1、2022年中考数学复习专题28：极坐标与参数方程的概念一、参数方程与普通方程的互化1参数方程的概念：设在平面上取定一个直角坐标系，把坐标表示为第三个变量的函数： ， 如果对于的每一个值()，式所确定的点都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点，都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中称为参数2参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性要注意方程中的参数的变化范围3直线、圆、椭圆的参数
2、方程：（1）经过一定点，倾斜角为 的直线的参数方程为：(为参数)；（2）直线参数方程的一般形式为（为参数）；（3）圆的参数方程为( 为参数)；（5）椭圆的参数方程为(，为参数)1.例题【例1】 在直角坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求的参数方程和的普通方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值.【解析】（1）由曲线的方程为，得曲线的参数方程为（为参数），由曲线的参数方程为（为参数），得曲线的普通方程为.（2）设，点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值，因为，其中，当时，的最小值为1，此时.【例2】已知直线, 曲线(1)设与相交于两点,求；(2)若把曲线上各点的横坐
3、标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值【解析】（1）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,则. （2） 的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.2.巩固提升综合练习【练习1】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率【解析】（1）曲线的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线截直线所得线段的
4、中点在内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线的斜率【练习2】在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的普通方程和曲线的参数方程.(2)求曲线上的点到直线的最短距离.【解析】(1)消去参数,得直线的普通方程为,由,可得,所以,整理得,所以曲线的参数方程为(为参数).(2)由(1)得,所以圆心到直线的距离,所以曲线上的点到直线的最短距离为.二、极坐标方程与直角坐标方程的互化1极坐标系的概念：在平面内取一个定点，点出发的一条射线，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系
5、称为极点，称为极轴设是平面内任意一点，极点与点的距离叫做点的极径，记作；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记作 ，有序数对叫做点的极坐标一般情况下，约定2极坐标系与直角坐标系的互化：直角坐标化极坐标：， ；极坐标化直角坐标：，1.例题【例1】极坐标系中，曲线C的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；（2）若曲线C上恰有四个不同的点到直线l的距离等于1，求实数a的取值范围【解析】（1）依题意，代入公式，得曲线C的直角坐标方程为，由直线的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为；（2）依
6、题意可得，圆心O到直线l：的距离，所以，解得故实数a的取值范围为【例2】 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且，求面积的最大值.【解析】（1）可知曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为，即.（2）由（1）不妨设，所以面积的最大值为4.2.巩固提升综合练习【练习1】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，在曲线上，求的最小值.【解析】（1）由消去得，因为，由直
7、角坐标与极坐标的转化公式可得.所以曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知的圆心为，半径为2，的最小值即为到直线的距离减去圆的半径，因为到直线的距离为，所以的最小值为.【练习2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长【解析】（1）由题意得，曲线的普通方程为，代入可得曲线的极坐标方程为（2）把代入中，可得，解得即点的极径，由（1）易得，【练习3】在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动以极点为直角坐标系原点
8、，极轴为轴正半轴建立直角坐标系（1）求圆的参数方程；（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程【解析】（1）由已知得，圆心的直角坐标为，所以的直角坐标方程为，所以圆的参数方程为（为参数）（2）由（1）得，圆的极坐标方程为，即，设，根据，可得，将代入的极坐标方程，得，即动点轨迹的极坐标方程为三、参数方程中参数的几何意义1、 直线参数方程：（1）注意必须是标准形式；（2）直线的参数方程(为参数)中参数的几何意义： 表示直线上任一点到直线上定点的距离；2、 直线与二次曲线相交问题：将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，通过判断的符号来确定交点的个数；若，则有两个交点，此时的、分别表示交点与直线所
9、过定点的距离.1.例题【例1】 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求.【解析】（1）由，即，得曲线的直角坐标方程为.（2）将的参数方程代入，整理得，.【例2】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(为参数，0)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的坐标为(1，0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.【解析】（1）曲线，即，曲线C的直角
10、坐标方程为，即.（2）将代入并整理得， ，.【例3】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）判断直线与曲线的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线与曲线交于不同的两点，点，若，求的值【解析】（1）由得，所以，即，将直线的参数方程代入，得，即，由知，故直线与曲线有两个公共点；（2）由（1）可设方程的两根为，则，故，即，【例4】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【解析】（1）因为，
11、且，所以C的直角坐标方程为的直角坐标方程为（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）C上的点到的距离为当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为2.巩固提升综合练习【练习1】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设，直线的参数方程是（为参数），已知与圆交于两点，且，求的普通方程.【解析】（1）将代入圆的极坐标方程，得，化为圆的标准方程为. （2）将直线的参数方程（为参数）代入圆的直角坐标方程中，化简得，设两点所对应的参数分别为，由根与系数的关系知， 同号，又，由可知或，或，解得， 的普通方程为.【练习2】在直角坐标系
12、中，直线的参数方程为（其中为参数）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）设点，直线交曲线于两点，求的值【解析】（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；由，得，则曲线的直角坐标方程为（2）将直线的参数方程代入，得，设对应的参数分别为，则，【练习3】已知曲线C：，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【解析】(1)曲线C的参数方程为 (为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3si
13、n )到l的距离为，则，其中为锐角，且.当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.【练习4】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin（为参数），直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin（t为参数）.（1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1当cos0时，l的直角坐标方程为y=tanx+2-tan当cos=0时，l的直角坐标方程为x=1（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(
14、1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2，故2cos+sin=0，于是直线l的斜率k=tan=-2四、极坐标方程中的几何意义极坐标方程中的几何意义：是平面内任意一点，极点与点的距离叫做点的极径，记作；即.1.例题【例1】在直角坐标系中,已知曲线的方程为,的方程为,是一条经过原点且斜率大于的直线,以直角坐标系原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求与的极坐标方程;(2)若与的一个公共点(异于点),与的一个公共点为,求的取值范
15、围.【解析】(1)曲线的方程为,的极坐标方程为,的方程为,其极坐标力程为.(2)是一条过原点且斜率为正值的直线,的极坐标方程为,联立与的极坐标方程,得,即,联立与的极坐标方程,得,即,所以,又,所以.【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为：，动点在椭圆上，为原点，线段的中点为.（1）以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点的轨迹的极坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），与点的轨迹交于、两点，求弦长.【解析】（1）设点的坐标为，为线段的中点，点的坐标为 由点在椭圆上得，化简得点的轨迹的直角坐标方程为，将，代入得，化简可得点的轨迹的极坐标方程为 （2）方法1：由直线的参数方程(
16、为参数)知，直线过极点，倾斜角为， 直线的极坐标方程为 由解得：和弦长方法2：把直线的参数方程(为参数)代入得，化简得，设、两点对应的参数分别为，由直线参数方程的几何意义得弦长 方法3：由直线的参数方程(为参数)知，直线的普通方程为， 联立解得和 弦长2.巩固提升综合练习【练习1】在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程，设与的交点为，求的面积【解析】（1）的极坐标方程为由的直角坐标方程，展开得，的极坐标方程为（2）将代入，得，解得，即由于的半径为1，即易知，即为等腰直角三角形，【练习2】在平面直角坐标系中，曲线
17、的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）若，是曲线上两点，求的值【解析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程为，即由，得曲线的极坐标方程为由曲线经过点，则(舍去)，故曲线的极坐标方程为（2）由题意可知，所以【练习3】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求和的参数方程；（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点， 与交于两点，求取得最大值时点的极坐标.【解析】（）在直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为所以参数方程为为参数）. 曲
18、线的直角坐标方程为. 所以参数方程为为参数） （）设点极坐标为, 即, 点极坐标为, 即. 则 当时取最大值，此时点的极坐标为.五、课后自我检测1.在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为：（1）在直角坐标系中，求圆的圆心的直角坐标；（2）设点，若直线与圆交于，两点，求证：为定值，并求出该定值【解析】（1）圆的极坐标方程为，圆的方程为，圆的圆心的直角坐标为（2）将直线的参数方程代入，得，设点，对应的参数分别为，则，故为定值，该定值为122.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）（1）求曲线
19、的极坐标方程；（2）若曲线与曲线交于，两点，且，求的值【思路分析】（1）先得到曲线的普通方程，将代入化简得到答案；（2）将的参数方程代入的普通方程，得到，将所求的用表示，从而得到答案【解析】（1）曲线的普通方程为，即将代入化简得的极坐标方程为（2）将的参数方程代入的普通方程中，得，设，两点的参数分别为，则，、异号，所以3. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）设点分别为曲线与曲线上的任意一点，求的最大值；（2）设直线（为参数）与曲线交于两点，且，求直线的普通方程【解析】（1）由得，所以曲线的普通方程为，
20、圆心，半径曲线的直角坐标方程为，圆心，半径所以（2）将直线的参数方程代入中，得，整理得，所以设两点对应的参数分别为，则，由及参数的几何意义，得，解得，满足，所以，所以直线的斜率为或，由点斜式得或，所以直线的方程为或4. 已知在直角坐标系内，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；（2）设直线与曲线相交于两点，求点到两点的距离之和的最大值【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，直线过定点（2）将直线的参数方程代入，得设点对应的参数分别为，则，因为，所以因此，当时，有最大值5.在平面直角坐标系中，
21、已知直线(为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆R)(1)若直线过圆心C，求的值；(2)若，直线与圆相交于两点，点直角坐标，求的值【解析】(1)直线的参数方程为(t为参数)圆的普通方程为，其圆心坐标为，直线过圆心C，解得(2) ，圆的方程为，直线的参数方程代入圆的普通方程，得 设该方程两根为，则 .6.在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线与曲线的普通方程；(2)已知直线与曲线交于两点，设，求的值.【解析】(1)直线的参数方程为 (为参数)，消去参数，得普通方程曲线的极坐标方
22、程为，直角坐标方程为.(2)直线的参数方程为 (为参数)，代入，整理可得，设对应的参数分别为，则，.7.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;(2)已知曲线的极坐标方程为,点是曲线与的交点,点是曲线与的交点,且均异于原点,且,求的值.【解析】(1)由消去参数可得普通方程为,由 ,得曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)得曲线:,其极坐标方程为,由题意设,则,又,.8.在直角坐标系中,曲线的参数方程为,曲线的参数方程为：(为参数).(1)求曲线,的普通方程;(2)若曲线上一点到曲线的距离的
23、最大值为,求.【解析】(1):,:.(2)设点,点到的距离,当时,有时,;当时,有时,;综上,或.9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）若，是曲线上两点，求的值【解析】（1）将的参数方程化为普通方程得：由，得的极坐标方程为： 将点代入中得：，解得：代入的极坐标方程整理可得：的极坐标方程为：（2）将点，代入曲线的极坐标方程得：，10.在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积【解析】（1）曲线的极坐标方程为： ，因为曲线的普通方程为： ， 曲线的极坐标方程为（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为 点到射线的距离为 的面积为 .11.在直角标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 【解析】（1）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.（2）将代入，得，解得=，=，|MN|=，因为的半径为1，则的面积=.
