1、3.3幂函数基础过关1.设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.cabC.abc D.bca解析函数y在R上是减函数，又，3,5)2,5)，即ab.又函数yx在(0，)上是增函数，且，2,5)2,5)，即cb，abc.答案C2.如图是幂函数yxm和yxn在第一象限内的图象，则()A.1n0m1 B.n1，0m1C.1n0，m1 D.n1，m1解析由图知，yxm在0，)上是增函数，yxn在(0，)上为减函数，所以m0，n0.又当x1时，yxm的图象在yx的下方，yxn的图象在yx1的下方，所以m1，n1，从而0m1，n1.答案B3.幂函数yf(x)的图象过点(2，m)，且f(m
2、)16，则实数m的值为_.解析设幂函数f(x)xa，由图象过点(2，m)，得f(2)2am，所以f(m)ma2a216，解得a2或2，所以m224或m22.答案4或4.函数yx2x1(2x1)的值域是_.解析易知函数yx2x1在2，1上为减函数，故当x2时，ymax1，当x1时，ymin1，所以该函数的值域是1，1.答案1，15.已知函数f(x)xn23(n2k，kZ)在(0，)上为增函数，则n_.解析幂函数yf(x)在(0，)上为增函数，则有n230，解得n，又n2k，kZ，n0.答案06.已知幂函数yf(x)x(mN*).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)
3、若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围.解(1)m2mm(m1)，mN*，m与m1中必定有一个为正偶数，m2m为正偶数，函数f(x)x(mN*)的定义域为0，)，并且函数yf(x)在其定义域上为增函数.(2)函数yf(x)经过点(2，)，2，即22，m2m2，即m2m20.m1或m2.又mN*，m1.f(x)x在0，)上是增函数.由f(2a)f(a1)，得解得1a.故m的值为1，满足条件的实数a的取值范围是.7.已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上为减函数，求满足(a1)(32a)的a的取值范围.解函数在(0，)上
4、为减函数，3m90，解得m3，又mN*，所以m1，2，函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，m1，(a1)(32a).yx在(，0)，(0，)上为减函数，a132a0或32aa10或a1032a，解得a或a1.即a的取值范围是(，1)(，).能力提升8.幂函数f(x)(m2m1)x2m3在(0，)上是减函数，则实数m()A.0 B.1 C.2 D.1或2解析f(x)(m2m1)x2m3为幂函数，m2m11，m2或m1.当m2时，f(x)x，在(0，)上为增函数，不合题意，舍去；当m1时，f(x)x5，符合题意.综上可知，m1.答案B9.已知0a，则log0.5a，a，2a按从小到大排列的顺序是(
5、)A.a2alog0.5a B.2aalog0.5aC.alog0.5a2a D.log0.5aa2a解析0a，log0.5alog0.52，0a()，12a2，所以a2alog0.5a.答案A10.幂函数yf(x)的图象过点(，3)，若函数g(x)f(x)1在区间m，2上的值域是1，5，则实数m的取值范围是_.解析设f(x)x，由幂函数yf(x)的图象过点(，3)得3()，2.f(x)x2.从而g(x)x21，当g(x)1时，x0；当g(x)5时，x2，结合yg(x)的图象可得m2，0.答案2，011.已知幂函数f(x)x，若f(102a)f(a1)，则实数a的取值范围是_.解析因为f(x)
6、x(x0)，易知yf(x)在0，)上为增函数，又f(102a)f(a1)，所以解得所以3a5.答案(3，512.已知函数f(x)(a2a1)xa1为幂函数，且为奇函数.(1)求a的值；(2)求函数g(x)f(x)f(x)2在0，上的值域.解(1)因为函数f(x)(a2a1)xa1为幂函数，所以a2a11，解得a0或a1.当a0时，f(x)x是奇函数；当a1时，f(x)x2是偶函数.故a0.(2)由(1)知g(x)xx2(x)2.当x0时，函数取得最小值g(0)0；当x时，函数取得最大值g().故yg(x)在0，上的值域为0，.创新突破13.已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上为增函数，函数g(x)2xk.(1)求m的值；(2)当x1，2时，记yf(x)，yg(x)的值域分别为集合A，B，若ABA，求实数k的取值范围.解(1)依题意，得(m1)21，解得m0或m2.当m2时，f(x)x2在(0，)上为减函数，与题设矛盾，舍去.m0.(2)由(1)可知f(x)x2.当x1，2时，yf(x)，yg(x)都为增函数，A1，4，B2k，4k.ABA，BA，0k1.实数k的取值范围是0，1.
