1、山东省济南市槐荫区2021-2022学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1. 在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是（）A. B. C. D. 2. 下列各组线段，能成比例的是（）A. 3，6，9，18B. 2，5，6，8C. 1，2，3，4D. 3，6，7，93. 已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（）A. （1，2）B. （1，2）C. （2，1）D. （1，2）4. 在RtABC中，C =90，sinA=，则cosB的值等于( )A. B. C. D. 5. 如图，已知ABCDEF，若AC6，CE2
2、，BD3，则BF的长为（）A. 6B. 5.5C. 4D. 4.56. 如图，四边形ABCD四边形EFGH，A80，C90，F70，则H的度数为（ ）A. 70B. 80C. 110D. 1207. 已知反比例函数y，下列结论不正确的是（）A. 图象经过点（1，1）B. 图象在第一、三象限C. 当x1时，0y1D. 当x0时，y随着x的增大而增大8. 两个相似三角形的面积之比为，其中较小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）A. 16B. 8C. 2D. 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点光源位于P(2，2)处，木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)，则木杆AB在x轴上
3、的影长CD为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 710. 如图，正比例函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1当时，则x的取值范围是（ ）A. B. 或C. D. 或11. 如图，直线yx与双曲线y (k0，x0)交于点A，将直线yx向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y (k0，x0)交于点B，若OA3BC，则k的值为( )A. 3B. 6C. D. 12. 如图，在菱形中，为中点，是上一点，为上一点，且，交于点，关于下列结论，正确序号的选项是（ ），A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题每小题4分，共24分）13. 若4m7n，则_14. 在某
4、一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为_m.15. 已知点、都是反比例函数图象上的点，且满足，则，的大小关系是_16. 如图，一山坡坡度，小明从A处爬到B处所走的直线距离AB10米，则他在垂直方向上升的高度CB为_米17. 如图，在平面直角坐标系中，RtABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，ABO=90，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C若S四边形ABCD=10，则k的值为 18. 如图，点A、B分别在x轴的正半轴和负半轴上，以AB为边在x轴的上方作正方形ABCD，正方形ABCD对
5、角线的交点坐标为I（a，b），在正方形ABCD的内部作正方形OPMN，使得O、P、M、N分别落在AB、BC、CD、DA上，若双曲线经过点N和点I，则的值是_三、解答题（本大题共9个小题，共78分）19 计算：20. 若，且x+2y+z=36，分别求x、y、z的值21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断ABC和DEF是否相似，并说明理由22. 在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出ABC，使ABC与ABC位似，且相似比为2；（2）求出ABC的面积23. 如图，
6、ABC的三个顶点都在平面直角坐标系的坐标轴上，BC6，边AB所在直线的表达式为yx2，求sinACB24. 请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，ABC中，AD平分BAC，则下面是这个定理的部分证明过程证明：如图2，过点C作交BA的延长线于点E任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3，已知RtABC中，AB3，BC4，ABC90，AD平分BAC，求ABD的周长25. 如图，过点C（8，6）分别作CBx轴，CAy轴，垂足分别为点B和点A，点F是线段BC上一个动点，但不与点B、点C重合，反比例函数图象过点F，与线段AC交于点E，连接EF
7、（1）当点E是线段AC的中点时，求点F的坐标；（2）连接AB，试判断EF与AB位置关系，并说明理由；（3）若的面积为6，求反比例函数的表达式，26. 已知点E在ABC内，ACBEDB60，AEB150，BEC90（1）当时（如图1），判断ABC的形状，并说明理由；求证：；（2）当时（如图2），的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+b的图象经过点C(0，2)，与反比例函数（x0）的图象交于点A(1，a)（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）一次函数yx+b的图象与x轴交于B点，求ABO的面积；（3）设M是反比例函数（x0
8、）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标山东省济南市槐荫区2021-2022学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1. 在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形根据概念判断即可【详解】解：A、球的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确；B、圆柱的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图是圆形；故本选项错误；C、六棱柱的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图是
9、正六边形；故本选项错误；D、圆锥的主视图是三角形、左视图三角形、俯视图是圆形；故本选项错误；故选A2. 下列各组线段，能成比例的是（）A. 3，6，9，18B. 2，5，6，8C. 1，2，3，4D. 3，6，7，9【答案】A【解析】【详解】试题解析：A、318=69，故本选项正确；B、2856，故本选项错误；C、1423，故本选项错误；D、3967，故本选项错误故选A3. 已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（）A. （1，2）B. （1，2）C. （2，1）D. （1，2）【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数图象和性质即可解答先判断出反比例函数图象的一分支所在象限
10、，即可得到另一分支所在象限【详解】解：由于点（1，2）在第一象限，则反比例函数的一支在第一象限，另一支必过第三象限第三象限内点的坐标符号为（，）故选：D【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数图像的对称性4. 在RtABC中，C =90，sinA=，则cosB的值等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】解：在RtABC中，C=90，sinA=，则cosB=故选：B【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系熟练运用三角函数的定义进行求解是解题关键5. 如图，已知ABCDEF，若AC6，CE2，BD3，则BF的长为（）A. 6B. 5.5C. 4D.
11、 4.5【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求BF【详解】解：ABCDEF，即，BF4故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例6. 如图，四边形ABCD四边形EFGH，A80，C90，F70，则H的度数为（ ）A. 70B. 80C. 110D. 120【答案】D【解析】【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可【详解】 四边形 ABCD 四边形 EFGH，A=80，C=90，F=70 ，E=A=80，G=C=90 H=360EFG=360807090=120 故选D【点睛】本题考查了相似多边形的
12、性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键7. 已知反比例函数y，下列结论不正确的是（）A. 图象经过点（1，1）B. 图象在第一、三象限C. 当x1时，0y1D. 当x0时，y随着x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质逐项分析即可【详解】解：A、当x1时，y1，图象经过点（1，1），正确；B、k10，图象在第一、三象限，正确；C、k10，图象经过点（1，1）图象在第一象限内y随x的增大而减小，当x1时，0y1，正确；D、k10，当x0时，y随着x的增大而减小，原说法错误；故选：D【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当k0时，函数图象在第一、三象限，在每个象
13、限内，y的值随x的值的增大而减小8. 两个相似三角形的面积之比为，其中较小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）A. 16B. 8C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，计算求解即可【详解】解：由题意知，小、大三角形相似比为，设另一个三角形的周长为x，则4：x=1：2，解得：x=8故选B【点睛】本题考查了相似三角形的性质解题的关键在于明确相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点光源位于P(2，2)处，木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，
14、1)，则木杆AB在x轴上的影长CD为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】利用中心投影，作PEx轴于E，交AB于M如图，证明PABCPD，然后利用相似比可求出CD的长【详解】过P作PEx轴于E，交AB于M，如图，P(2，2)， A(0，1)， B(3，1)PM = 1， PE=2，AB= 3，AB/CD CD= 6，故选：C【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线，物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系10. 如图，正比例函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1当时，则x的取值范围是（ ）A. B. 或C. D
15、. 或【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出点的坐标，再结合函数图像即可得出答案【详解】解：反比例函数与正比例函数的图像均关于原点对称，A、B两点关于原点对称，又点A的横坐标为1，点B的横坐标为，由图像可知，当或时，故选：D【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想11. 如图，直线yx与双曲线y (k0，x0)交于点A，将直线yx向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y (k0，x0)交于点B，若OA3BC，则k的值为( )A. 3B. 6C. D. 【答案】D【解析】【详解】将直线y=x向上平移4个单位长度后，与
16、y轴交于点C，平移后直线的解析式为y=x+4，分别过点A、 B作ADx轴,BEx轴,CFBE于点F,设A(3x,x)，OA=3BC,BCOA,CFx轴，BCFAOD，CF=OD，点B直线y=x+4上，B(x, x+4)，点A. B在双曲线y=上，3xx=x(x+4)，解得x=1，k=311=.故选D.12. 如图，在菱形中，为中点，是上一点，为上一点，且，交于点，关于下列结论，正确序号的选项是（ ），A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依据，即可得到；依据，即可得出；过作于，依据，根据相似三角形的性质得到；依据，可得，进而得到【详解】解：菱形中，故正确；，又，为中点，即，又，故正
17、确；如图，过作于，则，中，又，故正确；，故错误；故选：B【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质的综合运用解题关键在于掌握判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用二、填空题（本大题共6个小题每小题4分，共24分把答案填在答题卡的横线上）13. 若4m7n，则_【答案】【解析】【分析】根据比例的性质即可求解【详解】解：4m7n， ，故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键14. 在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为_m.【
18、答案】24【解析】【详解】试题解析：设这栋建筑物的高度为 由题意得 解得： 即这栋建筑物的高度为 故答案为2415. 已知点、都是反比例函数图象上的点，且满足，则，的大小关系是_【答案】【解析】【分析】先判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论【详解】解：反比例函数中k=20，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，B（x2，y2），C（x3，y3）在第四象限，A（x1，y1）在第二象限，y1，y2，y3由小到大的顺序是y2y3y1故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键
19、16. 如图，一山坡的坡度，小明从A处爬到B处所走的直线距离AB10米，则他在垂直方向上升的高度CB为_米【答案】5【解析】【分析】根据山坡的坡度求出BAC，根据直角三角形的性质计算即可【详解】解：山坡的坡度i1：，tanBAC，BAC30，AB10，BCAB105（米），故答案为：5【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度i与坡角之间的关系为：itan是解题的关键17. 如图，在平面直角坐标系中，RtABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，ABO=90，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C若S四边形ABCD=10，则k的值为
20、 【答案】16【解析】【详解】OD=2AD，ABO=90，DCOB，ABDC，DCOABO，S四边形ABCD=10，SODC=8，OCCD=8，OCCD=16，k=16，故答案为1618. 如图，点A、B分别在x轴的正半轴和负半轴上，以AB为边在x轴的上方作正方形ABCD，正方形ABCD对角线的交点坐标为I（a，b），在正方形ABCD的内部作正方形OPMN，使得O、P、M、N分别落在AB、BC、CD、DA上，若双曲线经过点N和点I，则的值是_【答案】【解析】【分析】设A点坐标为（x，0），根据I点的坐标，结合正方形的性质可以求出D点的坐标，根据两个正方形的性质可以得到OA=DN，从而用含a，b
21、的代数式表示出N点的坐标，再通过I，N都在反比例函数上，横纵坐标乘积相等，即可求出【详解】解：设A点坐标为（x，0）正方形ABCD对角线的交点坐标为I（a，b），D点的坐标（x，2b）AD=AB=2b=2（x-a）x=a+b四边形ABCD、OPMN均为正方形. N点的坐标（a+b，b-a）ab=（a+b）（b-a）ab=两边同除以得： 解得：故答案为：【点睛】本题考查反比例函数和几何综合问题通过转化，用含a，b的代数式表示出N点的坐标是解题的关键三、解答题（本大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 计算：【答案】【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，然后先算乘
22、法，再算减法【详解】解：原式【点睛】本题考查二次根式的混合运算，特殊角三角函数值，掌握二次根式混合运算的顺序和计算法则，熟记特殊角三角函数值是解题关键20. 若，且x+2y+z=36，分别求x、y、z值【答案】x=6，y=9，z=12【解析】【分析】设=k，可得x=2k，y=3k，z=4k，然后代入x+2y+z=36中求出k的值，即可得出答案【详解】解：设=k，x=2k，y=3k，z=4k，代入x+2y+z=36得：2k+6k+4k=36，解得：k=3，所以x=6，y=9，z=12【点睛】设连等式等于一个常数，然后得到x，y，z与这个常数的关系式是解答本题的关键21. 如图，方格纸中每个小正方
23、形的边长均为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断ABC和DEF是否相似，并说明理由【答案】相似，理由见解析【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的长，再根据相似三角形的判定定理，即可求解【详解】解：ABC和DEF相似；理由如下：根据题意得：AB2，；，EF2，ABCDEF【点睛】本题主要考查了网格图与勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键22. 在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出ABC，使ABC与ABC位似，且相似比为2；（2）求出AB
24、C的面积【答案】（1）图见解析 （2）6【解析】分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A、B、C的坐标，然后描点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算ABC的面积【小问1详解】解：如图，ABC为所作；【小问2详解】ABC的面积442422246【点睛】本题考查了作图位似变换：熟练掌握以原点为位似中心的对应点的坐标的关系是解决问题的关键23. 如图，ABC的三个顶点都在平面直角坐标系的坐标轴上，BC6，边AB所在直线的表达式为yx2，求sinACB【答案】 【解析】【详解】分析：由直线AB的解析式求出OA，OB的长，进而求得OC，AC，在RtACO中，根据正弦的定
25、义求解.详解：直线AB的表达式为yx2，当y0时，x2，当x0时，y2，点A(0，2)，点B(2，0)，OA2，OB2，BC6，OCBCOB624，AC，sinC.点睛：求一个角的正弦，即是要求出这个角所在的三角形的斜边与这个角的邻边的比.24. 请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在ABC中，AD平分BAC，则下面是这个定理的部分证明过程证明：如图2，过点C作交BA的延长线于点E任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3，已知RtABC中，AB3，BC4，ABC90，AD平分BAC，求ABD的周长【答案】（1）见解析 （2）【解析
26、】【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得2=ACE，1=E，由1=2得ACE=E，所以AE=AC，于是有；（2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到ABD的周长【小问1详解】证明：如图2，过C作交BA的延长线于E，2ACE，1E，12，ACEE，AEAC，【小问2详解】解：如图3，AB3，BC4，ABC90，AD平分BAC，即，ABD的周长【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键25. 如图，过点C（8，6
27、）分别作CBx轴，CAy轴，垂足分别为点B和点A，点F是线段BC上一个动点，但不与点B、点C重合，反比例函数的图象过点F，与线段AC交于点E，连接EF（1）当点E是线段AC的中点时，求点F的坐标；（2）连接AB，试判断EF与AB的位置关系，并说明理由；（3）若的面积为6，求反比例函数的表达式，【答案】（1）F（8，3）； （2）EFAB，见解析 （3）反比例函数的解析式为【解析】【分析】（1）首先求出点E的坐标，从而得出k的值，即可求出点F的坐标；（2）通过计算tanCEF和tanCAB，从而得出CEF=CAB，即有EFAB；（3）根据CEF的面积为6，可得k的方程，从而解决问题【小问1详解】
28、解：点E是线段AC的中点，E（4，6），点E在反比例函数y=的图象上，k=xy=46=24，y=，当x=8时，y=3，F（8，3）；【小问2详解】解：EFAB，理由如下：CBx轴，CAy轴，AOB=90，四边形OACB是矩形，E、F都在反比例函数y=上，E（，6），F（8，），CE=，CF=，在RtCEF中，C=90，tanCEF=，在RtCAB中，C=90，tanCAB=，CEF=CAB，EFAB；【小问3详解】解：CEF的面积为6，CECF=6，=6，解得k1=24，k2=7248（舍去），反比例函数的解析式为y=【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐
29、标与图形的性质，平行线的判定，三角函数的定义等知识，利用三角函数证明CEF=CAB是解题的关键26. 已知点E在ABC内，ACBEDB60，AEB150，BEC90（1）当时（如图1），判断ABC的形状，并说明理由；求证：；（2）当时（如图2），的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值【答案】（1）ABC是等边三角形，理由见解析；EBD也是等边三角形，理由见解析 （2）结论不成立，理由见解析【解析】【分析】（1）由三角形ABC中有两个60而求得它为等边三角形；由EBD也是等边三角形，连接DC，证得ABECBD，在直角三角形中很容易证得结论（2）连接DC，证得ABCEBD，设BD=
30、x，在RtEBD中DE=2x，BE=，最后由相似比即得到比值【小问1详解】解：（1）判断：ABC是等边三角形理由如下：ABC=ACB=60BAC=180-ABC-ACB=60=ABC=ACBABC是等边三角形EBD也是等边三角形，理由如下：如图1，连接DC，则ABBC，BEBD，ABE60EBCCBDABECBD，AECD，AEBCDB150，EDC150BDE90，在RtEDC中，【小问2详解】解：如图2：连接DC，ABC=EBD=90，ACB=EDB=60ABCEBD，即又ABE=90-EBC=CBDABECBD，AEB=CDB=150，EDC=150-BDE=90，CED=BEC-BED
31、=90-（90-BDE）=60设BD=x在RtEBD中DE=2x，BE=在RtEDC中CD=DEtan60=2，即【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得ABECBD是解答本题的关键27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+b的图象经过点C(0，2)，与反比例函数（x0）的图象交于点A(1，a)（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）一次函数yx+b的图象与x轴交于B点，求ABO的面积；（3）设M是反比例函数（x0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形
32、是平行四边形，求点N的坐标【答案】（1）yx+2，；（2）3；（3）N(，+2)或(2+，)或(，2+)【解析】【分析】（1）将点C代入直线yx+b中求出b，进而得出直线AB的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论【详解】解：（1）点C（0，2）在直线yx+b上，b2，一次函数的表达式为yx+2；点A（1，a）在直线yx+2上，当 时，解得：a3，点A（1，3），点A（1，3）在反比例函数y（x0）的图象上，k133，反比例函数的表达式
33、为y；（2）在yx+2中，令y0，得x2，令x0，得y2，B（2，0），C（0，2），ABO的面积SAOC+SBOC；（3）由（2）知，直线AB的表达式为yx+2，反比例函数的表达式为y，设点M（m，），N（n，n+2），若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，则以OC和MN为对角线时，0，m，n或m（此时，点M不在第一象限，舍去），n，N（，+2），以CN和OM为对角线时，mn2+或mn2（此时，点M不在第一象限，舍去），N（2+，），以CM和ON为对角线时，mn或mn（此时，点M不在第一象限，舍去），N（，2+），即满足条件的点N的坐标为(，+2)或(2+，)或(，2+)【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合的综合题，求一次函数和反比例函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标，利用中点坐标公式建立方程组求解是解题的关键
