1、第第 13 章章 全等三角形全等三角形 13.1 13.1 命题、定理与证明命题、定理与证明 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 会区分命题的题设和结论，会判断真命题和假命题，会把命题改写为“如果那么的形式. 【过程与方法】 经历观察、分析、讨论的过程，得出可以用举反例的方法判断一个命题是假命题. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，及逻辑思维能力和推理能力. 【教学重点】 分清命题的题设和结论. 【教学难点】 将一个命题改写为“如果那么的形式. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 试判断下列句子是否正确？ （1） 两条直线相交，只有一个交点. （2）
2、内错角相等. （3） 直角都相等. （4） 如果 a2=b2，那么 a=b. 发现知识：依据所学知识可以判断（1）（3）是正确的，句子（2）（4）是错 误的，这几个句子的特点是可以判断一件事情的正确或错误，这样的句子就是命题. 二、二、探索新知探索新知 命题：判断正确或者错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题. 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. 例如： （1）你喜欢数学吗？ （2）做线段 AB=CD. 你能举出一些命题吗? 举出一些不是命题的语句. 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？ 1.猪有四只脚； 是 真命题 2
3、.三角形两边之和大于第三边； 是 真命题 3.画一条曲线； 不是 4.四边形都是正方形；是 假命题 5.你的作业做完了吗？ 不是 6.同位角相等，两直线平行；是 真命题 7.对顶角相等；是 真命题 8.多边形的内角和等于 180 度；是 假命题 9.过点 P 做线段 MN 的垂线.不是 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？ （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等； （2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； （3）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是长方形. 概括总结：概括总结： 命题是由题设（或条件）和结论两部分组成. 用“如果”
4、开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论. 例如，在命题（1）中，“两个三角形的三条边相等”是题设， “两个三角形全等”是结论. 三、三、掌握新知掌握新知 例例 将命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果那么”的形式，并分别指出命题的题设和结论. 解：解：这个命题可以写成：“如果一个三角形的三个角都相等,那么这个三角形是等边三角形”.这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”. 四、巩固练习四、巩固练习 命题一般都可以写成“如果,那么”的形式.你能在下面的命题都写成“如果,那么”的形式吗? (1) 熊猫没有翅膀； (2)对顶角相等； (3)全
5、等三角形的对应边相等； (4)平行四边形的对边相等. 答案：（1）如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.（2）如果两个角是对顶角，那么它们就相等；（3）如果两个三角形全等，那么它们的对应边就相等；（4）如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边就相等. 五、归纳小结五、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）命题：判断正确或错误的句子叫命题. 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题. （2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果那么”的形式. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 13.1 中选取. 第第 2 2 课时课时 教学目标教学目标 【知识
6、与技能】 公理、定理的概念和区别.理解证明的必要性. 【过程与方法】 结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识. 【情感态度】 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值. 【教学重点】 公理和定理的区别. 【教学难点】 理解证明的必要性. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 试判断下列句子是否正确 （1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； ( ) （2）两直线平行，同位角相等； ( ) （3）同旁内角相等，两直线平行； ( ) （4）平行四边形的对角线相等； ( ) （5）直角都相等 ( ) (6)三角形的内角和等于 180. ( )
7、(7)等腰三角形的两条腰长相等 . ( ) 二、二、探索新知探索新知 1.公理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理. 例如下列的真命题作为公理： （1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； （2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； （3）两点之间，线段最短 2.定理 数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是 正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 三角形的内角和等于 180，可以证明得到：直角三角形的两个锐角互余. 真命题分
8、类： 公理：是人们实践活动中总结出来的 定理：是通过证明得到的例如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据. 公理、定理、命题的关系： 三、三、巩固练习巩固练习 1.把下列定理改写成“如果.那么.”的形式，指出它们的条件和结论并用演绎推理证明所示的定理： （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）三角形的外角和等于 360. 2.判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由. 答案：1.(1)如果同旁内角互补,那么两条直线相互平行.因为不平行,这两条直线会在不远处相交；这样就构成
9、了一个三角形,同旁内角度数之和小于 180,不满足互补的定义.所以就只能平行了. 已知：EAB+AED=180. 求 证 ：CDAB. 证明：EAB+AED，AED+FED=180（已知）， EAB=FED（等式的性质）， CDAB（同位角相等，两直线平行） （2）如果三个角分别是一个三角形的三个外角，那么这三个角的和等于 360.条件：三个角分别是一个三角形的三个外角；结论：这三个角的和等于 360.三角形的三个内角和等于 180,如果三角形的外角和不等于 360的话,三角形的内角和等于 180就不成立了,违反了三角形的定义. 2.假命题. 四、归纳小结四、归纳小结 1.本节课要掌握： 命题
10、是对某一事件的判断,每个命题都由条件、结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.理解一个命题,首先要分清它的条件和结论. 命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 公理和定理都是真命题,但它们的来历却不同,前者来源于实践,后者通过推理论证得来的. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 13.1 中选取. 13.2 13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 理解三角形全等的概念和三角形的对应元素. 【过程与方法】 经历探索三角形全等条件的过程，体会如何探究、探索问题.
11、 【情感态度】 培养合作的精神，体验分类的思想；懂得如何提出问题，分类讨论，并为以后研究提出问题. 【教学重点】 三角形全等. 【教学难点】 三角形的对应元素. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 观察下面的图形，看看它们有什么特点？ 二、探索新知二、探索新知 探究 1 只给一个条件：一条边6BCcm，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？一个角30B ，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？ 探究 2 给出两个条件画三角形时， 有几种可能的情况？这两个三角形一定会全等吗？分别按照下面条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等. 三角形的两个内角
12、分别为 30和 70； 三角形的两条边分别为 3 cm 和 5 cm； 三角形的一个内角为 60，一条边为 3 cm. 你们在画图和同学比较过程中，你能得出什么结论？ 议一议：如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？ 探究 3 全等三角形的判定条件： 对两个三角形来说，六个元素（三条边，三个角）中至少要有三元素分别对应相等，两个三角形才可能全等. 三、巩固练习三、巩固练习 1.如图所示，1=2，B=D，ABC 翻折后与ADE 重合， 说明ABCADE，则下列结论正确的是（ ） AAB=AE BAC=ED CABC=AED DBAC=DAE 2.如图所示，若ABC 沿 AB 方向平
13、移得到ABC，则A=_， ABC=_，C=_，AB=_，AA=_，AC_ 答案：1.D 2.BAC ABC C AB BB AC 四、归纳小结四、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）能够完全重合的两个三角形是全等三角形，相互重合的顶点是对应顶点，相互重合的边是对应边，相互重合的角是对应角.全等三角形的对应边相等，对应角相等. （2）如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），这两个三角形不一定全等. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 13.2 中选取. 第第 2 2 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 使学生理解三角形全等的条件. 【过程与方法】
14、经历探索三角形全等判定的过程，进一步发展学生的图形认知能力. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际运算中的价值. 【教学重点】 三角形全等的概念理解及证明方法. 【教学难点】 边角边证明三角形全等. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 全等三角形的性质是什么？ 对应边相等；对应角相等. 如：ABCDEF,可以写出以下推理： ABCDEF（已知）， AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形对应边相等）, A=D ，B=E，C=F. （全等三角形对应角相等） 如果已知两个三角形有两边和一角对应相等时，应分为几种情
15、形讨论？ 二、探索新知二、探索新知 做一做：做一做：画ABC,使 AB=3cm，AC=4cm. 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？ 若再加一个条件，使A=45，画出ABC. 画法：画法： 1. 画线段 AB= 3cm; 2. 画MAB= 45; 3. 在射线 AM 上截取 AC=4cm; 4. 连结 BC. ABC 就是所求的三角形. 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？ 归纳总结归纳总结 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”. 用几何语言表达： 在ABC 与ABC中， AB=
16、AB，B=B，BC=BC ABCABC（SAS）. 探究探究 如图， 在ABC 和 DEF 中， AB=DE=3 ， B= E=30 ， BC=EF=5 ,它们完全重合吗？ABC DEF吗 ？为什么? 它们完全重合,即ABC DEF .根据边角边. 三、掌握新知三、掌握新知 例例 1 1 已知：如图,AB=CD,1=2 ,ABC 和CDA 全等吗？为什么? 解解: :在 ABC 和 CDA 中, AB=CD(已知) ， 1=2(已知) ， AC=BCA(公共边)， ABC CDA(SAS). 例例 2 2 如图 AC 与 BD 相交于点 O，已知 OA=OC，OB=OD，说明AOBCOD 的理
17、由. 解：解：在AOB 和COD 中， OA=OC（已知）， AOB=COD(对顶角相等）， OB=OD(已知)， AOBCOD(SAS). 总结：总结： 证明的书写步骤： 1.准备条件：证全等时要用的条件 要先证好； 2.三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件(注意:按定理名称的顺序书写) 写出全等结论 四、巩固练习四、巩固练习 1.已知：如图，ADBC,AD=BC,AE=CF.求证： AFDCEB. 2.已知：如图，AB=AC,AD=AE, 1=2.求证：ABDACE. 答案：1.证明:AE=CF， AE+EF=CF+EF 即 AF=CE. ADBC， A=C(两直线平
18、行,内错角相等). 在AFD 和CEB 中， AD=CB（已知）， A=C(已证）， AF=CE(已证)， AFDCEB(SAS). 2.证明：1=2（已知）， 1+BAE=2+BAE, 即CAE=BAD. 在ABD 和ACE 中， AB=AC（已知）， CAE=BAD(已证）， AD=AE(已知)， ABDACE(SAS). 五、归纳小结五、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (边角边或 SAS). （2）当两个三角形有两边和一角对应相等时不一定全等. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 13.2
19、中选取. 第第 3 3 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 1.角边角、角角边. 2.注意角角边、角边角中两角与边的区别. 【过程与方法】 经历探索三角形全等的判定过程，进一步发展学生的图形判断能力. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际运算中的价值. 【教学重点】 进一步学会用推理证明. 【教学难点】 角角边、角边角中两角与边的区别. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 什么是全等三角形？ 判定两个三角形全等要具备什么条件? 边角边（有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.） 一张教学用的三角形硬纸板不
20、小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？ 二、二、探索新知探索新知 探究探究 1 1 先任意画出一个ABC，再画一个ABC/，使 AB=AB，A =A，B =B 把画好的ABC/剪下，放到ABC 上，它们全等吗？ 归纳总结归纳总结 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 用几何语言表示： 在ABC 和ABC中， A=A ， AB=AB， B=B， ABCABC（ASA）. 探究探究 2 2 在ABC 和DEF 中，A=D，B=E ，BC=EF，ABC 与DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ 归纳总结归纳总
21、结 有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）. 用几何语言表示： 在ABC 和ABC中， A=A， B=B， BC=BC， ABCABC（AAS）. 三、三、掌握新知掌握新知 例例 1 1 已知：点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 CD 相交于点 O，AB=AC，B=C. 求证： ABEACD. 证明：在ABE 和ACD 中， A=A（公共角）， AB=AC（已知）， B=C（已知）， ABEACD(ASA). 例例 2 2 如图，1=2，3=4.求证：AC=AB. 证明： 3=4（已知）， ADB=ADC（等角的补角相等）. 在ABD 和
22、ACD 中， 1=2（已知）， AD=AD（公共边）， ADB=ADC（已证）， ABEACD(ASA). AC=AB(全等三角形对应角相等). 四、巩固练习四、巩固练习 1.如图，应填什么就有 AOC BOD? A=B（已知）, （已知） , C=D （已知）, ADCBOD（ ）. 2.如图,ABBC, ADDC, 1=2.求证 AB=AD. 答案：1.AC=BD ASA 2.证明：ABBC, ADDC，ABC=ADC=90.1=2，AC=AC，ABCADC.AB=AD. 五、归纳小结五、归纳小结 1.本节课要掌握： （1）角边角、角角边. （2）注意角角边、角边角中两角与边的区别. （3
23、）会根据已知两角和一边画三角形. （4）进一步学会用推理证明. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 布置作业布置作业 从教材习题 13.2 中选取. 第第 4 4 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 1.掌握边边边证明三角形全等的方法. 2.注意角角边、角边角与边边边的区别. 【过程与方法】 经历探索三角形全等的判定过程，进一步发展学生的图形判断能力. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际运算中的价值. 【教学重点】 进一步学会用推理证明. 【教学难点】 边边边证明三角形全等. 教学过程教学过程 一、一、复习导
24、入复习导入 1.判断两个三角形全等的方法有几种? （1）根据定义; （2）公理:SAS、ASA; （3）定理:AAS. 2.如图，已知 AC=DB，ACB=DBC，则有ABCDCB ，理由是 SAS ， 且有ABC=DCB，AB= DC ； 3.如图，已知 AD 平分BAC，想要使ABDACD， (1)根据“SAS”需添加条件 AB=AC ； (2)根据“ASA”需添加条件 BDA=CDA ； (3)根据“AAS”需添加条件 B=C ； 二、探索新知探索新知 若两个三角形有三个角对应相等，那么这两个三角形是否全等？ 画ABC,其中A=50,B=60, C=70. 三个角对应相等的两个三角形不一
25、定全等. 已知三条线段 a、b、c，以这三条线段为边画一个三角形. 1.画一线段 AB 使它的长度等于 c(4.5 cm). 2.以点 A 为圆心,以线段 b(3cm)的长为半径画圆弧;以点 B 为圆心,以线段 a(4cm)的长为半径画圆弧;两弧交于点 C. 3.连结 AC、BC. ABC 即为所求. 把你画的三角形与其他同学画的三角形相比较，他们全等吗？ 归纳总结归纳总结 如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS”. 用几何语言叙述为: 在ABC 和DEF 中， AB=DE， BC=EF， CA=FD， ABCDEF(SSS). 探究探究 1 1： 如图
26、，在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=CB，试说明ABC CDA. (1) B=D ; (2) ABCD ； (3) ADBC ; (4)你还能得到什么结论？ 归纳总结归纳总结 判定三角形全等时最少有几组边对应相等?最多有几组边? 判定三角形全等时最少有几组角对应相等?最多有几组角? 三、掌握新知三、掌握新知 例例 如图，AC、BD 相交于点 O，且 AB=DC，AC=BD.求证：A=D. 证明：连结 BC.在ABC 和DCB 中，AB=DC，AC=DB，BC=CB，ABC DCB.A=D. 四、巩固练习四、巩固练习 1.如图，在ABC 中，AB=AC，E、F 分别为 AB、AC 上的点
27、，且 AE=AF，BF 与 CE 相交于点 O.图中有哪些全等的三角形？ 2.如图， 1= 2，要使 ABC DCB，需增加的一个条件是_. 答案：1.ABFACE（SAS） EBCFCB（SSS） EBOFCO（AAS） 2.ABC=DCB(ASA) A=D(AAS) AC=DB(SAS) 五、归纳小结五、归纳小结 1.通过本节课的学习，你又知道了哪些判定三角形全等的方法？ 2.我们已经掌握了哪些判定三角形全等的方法？ 布置作业布置作业 从教材习 13.2 题中选取. 第第 5 5 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 斜边直角边. 【过程与方法】 经历探索直角三角形全等的判定过程，进
28、一步发展学生的图形判断能力. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际运算中的价值. 【教学重点】 进一步学会用推理证明. 【教学难点】 斜边直角边证明直角三角形全等. 教学过程教学过程 一、复习导入一、复习导入 1.判定两个三角形全等方法，SSS ， ASA，AAS ， SAS . 2.在ABC 和DEF 中，ABC=DEF=90. （1）若 A= D，AB=DE，则 ABC 与 DEF 全等_, （填“全等”或“不全等”）根据_ASA_. （2）若 A= D，BC=EF，则 ABC 与 DEF 全等_ （填“全等”或“不全
29、等”）根据 AAS_. （3）若 AB=DE，BC=EF，则 ABC 与DEF 全等（填“全等”或“不全等”）根据_SAS_ （4）若 AB=DE，BC=EF，AC=DF 则ABC 与DEF 全等（填“全等”或“不全等”）, 根据_SSS_ 二、二、探索新知探索新知 已知线段 a=4cm、c=5cm,利用尺规作一个 RtABC,使C=90o ，CB=a，AB=c. 按照下面的步骤做： 作MCN=90; 在射线 CM 上截取线段 CB=a; 以 B 为圆心,C 为半径画弧，交射线 CN 于点 A; 连结 AB. C M N B C M N B A C M N BA ABC 就是所求作的三角形.
30、剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？ 归纳总结归纳总结 如 果 两 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 分 别 对 应 相 等 , 那 么 这 两 个 直 角 三 角 形 全 等 . 简写成“斜边直角边”或“H.L.”. 用几何语言表示： 在 RtABC 和 RtABC中, AB=AB, BC=BC, RtABCRtABC(H.L.). 想一想想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有特殊的判定方法“H.L.”. 三、三、掌握新知掌握新知
31、例例 1 1 已知：如图,在ABC 和ABD 中，ACBC, ADBD,垂足分别为 C,D,AD=BC. 求证:ABCBAD. 证明: ACBC,ADBD(已知）， C=D=90. 在 RtABC 和 RtBAD 中， AB=BA(已知), BC=AD(公共边), RtABCRtBAD（H.L.). 例例 2 2 已知ABC 中，AB=AC,ADBC,试用全等识别法说明 AD 平分BAC. 证明:ADBC, ADB=ADC=90. 在 RtABD 和 RtACD 中, AB=AC, AD=AD, RtABDRtACD（H.L.). BAD=CAD, 即 AD 平分BAC. 例例 3 3 已知：
32、如图ABC 中，BDAC，CEAB，BD、CE 交于 O 点，且 BD=CE.求证：1= 2. 证明：BDAC，CEAB BDC=CED=90. 在 RtBCD 和 RtCBE 中， BC=CB ，BD=CE， RtBCDRtCBE. 1=2. 四、巩固练习四、巩固练习 1.如图，AC=AD，C，D 是直角，你能说明 BC 与 BD 相等吗？ 2.如图，两根长度为 12 米的绳子，一端系在旗杆上同一处，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角AB
33、C 和DFE 的大小有什么关系？ 答案：1.在 RtACB 和 RtADB 中, AB=AB， AC=AD. RtACBRtADB (HL). BC=BD(全等三角形对应边相等). 2.BD=CD. ADB=ADC=90， AB=AC， AD=AD， RtABDRtACD(HL). BD=CD. 3.在 RtABC 和 RtDEF 中, BC=EF, AC=DF . RtABCRtDEF (HL). ABC=DEF(全等三角形对应角相等). DEF+DFE=90, ABC+DFE=90. 五、归纳小结五、归纳小结 1.通过本节课的学习，你知道了哪些判定直角三角形全等的方法？ 2.我们已经掌握了
34、哪些判定三角形全等的方法？ 布置作业布置作业 从教材习题 13.2 中选取. 13.313.3 等腰三角形等腰三角形 教学目标教学目标 【知识与技能】 使学生理解等腰三角形的定义、性质及判定. 【过程与方法】 经历探索等腰三角形的过程，进一步发展学生的图形认知能力. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际运算中的价值. 【教学重点】 等腰三角形的判定. 【教学难点】 等腰三角形的判定运用. 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 小学时，我们已经认识了等腰三角形，等腰三角形是怎样定义的呢？ （有两条边相等的三角形,叫做等
35、腰三角形.） 今天我们就来探究等腰三角形有哪些性质？ 二、探索新知二、探索新知 等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) . 几何语言：AB=AC(已知)， B=C (等边对等角) . 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”)，它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴. 如图，在ABC 中， AB=AC 时， (1) ADBC，BAD= _CAD，BD= CD. (2) AD 是中线，AD_BC ，BAD =CAD. (3) AD 是角平分线，_AD _BC，BD =CD_. 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60.
36、对于命题等腰三角形的两个底角相等.请先把它改写成如果那么的形式,然后说出它的逆命题. 如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等. 逆命题: 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. 它是真命题吗? 操作一：请在纸上任意画线段 BC，分别以点 B 和点 C 为顶点，在 BC 的同侧画两个相等的角，两角的终边相交于点 A. 此时ABC 中，保证了什么条件成立？ 操作二：量一量，线段 AB 与 AC 的长度. 你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. （1）已知什么？需要说明的结论是什么？ （2）要说明两
37、条边相等，我们已经有哪些经验？ （3）怎样添加一条辅助线，把ABC 分成两个全等的三角形？ （4）添加顶角的平分线 AD，你能说明ABD 与ACD 全等吗？根据什么？ 探究探究 1 1： 已知：如图,在ABC 中，B=C.求证：AB=AC. 证明:作BAC 的平分线 AD,则1=2. 在BAD 和CAD 中, B=C ( 已知 )， 1=2 ( 已作 )， AD=AD (公共边)， BAD CAD (AAS). AB= AC (全等三角形的对应边相等). 总结总结 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 几何语言： B =C (已知) AB=AC(等角
38、对等边) 思考： 除了作BAC 的平分线外，还可以有哪些作辅助线的方法？ 探究探究 2 2： 如果三角形一个角的外角的角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗？为什么？ 解：CAM 是ABC 的外角，ADBC， 1=B, 2=C. AD 平分CAM, 1=2. B=C. AB=AC，即ABC 是等腰三角形. 三、掌握新知三、掌握新知 例例 如图,上午 10 时， 一条船从 A 处出发以每小时 20 海里的速度向正北航行，中午 12 时到达 B 处，从 A、B 望灯塔 C，测得NAC=40， NBC=80求从 B 处到灯塔 C 的距离. 解：NBC=A+C, C=80- 40=
39、 40 . BA=BC（等角对等边）. AB=20（12-10）=40, BC=40. 答：从 B 处到灯塔 C 的距离为 40 海里. 由上述等腰三角形的判定定理，我们还可以得到等边三角形的两个判定定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形. 四、巩固练习四、巩固练习 1.如图，A=36，DBC=36，C=72.分别计算1、2 的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. 2、如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？ 3.如图，AC 和 BD 相交于点 O，且 ABDC，OA=OB. 求证：OC=OD. 4.已知：如图，CD 是等腰直
40、角三角形 ABC 斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形. 5.已知：如图，AD BC，BD 平分ABC.求证：AB=AD. 答案：1.1=72，2=36 2.是 3.AC 和 BD 相交于点 O，且 ABDC，ODC=OBA,OCD=OAB. OA=OB，OBA=OAB.CDO=DCO.OC=OD. 4.等腰三角形有：ABC，ABD， BCD. 等腰直角三角形有： ABC ，ACD ，BCD. 5. AD BC， ADB=DBC. BD 平分ABC， ABD=DBC. ABD=ADB. AB=AD. 五、归纳小结五、归纳小结 运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中. 思考：思考
41、： 下例各说法对吗？为什么？ 1.等腰三角形两底角的平分线相等. 2.等腰三角形两腰上的中线相等. 3.等腰三角形两腰上的高相等. 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法. 布置作业布置作业 从教材习题 13.3 中选取. 13.4 13.4 尺规作图尺规作图 教学目标教学目标 【知识与技能】 使学生理解尺规作图的概念，掌握尺规作图的方法，并熟练地应用尺规作图. 【过程与方法】 经历探索尺规作图的过程，进一步发展学生的推理能力. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际运算中的价值. 【教学重点】 理解尺规作图的概念，掌握尺
42、规作图的方法. 【教学难点】 应用尺规作图. 教学过程教学过程 一、一、情境导入情境导入 以前，我们是怎样画一条线段等于已知线段、画一个角等于已知角的？ 二、探索新知二、探索新知 在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.其中,直尺是没有刻度的. 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 下面介绍几种基本作图: 1.作一条线段等于已知线段 利用直尺和圆规可以作出很多几何图形，你想知道我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？ 已知：线段 AB 求作：线段 A B，使 A BAB 作法与示范： 2.作一个角等于已知角 已知： AOB. 求
43、作： AOB 使AOB=AOB. 3.作已知角的平分线 已知： AOB. 求作：射线 OC，使 AOC= BOC. 作法： 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧分别交 OA、OB 于点 D、E. 分别以 D、E 为圆心、大于 DE 的一半的长为半径画弧，在AOB 内两弧交于点 C. 作射线 OC. 射线 OC 即为所求. 4.经过一已知点作已知直线的垂线 (1)如图，点 C 在直线 l 上，试过点 C 画出直线 l 的垂线 作法： 以点 C 为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线 l 于点 A、B； 以点 A 、B 为圆心,以大于 CB 长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点 D； 经过点 C、D
44、作直线 CD 直线 CD 即为所求 (2)如图，如果点 C 不在直线 l 上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点 C 画出直线 l 的垂线？ 作法： 以点 C 为圆心，以适当长为半径画弧，交直线 l 于点 A、B； 分别以点 A、B 为圆心，以 CB 长为半径在直线另一侧画弧，两弧于点 D 经过点 C、D 作直线 CD 直线 CD 即为所求 5.作已知线段的垂直平分线 已知：线段 AB. 求作：作直线 CD 交 AB 于 O，使 CDAB,且 AO=BO. 作法： 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 一半的长为半径画弧，两弧的交于点 C、D. 连结 CD. 则 CD 是线段 AB 的垂直
45、平分线 三、三、巩固练习巩固练习 1.任意画一个钝角，并作出它的平分线. 2.已知：直线 AB 及直线 AB 外一点 C； 求作：过点 C 作 CDAB. (提示：过点任作一条直线 l，交 AB 于点 E,在点 C 作CEB 的同位角(或内错角).使它等于CEB) 答案：略. 四、归纳总结四、归纳总结 通过本节学习，应理解一些作图语句. 过点*作直线；或作直线*，射线*. 连结两点*、*；或连结*; 在 xx 上截取*=*; 以点*为圆心，*为半径作圆（弧）；(交*于*点；) 分别以点*，点*为圆心，以 xx 为半径作弧，两弧相交于 x 点. 布置作业布置作业 从教材习题 13.4 中选取.
46、13.5 13.5 逆命题与逆定理逆命题与逆定理 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 【知识与技能】 使学生理解逆命题、逆定理的概念,能写出一个命题的逆命题,在证明假命题时会用举反例说明. 【过程与方法】 经历探索互逆命题与互逆定理的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力. 【情感态度】 培养学生合作探究能力，概括能力，体会数形结合的思想，认识一般与特殊之间的联系以及特殊问题在实际运算中的价值. 【教学重点】 对逆命题、逆定理的概念的理解. 【教学难点】 能写出一个命题的逆命题,在证明假命题时会用举反例说明. 教学过程教学过程 一、复习导入一、复习导入 1.命题的概念： 可以判断正确或错
47、误的句子叫做命题. 例如：两直线平行,内错角相等； 内错角相等,两直线平行；都是命题. 注意：问句和几何作法不是命题. 2.命题都有两部分：条件和结论 二、探索新二、探索新知知 说出下列命题的条件和结论： 1.两直线平行,内错角相等； 2.内错角相等,两直线平行； 3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎； 5.平行四边形的对角线互相平分； 6.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 观察上面三组命题,你发现了什么? 归纳总结归纳总结 上面两个命题的条条件和结论结论恰好互换互换了位置 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命
48、题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题逆命题. 命题“两直线平行，内错角相等”的条件为两直线平行；结论为内错角相等 因此它的逆命题为内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行. . 探究探究 1 1 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题. 1.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 2.等边三角形的每个角都等于 60 条件：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个
49、角都等于 60. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于 60，那么这个三角形是等边三角形. 3.全等三角形的对应角相等. 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. 4.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 条件：一个点到一个角的两边距离相等. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等. 5.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 条件：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
50、 归纳总结归纳总结 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题 但是原命题正确， 它的逆命题未必正确 例如真命题 “对顶角相等” 的逆命题为 “相等的角是对顶角” ，此命题就是假命题 探究探究 2 2 举例说明下列命题的逆命题是假命题. （1）如果一个整数的个位数字是 5 ，那么这个整数 能被 5 整除. 逆命题：如果一个整数能被 5 整除，那么这个整数的个位数字是 5. 例如 10 能 5 整除，但它的个位数是 0. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如 60= 60，但这两个角不是直
