1、 2022年中考数学复习专题33：函数与方程思想一、概念及其典型例题（一）备用知识1函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，xD，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)，xD的零点(2)函数的零点与方程根的联系：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的横坐标，所以方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这
2、个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210注1(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)0的实根(2)零点一定在定义域内注2函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件（二）典型例题【例1】函数f(x)2xx32在区间(0, 1)内零点的个数是()A0B1C2D3解析方法一(通法)函数f(x)2xx32在区间(0, 1
3、)内零点的个数即为y12x2与y2x3的图象在区间(0, 1)内的交点个数. 作图可知在(0，)内最多有一个交点，故排除C、D项；当x0时，y11 y20，当x1时，y10 y21，因此在区间(0, 1)内一定会有一个交点，所以A项错误方法二(优美解)因为f(0)1021，f(1)21321，故f(0)f(1)0，又函数f(x)在(0, 1)内单调，故f(x)在区间(0, 1)内零点的个数是1【例2】函数f(x)cos x在0，)内()A没有零点B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点D有无穷多个零点解析当x时，因为f(x)sin x，0，sin x0，所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增
4、，且f(0)10，f(1)1cos 10，所以f(x)在0,1内有唯一零点当x1时，f(x)cos x0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点【例3】已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0B1C2D3解析解方程法：令f(x)3x0，则或解得x0或x1，所以函数yf(x)3x的零点个数是2【例4】设函数f(x)xln x，则函数yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析法一：(图象法)令f(x)0得xln x作出函数yx和yln x的图象，如图，显然yf(
5、x)在内无零点，在(1，e)内有零点法二：(定理法)当x时，函数图象是连续的，且f(x)0，所以函数f(x)在上单调递减又f10，f(1)0，f(e)e10，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内【例5】已知函数f(x)logaxxb(a0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_解析对于函数ylogax，当x2时，可得y1，当x3时，可得y1，在同一坐标系中画出函数ylogax，yxb的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，函数f(x)的零点x0(n，n1)时，n2【例6】(1)若函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(
6、2，)B2，) C D解析由题意知方程axx21在上有实数解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是(2)(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A1,0)B0，)C1，)D1，)解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意当yxa
7、在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)【例7】若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足即解得m 小结：函数零点应用问题的类型与解题策略看个性考向(一)是根据函数零点的个数及零点存在情况求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解考向(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围找共性根据函数零点求参数范围的
8、一般步骤为：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况(2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.二、应用类型【一】点坐标代入函数(方程)法1.点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题破解此类题的关键点：点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式解含参方程，求解关于参数的方程或不等式检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验2.应
9、用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义1.例题【例1】函数yax (a0，且a1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为()A2 B3 C2或 D.【解析】因为函数yax(a0，且a1)的反函数为ylogax(a0，且a1)，且ylogax的图象过点(，a)，所以aloga，所以aa，所以a，检验易知当a时，函数有意义故选D.答案D2.巩固提升综合练习【练习1】函数ylogax(a0，且a1)的反函数的图象过点(a，)，则a的值为_答案【解析】因为函数ylogax(a0，且a1)的反函数yax(a0，且a1)的图象过点(a，)，所以aa，即
10、aaa，所以a.经检验知a符合要求【二】平面向量问题的函数(方程)法1.平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题破解此类题的关键点：向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)；代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题；得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论2.平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程
11、思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式1.例题来源:Zxxk.Com【例1】已知a，b，c为平面上的三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|3，ca2，cb1，则对于任意实数x，y，|cxayb|的最小值为_解析 由题意可知，所以当且仅当时，【例2】直线与平行四边形中的两边、分别交于，且交其对角线于，若，则（ ）A2 B C.3 D5【答案】D【解析】由平行四边形法则，知，所以，又三点共线，所以，解得，故选D2.巩固提升综合练习【练习1】已知e1，e2是平面上两相互垂直的单位向量，若平面向量b满足|b|2，be11，be21，则对于任意x，yR，|b(xe
12、1ye2)|的最小值为_答案【解析】|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e222x2y22x2y(x1)2(y1)222，当且仅当x1，y1时，|b(xe1ye2)|2取得最小值，此时|b(xe1ye2)|取得最小值.【练习2】如图，在平行四边形中，分别为，上的点，且，连接，交于点，若，则的值为（ ）A B C. D【答案】D【解析】因为，又，所以，而三点共线，故选D. 【练习3】已知在半径为2的扇形AOB中，AOB120，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且，则的最大值为_【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0,0)，A(2,0)，C，则(2,0
13、)，设P(2cos ，2sin )，则(2,0)(2cos ，2sin )，即解得则sin cos sin()，其中tan ，据此可知，当sin()1时，取得最大值.【三】不等式恒成立与存在性问题函数(方程)法含参不等式恒成立与存在性问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恒成立问题与转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法破解此类题的关键点：灵活转化：（1）“关于的不等式在区间上恒成立”转化为“”；“关于的不等式在区间上恒成立”转化为“”；（2）“关于存在使得不等式成立”转化为“”；“关于存在使得不等式成立”转化为“”；求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域；得出结论
14、，列出参数所满足的方程，通过解方程，求出的值1.例题【例1】若，恒成立，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设,则，原不等式等价于恒成立，设，则，零点为,在，函数y的最小值为1，故，零点是 在上单调递增，故，故.故答案为：C【例2】已知,若存在,使得,求实数的取值范围；【答案】【解析】在上都是增函数,所以的值域的值域.若存在,使得,则,即4,所以.实数的取值围是.【例3】已知,若存在,使得,求实数的取值范围.【答案】【解析】在上都是增函数,所以的值域的值域.(1) 若存在,使得,则,即4,所以.(2)若存在使得,则,且,实数的取值围是.【例4】已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒
15、成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题设可得，则原不等式可化为，即，也即在上恒成立，由于，因此，令，则，所以当时，函数单调递减，因，故函数在上单调递减，故，当时，函数，所以，应选答案D.2.巩固提升综合练习【练习1】已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，则x的取值范围是_.解析：因为t，8，所以，不等式x2mx42m4x恒成立，即（x-2）2m(x-2)0恒成立当x=2时，不等式不成立，所以x2,令g(m)=(x-2)2m(x-2),解的x2或x-1【练习2】若x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的
16、取值范围是_.答案6，2【解析】当2x0时，不等式转化为a.令f(x)(2x0)，则f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有af(x)minf(1)2.当x0时，不等式恒成立.当00在(2，)上恒成立，则a的取值范围为_答案1,3【解析】关于x的不等式x1a22a0在(2，)上恰成立函数f(x)x在(2，)上的值域为(a22a1，)由f(x)x，x(2，)，可得f(x)10，所以f(x)x在(2，)上为单调递增函数，所以f(x)f(2)4.又关于x的不等式xa22a1在(2，)上恒成立，所以a22a14，解得1a0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，又可设
17、A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.【例2】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则的面积的最小值为( )A B CD【答案】B【解析】由题可设直线的方程为，代入，消去可得，设，则，所以的面积 ，所以的面积的最小值为本题选择B选项.【例3】已知双曲线的左右焦点分别为, 为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设，渐近线方程为
18、，对称点为，即有，且，解得，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有e2=5，解得，故选C2.巩固提升综合练习【练习1】如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.答案B【解析】因为PAQ60，|AP|AQ|，所以|AP|AQ|PQ|，设|AQ|2R，又3，则|OP|PQ|R.双曲线C的渐近线方程是yx，A(a，0)，所以点A到直线yx的距离d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得，|OA|2|OQ|2|QA
19、|22|OQ|QA|cos 60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以双曲线C的离心率为e.【练习2】设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若6，则k的值为_.答案或【解析】依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10，即k24.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P(x1，y1)由根与系数的关系，得直线PQ的方程为y(xx1)y1，令y0，得x，将代入上式得x1，即T(1,0)，
20、所以|ST|3，所以SPQT|SSTQSSTP|ST|y1y2|，当且仅当k2，即k时取等号故所求直线l的方程为xy4或xy4.答案xy4或xy4【练习5】椭圆C1：1和圆C2：x2(y1)2r2 (r0)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是_答案(0,1)【解析】方法一联立C1和C2的方程，消去x，得到关于y的方程y22y10r20，方程可变形为r2y22y10，把r2y22y10看作关于y的函数由椭圆C1可知，2y2，因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y2,2的情况下，求函数r2f(y)y22y10的值域由f(2)1，f(2)9，f，可得f(y)的值域是r2
21、，即r，它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1).方法二 联立和的方程消去x，得到关于的方程 两条曲线没有公共点，等价于方程没 实根或有两个根不在-2，2范围内，若没有是跟，则若两个根y1，y22,2，设(y)y22y10r2，其图象的对称轴方程为y2,2则又r0，解得0r0， 设Snf(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n12对称，故Sn取最小值时n的值为12.【例3】设等差数列的前项和为，若，S63，则的最小值为_.答案9【解析】由解得a12，d1，所以Sn ，故nSn.令f(x
22、)，则f(x)x25x，令f(x)0，得x0或x， f(x)在上单调递减，在上单调递增.又n是正整数，故当n3时，nSn取得最小值9.2.巩固提升综合练习【练习1】已知在数列中，前项和为，且，则的最大值为()A.3 B.1 C.3 D.1答案C【解析】当n2时，Snan，Sn1an1，两式作差可得ananan1，即1.由函数y1在(1，)上是减函数，可得在n2时取得最大值3.【练习2】已知函数，若数列满足，则（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意，则，故数列从第三项起构成周期数列，周期为3，故.故选D.【练习3】已知数列是等差数列，且，若，则（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意，
23、根据等差数列的性质可知，因为，则，又由，则，所以，同理，所以，故选A.【练习4】已知等差数列的公差，且成等比数列，若， 为数列的前项和，则 的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】 成等比数列， 解得d=2 当且仅当 时即时取等号，且取到最小值4，故选：A三、课后自我检测1.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C. D【答案】A来源:Zxxk.Com【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，由，代入椭圆方程可得，可设，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由，即有，解得，故应选A.2.我们
24、把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )ABCD2【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，设， ，则，当点P被看作是椭圆上的点时，有，当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，两式联立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即双曲线的离心率为，故选A3.已知数列为等差数列，其前项和为，且若存在最大值，则满足的的最大值为 【答案】19【解析】因为有最大值，则数列单调递减又，则，且所以，故的最大值为19.
25、4.已知椭圆：，点，分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点，若，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【答案】A【解析】设椭圆的右焦点为，由题意得，因为，且,所以，所以,所以，即，解得，故选A5.已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知得，所以数列为首项为，公差为的等差数列，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.6.若等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_【答案】64【解析】设等比数列的公比为q(q0)，由得，解得.所以a1a2anaq12(n1)8n()2n2n，于是当n3或n4时，a1a2an取得最大值2664.7.若对
26、于任意a1，1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是_【答案】(，1)(3，)【解析】由题意，令f(x)x2(a4)x42a，即f(a)(x2)ax24x4，且对于任意a1，1，有f(a)恒大于零，因为f(a)是单调的一次函数，则，化简得，解得x3，故x的取值范围为(，1)(3，)8.若对x(，1，不等式(m2m)2x1恒成立，则实数m的取值范围是_【解析】不等式(m2m)2x1恒成立，等价于m2mm2mmin，构造函数f(x)，利用换元法，令t，则yt2t，x(，1，t2，)，yt2t的最小值为6，m2m6m2m602m3，所以实数m的取值范围是2m3.9.已知向量
27、a(，1)，b(2,1)，若|ab|ab|，则实数的值为()A1 B2 C1 D2【解析】法一：由|ab|ab|，可得a2b22aba2b22ab，所以ab0，故ab(，1)(2,1)2210，解得1.法二：ab(22,2)，ab(2,0)，由|ab|ab|，可得(22)244，解得1.10.已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C D【解析】n(tmn)，n(tmn)0，即tmn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20.又4|m|3|n|，t|n|2|n|20，解得t4.故选B答案B11.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，
28、B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值【解析】(1)依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即当k时，上式取等号所以S的最大值为2.即四边形AEBF面积的最大值为2.12.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）AB CD【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，则.当时，即恒成立，令，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，则时，取得最小值，综上可知，的取值范围是.【答案】C13.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令.由题意知存在唯一整数，使得在直线的下方.，当时，函数单调递减，当，函数单调递增，当时，函数取得最小值为.当时，当时，直线过定点，斜率为，故且，解得.【答案】D
