1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第三章第三章 函数的概念与性函数的概念与性质质 3.3.3 3幂函数幂函数 课程目标课程目标 1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1，y= 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：用数学语言表示幂函数； 2.逻辑推理：常见幂函数的性质； 3.数学运算：利用幂函数的概念求参数； 4.数据分析：比较幂函数大小； 5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。 自
2、主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本89-90页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 幂函数是如何定义的？幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？幂函数的解析式具有什么特点？ 3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1 1幂函数的概念幂函数的概念 函数函数 叫做幂函数，其中叫做幂函数，其中 是自变量，是自变量， 是常数是常数 yx x 点睛点睛 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变
3、量 2 2常见幂函数的图象与性质常见幂函数的图象与性质 解析式解析式 yx yx2 yx3 y1x yx12 图象图象 定义域定义域 R R R 值域值域 R R 奇偶性奇偶性 函数函数 函数函数 函数函数 函数函数 函数函数 x|x0 0，) 0，) 奇奇 奇奇 奇奇 偶偶 非奇非偶非奇非偶 0，) y|y0 知识清单知识清单 解解析析式式 yx yx2 yx3 y1x yx12 单单调调性性 在在(， ， )上单调上单调 在在(，0上上单调单调 ，在在(0，)上上单调单调 在在(，)上单上单调调 在在(，0)上上单调单调 ，在在(0，)上上单调单调 在在 0， ， )上单调上单调 定定点点
4、 递增递增 递增递增 递增递增 递减递减 递增递增 递减递减 递减递减 (1,1) 点睛点睛幂函数在区间幂函数在区间(0(0，)上，当上，当 0 时，时，yx是增函数；是增函数；当当 0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值. 解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,不符合要求.故m=3. 解题方法解题方法（判断一个函数是否为幂函数） 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x(为常数)的形 式,即:(1)系数为1;(2)指数为
5、常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式. 跟踪训练一跟踪训练一 1.如果幂函数如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点的图象不过原点,求实数求实数m的取值的取值. 解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2. 题型二题型二 幂函数的图象幂函数的图象与性质与性质 例2 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示, 则a,b,c的大小关系为 ( )
6、A.cba B.abc C.bca D.cab 答案:A 解析:由幂函数的图象特征,知c1,0b1.故cb2b2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是abc. 2.对于函数y=x(为常数)而言,其图象有以下特点: (1)恒过点(1,1),且不过第四象限. (2)当x(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x(1,+)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). (3)由幂函数的图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= ,y=x3)来判断. (4)当0时,幂函数的图象在区间(0,+)上都是增函数;当0时
7、,幂函数的图象在区间(0,+)上都是减函数. 跟踪训练二 1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( ) A.nm0 B.mnm0 D.mn0 解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,nm13, 25 12 13 12. (2)幂函数 y=x-1在(-,0)上是减函数, 又-23 -35 -1. (3)函数 y1= 12 在定义域内为减函数,且3412, 12 12 12 34. 又函数 y2=12在0,+)上是增函数,且3412, 34 12 12 12. 34 12 12 34. 解题方法解题方法（比较幂函数大小） 1.比较幂大小的三种常用方法 2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 跟踪训练三跟踪训练三 1. 已知 a=243,b=425,c=2513,则( ) A.bac B.abc C.bca D.cab,ac,bac. 答案:A
