1、2021-2022 学年山东省聊城市冠县九年级第一学期期中数学试卷学年山东省聊城市冠县九年级第一学期期中数学试卷 一、 选择题 （本题共一、 选择题 （本题共 12 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 36 分分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求）在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1下列关于“圆”的说法不正确的是（ ） A圆是中心对称图形，圆心就是对称中心 B垂直于弦的直径一定平分这条弦 C相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等 D圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴 2已知 是锐角，sincos60，
2、则 等于（ ） A30 B45 C60 D不能确定 3在 RtABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A 的正弦值（ ） A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C扩大 4 倍 D没有变化 4如图所示，A，B，C，D 均在正方形网格中的格点上，BAD，CAD 分别用 和 表示，下列四个选项中正确的是（ ） Asincos Bsintan Csincos Dsintan 5已知在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则O 的面积是（ ） A9 B16 C25 D64 6如图，RtABC 中，C90，D 为 BC 上一点，BDAC30，BD2，则 AC 的长是（
3、 ） A B C3 D 7如图，PA 与O 相切于点 A，线段 PO 交O 于点 C，过点 C 作O 的切线交 PA 于点 B若 PC4，AB3，则O 的半径等于（ ） A4 B5 C6 D12 8如图，点 D 是ABC 的边 BC 上一点，BADC，AC2AD，如果ACD 的面积为 15，那么ABD的面积为（ ） A15 B10 C7.5 D5 9如图，将半径为 2，圆心角为 90的扇形 BAC 绕 A 点逆时针旋转 60，点 B，C 的对应点分别为点 D，E，则阴影部分的面积为（ ） A B C D 10如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面 AB
4、CD 在同一平面上，在点 A 处测得塔顶 H 的仰角为 35D 处测得塔顶 H 的仰角为 45，又测得圆柱形建筑物的上底面直径 AD 为 6m，高 CD 为 2.8m，则塔顶端 H 到地面的高度 HG 为（ ） （参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70，1.41） A10.8m B14m C16.8m D29.8m 11文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题如图所示称为达芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为 A，B，C，D，所在圆的圆心为点 A（或 C）若正方形的边长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A B
5、2 C1 D4 12 如图， 将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG， 点 B 的对应点 E 落在边 CD 上， 且 DEEF，若 AD3，则的长为（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分，只要求写出最后结果）分，只要求写出最后结果） 13如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道（B，C 在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从 B 地出发，垂足上升 100m 到达 A 处，在 A 处观察 C 地的俯角为 30，则 BC 两地之间的距离为 m 14若ABCADE，若 AB9，AC
6、8，AD3，则 EC 的长是 15如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点 C，连接 BC，若ABC120，OC3，则弧BC 的长为 （结果保留 ） 16如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是直径，ODBC，ABC40，则BCD 的度数为 17如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在BC 边上的点 F 处，那么 cosEFC 的值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 69 分分.解答要写出必要的文字说明或推理步骤解答要写出必要的文字说明或推理步骤 18（1）计算：t
7、an60+9tan308sin602cos45； （2）在ABC 中，C90，求A 的度数 19如图，在平面直角坐标系中，给出了格点ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点 A 的坐标为（4，3） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 （2） 以点 O 为位似中心， 在给定的网格中画A2B2C2， 使ABC 与A2B2C2位似， 且点 B2的坐标为 （2，2） （3）ABC 与A2B2C2的位似比是 20如图，点 D、E 分别在 AC、BC 上，如果测得 CD20m，CE40m，AD100m，BE20m，DE45m，求 A、B 两地间的距离 21在ABC 中，B45，C30，若
8、 AB2，求 AC 的长 22如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，DECD，连接 BE 与 AC，AD，FE分别交于点 O，F （1）若DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积 （2）求证 OB2OEOF 23如图，AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E （1）求证：BDCD； （2）若 AB4，BAC45，求阴影部分的面积 24如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段 OP）小明拿着一根长 2m 的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点 A 竖起竹竿（线段 AE），这时他量了一下竹竿的影长 AC 正好是 1m，他沿
9、着影子的方向走了 4m 到达点 B，又竖起竹竿（线段 BF），这时竹竿的影长 BD 正好是 2m，请利用上述条件求出路灯的高度 25如图，已知 AB 是O 的直径，O 经过 RtACD 的直角边 DC 上的点 F，交 AC 边于点 E，点 F 是弧EB 的中点，C90，连接 AF （1）求证：直线 CD 是O 切线 （2）若 BD2，OB4，求 tanAFC 的值 参考答案参考答案 一、 选择题 （本题共一、 选择题 （本题共 12 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 36 分分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求）在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求
10、） 1下列关于“圆”的说法不正确的是（ ） A圆是中心对称图形，圆心就是对称中心 B垂直于弦的直径一定平分这条弦 C相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等 D圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系；圆的性质及垂径定理对各选项进行逐一分析即可 解：A、圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，故本选项正确； B、垂直于弦的直径一定平分这条弦符合垂径定理，故本选项正确； C、只有在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等，故本小题错误； D、圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
11、，故本选项正确 故选：C 2已知 是锐角，sincos60，则 等于（ ） A30 B45 C60 D不能确定 【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案 解：sincos60， 30 故选：A 3在 RtABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A 的正弦值（ ） A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C扩大 4 倍 D没有变化 【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角 A 的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值 解：根据锐角三角函数的概念，知 若各边长都扩大 2 倍，则 sinA 的值不变 故选：D 4如图所示，A，B，C，D 均在正方形网格中的格点上，BAD，CAD 分别用
12、和 表示，下列四个选项中正确的是（ ） Asincos Bsintan Csincos Dsintan 【分析】在 RtABD 和 RtACD 中，通过解直角三角形可求出 sin，cos，tan，sin，cos，tan 的值，进而可得出 sincos 解：在 RtABD 中，ADB90，BD1，AD2， AB， sin，cos，tan； 在 RtACD 中，ADC90，AD2，CD2， AC2， sin，cos，tan1 sincos 故选：C 5已知在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则O 的面积是（ ） A9 B16 C25 D64 【分析】根据垂径定理求出
13、AE，再根据勾股定理求出 OA5，即可解决问题 解：如图所示： 由题意得：OEAB，OE3， AEAB4 在 RtAOE 中，AE4，OE3， 根据勾股定理得到 OA5， 则O 的面积5225， 故选：C 6如图，RtABC 中，C90，D 为 BC 上一点，BDAC30，BD2，则 AC 的长是（ ） A B C3 D 【分析】 先由含 30角的直角三角形的性质得 BCAC， ACCD， 则 BC3CD， 再由 BCBD+CD2+CD，得 3CD2+CD，解得 CD1，即可得出答案 解：C90，BDAC30， BCAC，ACCD， BC3CD， BCBD+CD2+CD， 3CD2+CD， 解
14、得：CD1， AC， 故选：A 7如图，PA 与O 相切于点 A，线段 PO 交O 于点 C，过点 C 作O 的切线交 PA 于点 B若 PC4，AB3，则O 的半径等于（ ） A4 B5 C6 D12 【分析】根据切线长定理得到 BCBA，根据勾股定理求出 PB，根据切线的性质、勾股定理计算即可 解：设O 的半径为 r， 由切线长定理得，BCBA3， BC 是O 的切线， BCP90， PB5， APPB+AB8， PA 是O 的切线， OAP90， AP2+OA2OP2，即 82+r2（4+r）2， 解得，r6， 故选：C 8如图，点 D 是ABC 的边 BC 上一点，BADC，AC2AD
15、，如果ACD 的面积为 15，那么ABD的面积为（ ） A15 B10 C7.5 D5 【分析】首先证明BADBCA，由相似三角形的性质可得：BAD 的面积：BCA 的面积为 1：4，得出BAD 的面积：ACD 的面积1：3，即可求出ABD 的面积 解：BADC，BB， BADBCA， AC2AD， （）2， ， ACD 的面积为 15， ABD 的面积155， 故选：D 9如图，将半径为 2，圆心角为 90的扇形 BAC 绕 A 点逆时针旋转 60，点 B，C 的对应点分别为点 D，E，则阴影部分的面积为（ ） A B C D 【分析】连接 BD，根据旋转的性质、等边三角形的判定定理得到AB
16、D 为等边三角形，得到ABD60，根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式计算即可 解：连接 BD， 由题意得，ABAD，BAD60， ABD 为等边三角形， ABD60， 阴影部分的面积（22） +， 故选：A 10如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面 ABCD 在同一平面上，在点 A 处测得塔顶 H 的仰角为 35D 处测得塔顶 H 的仰角为 45，又测得圆柱形建筑物的上底面直径 AD 为 6m，高 CD 为 2.8m，则塔顶端 H 到地面的高度 HG 为（ ） （参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70，1.41） A
17、10.8m B14m C16.8m D29.8m 【分析】 延长 AD 交 HG 于 M， 则 MG28m， 设 DMx， 根据三角函数的概念用含 x 的代数式表示 HM，根据题意列出方程，解方程即可 解：延长 AD 交 HG 于 M，则 MGCD28m， 设 DMx， 在 RtAHM 中，HM（x+6）tan35， 在 RtDHM 中，HMxtan45x， （x+6）tan35x， 即（x+6）0.70 x， x14， 即 HM14 HG14+2.816.8（m） 故选：C 11文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题如图所示称为达芬奇的“猫眼”，可看成圆与正
18、方形的各边均相切，切点分别为 A，B，C，D，所在圆的圆心为点 A（或 C）若正方形的边长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A B2 C1 D4 【分析】分别连接 AD，AB，BD，构造扇形 ABD，等腰直角 ABD 及弓形，用扇形 ABD 的面积减去等腰直角 ABD 的面积，即得到弓形面积，再用圆的面积减去 2 倍弓形面积即可 解：圆与正方形的各边均相切，切点分别为 A，B，C，D， A，B，C，D 分别是正方形各边中点， 如图所示，分别连接 AD，AB，BD， 则DAB90， 正方形边长为 2， ADAB， S扇形ABDSABD1， S阴影S圆2（1）122（1）2 故选：B 12 如
19、图， 将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG， 点 B 的对应点 E 落在边 CD 上， 且 DEEF，若 AD3，则的长为（ ） A B C D 【分析】连接 AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到DAE45，AE3，根据旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案 解：连接 AC、AF， 由旋转的性质可知，BCEF，ABAE， DEEF， DEBCAD， 在 RtADE 中，DEAD， DAE45，AE3， EAB904545，即旋转角为 45， FAC45， 在 RtABC 中，AC9， 的长， 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 个小题，每小题个小题，每
20、小题 3 分，共分，共 15 分，只要求写出最后结果）分，只要求写出最后结果） 13如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道（B，C 在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从B地出发， 垂足上升 100m 到达A处， 在A 处观察C地的俯角为 30， 则BC两地之间的距离为 100 m 【分析】利用题意得到C30，AB100，然后根据 30的正切可计算出 BC 解：根据题意得C30，AB100， tanC， BC100（m） 故答案为 100 14若ABCADE，若 AB9，AC8，AD3，则 EC 的长是 【分析】利用相似三角形的对应边成比例列式计算即可 解：设 ECx， AC
21、8， AE8x， ABCADE， ， ， 解得：x， 故答案为： 15如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点 C，连接 BC，若ABC120，OC3，则弧BC 的长为 2 （结果保留 ） 【分析】根据切线的性质得到OBA90，求出OBC，根据三角形内角和定理求出BOC120，根据弧长公式计算即可 解：连接 OB， AB 与O 相切于点 B， OBA90， OBCABCABO30， OBOC， CB30， BOC120， 弧 BC 的长2， 故答案为：2 16如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是直径，ODBC，ABC40，则BCD 的度数为 110 【分析】根据平行线的性
22、质求出AOD，根据等腰三角形的性质求出OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可 解：ODBC， AODABC40， OAOD， OADODA70， 四边形 ABCD 内接于O， BCD180OAD110， 故答案为：110 17如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在BC 边上的点 F 处，那么 cosEFC 的值是 【分析】 根据翻折变换的性质得到AFED90， AFAD5， 根据矩形的性质得到EFCBAF，根据余弦的概念计算即可 解：由翻折变换的性质可知，AFED90，AFAD5， EFC+AFB90， B90， B
23、AF+AFB90， EFCBAF， cosBAF， cosEFC， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 69 分分.解答要写出必要的文字说明或推理步骤解答要写出必要的文字说明或推理步骤 18（1）计算：tan60+9tan308sin602cos45； （2）在ABC 中，C90，求A 的度数 【分析】 （1） 将 tan60， tan30， sin60及 cos45代入原式， 即可求出结论； （2）在 RtABC 中，利用正切的定义可求出 tanA 的值，进而可求出A 的度数 解：（1）原式+982； （2）在 RtABC 中，C90， tanA，
24、 A60 19如图，在平面直角坐标系中，给出了格点ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点 A 的坐标为（4，3） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 （2） 以点 O 为位似中心， 在给定的网格中画A2B2C2， 使ABC 与A2B2C2位似， 且点 B2的坐标为 （2，2） （3）ABC 与A2B2C2的位似比是 1：2 【分析】（1）直接利用关于 y 轴对称点的性质得出答案； （2）直接利用对应点的坐标变化得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用（2）中对应点变化进而得出位似比 解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求；
25、（3）ABC 与A2B2C2的位似比是：1：2 故答案为：1：2 20如图，点 D、E 分别在 AC、BC 上，如果测得 CD20m，CE40m，AD100m，BE20m，DE45m，求 A、B 两地间的距离 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例； 对应边成比例，且对应角相等的三角形相似要注意方程思想的应用 解：CD20m，CE40m，AD100m，BE20m， ACCD+AD120m，BCCE+BE60m CE：AC40：1201：3，CD：BC20：601：3 CE：ACCD：BC CC， CEDCAB DE：ABCD：BC1：3 AB3DE135m A、B
26、两地间的距离为 135m 21在ABC 中，B45，C30，若 AB2，求 AC 的长 【分析】过 A 点作 ADBC 于 D 点，把一般三角形转化为两个直角三角形，然后分别在两个直角三角形中利用三角函数，即可求出 AC 的长度 解：过 A 点作 ADBC 于 D 点， 在直角三角形 ABD 中，B45，AB2， ADABsinB2， 在直角三角形 ADC 中，C30， AC2AD4 22如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，DECD，连接 BE 与 AC，AD，FE分别交于点 O，F （1）若DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积 （2）求证 OB
27、2OEOF 【分析】（1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定DEFABF，DEFCEB，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及DEF 的面积为 2，可求得答案 （2）由 ADBC，ABDC，分别判定AOFCOB，ABOCEO，从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论 解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， DECD， ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， DEFABF， ， 又SDEF2， SABF8； 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DEFCEB， ， SCBE9218， S四边形BCDFSCBESDEF1
28、8216， 平行四边形 ABCD 的面积为：8+1624 （2）证明：ADBC， AOFCOB， ， ABDC， ABOCEO， ， ， OB2OEOF 23如图，AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E （1）求证：BDCD； （2）若 AB4，BAC45，求阴影部分的面积 【分析】（1）利用圆周角定以及等腰三角形的性质得出即可； （2）首先得出BOE90，BOEO2，AOE90，进而求出 S阴SBOE+S扇形OAE的值 【解答】（1）证明：连接 AD， AB 为O 直径， ADBC， 又ABAC， BDCD； （2）解：连接 OE， AB4，BAC45， B
29、OE90，BOEO2，AOE90， S阴SBOE+S扇形OAE22+2 24如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段 OP）小明拿着一根长 2m 的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点 A 竖起竹竿（线段 AE），这时他量了一下竹竿的影长 AC 正好是 1m，他沿着影子的方向走了 4m 到达点 B，又竖起竹竿（线段 BF），这时竹竿的影长 BD 正好是 2m，请利用上述条件求出路灯的高度 【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论 解：由于 BFDB2m，即D45， DPOP灯高 在CEA 与COP 中， AECP，OPCP， AEOP CEACOP， 设 APxm，OPhm，则， DPOP2
30、+4+xh， 联立两式， 解得 x4，h10 路灯有 10m 高 25如图，已知 AB 是O 的直径，O 经过 RtACD 的直角边 DC 上的点 F，交 AC 边于点 E，点 F 是弧EB 的中点，C90，连接 AF （1）求证：直线 CD 是O 切线 （2）若 BD2，OB4，求 tanAFC 的值 【分析】（1）连接 OF，BE，得到 BECD，根据平行线的性质得到 CDOF，即可得出结论； （2）由相似三角形的性质求出 AC 长，再由勾股定理可求得 DC 长，则能求出 CF 长，即可得出结果 【解答】（1）证明：连接 OF，BE，如图： AB 是O 的直径， AEB90， C90， AEBACD， BECD， 点 F 是弧 BE 的中点， OFBE， OFCD， OF 为半径， 直线 CD 是O 的切线； （2）解：COFD90， ACOF， OFDACD， ， BD2，OFOB4， OD6，AD10， AC， CD， ACOF，OA4， ，即， 解得：CF， tanAFC
