEAQ 时，得 102t2t，解得 t； b、当 AQEQ 时，过点 E 作 EFAQ 于 Q，证AEFABO，求出 EF、AF、QF，再由勾股定理得EQ2t264t+100，则（2t）2t264t+100，解方程即可； c、当 EQAE 时，t264t+100（102t）2，解方程即可 【解答】解：点 A（6，0） ，点 B（0，8） ，点 C（2，0） ，
46、 OB8，OA6，AC8， 在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB10， 由题意得：BPt，AQ2t， APABBP10t， （1）当 PQBC 时，APQABC， ， 即， 解得：t， 当 t 的值为时，PQBC； （2）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图 1 所示： 在 RtAOB 中，sinBAO， 在 RtAHQ 中，sinHAQ， ， 即， QHt， 点 E 是点 B 以 P 为对称中心的对称点， PEBPt， SPEQPEQHttt2，SABCOBAC8832，PEQ 的面积是ABC 面积的， t232， 解得：t4（负值已舍去） ， 当PEQ 的面积是ABC 面积的时，此时 t
47、 的值为 4； 以 A、E、Q 其中一点为圆心的圆恰好过另外两个点， AEQ 为等腰三角形， 分三种情况： a、当 AEAQ 时， BPPEt， BE2t， AEABBE102t， 102t2t， 解得：t； b、当 AQEQ 时，过点 E 作 EFAQ 于 Q，如图 2 所示： OBOA， EFOB， AEFABO， ， 即， 解得：EF8t，AF6t， QFAQAF2t6+tt6， 在 RtEFQ 中，由勾股定理得：EQ2EF2+QF2（8t）2+（t6）2t264t+100， （2t）2t264t+100， 解得：t1，t25（不合题意舍去） ； c、当 EQAE 时，t264t+100（102t）2， 解得：t1，t20（不合题意舍去） ； 综上所述，当 t 的值为或或时，以 A、E、Q 其中一点为圆心的圆恰好过另外两个点 【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆的性质、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、对称的性质、锐角三角函数定义、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握圆的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型
