1、平面向量垂直与平行平面向量垂直与平行 一、单选题 1（2021 四川成都市 高三三模（理）已知ar，br是两个不共线的非零向量，若(23 )/ /(3)ababrrrr，则实数（ ） A92 B2 C2 D92 2（2021 全国高三二模）已知向量a和b不共线，向量ABambuuu r，53BC uuu rab，33CDuuu rab，若ABD三点共线，则m（ ） A3 B2 C1 D2 3（2021 甘谷县第四中学高三其他模拟（理）已知向量4,amr，1,1b r，若abrr与br共线，则实数m（ ） A1 B2 C2 D4 4 （2021 武汉市第一中学高三二模） 已知2,4abrr， 当
2、4ba brrr时， 向量ar与br的夹角为 （ ） A6 B4 C23 D34 5（2021 广东梅州市 高三月考）若向量, a brr满足：1, 2,aabaabbrrrrrrr则b r A2 B2 C1 D22 6（2021 北京高一其他模拟）已知向量(4,2)a r，向量br( , 1)x，若/abrr，则|b r（ ） A5 B5 C52 D54 7（2021 福建高三其他模拟）向量1,2a r，,1bxr若ababrrrr，则x（ ） A2 B2 C2 D2 8（2021 全国高一课时练习）已知向量1,2a r，3, 1b r，,2cmr，(2)cabrrr，则m的值为（ ） A2
3、 B3 C2 D10 9（2021 全国高三其他模拟（理）已知向量1,0a r，3b r，且aa brrr，则2abrr（ ） A2 B2 C52 D3 10 （2021 合肥市第八中学高三其他模拟 （理） ） 已知两个单位向量, a br r夹角为60， 且向量2abrr与akbrr相互垂直，则k的值为（ ） A54 B32 C2 D1 或32 11（2021 天津高一期中） 设, x yR向量( ,1),(1, ),(2, 4)axby crrr， 且, /a cb crrr r， 则xy（ ） A0 B1 C2 D3 12（2021 泰兴市第三高级中学高一月考）已知向量ar，br不共线，
4、且32ckabrrr，dakbu rrr，若cr与du r方向相反，则实数 k 的值为（ ） A1 B12 C1 或2 D1或13 13（2018 北京高考真题（理）设向量, a bu rr均为单位向量，则“|3 | |3|ababrrrr”是“abrr”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 14（2019 全国高考真题（理）已知, a brr为单位向量，且a brr=0，若25cabrrr ，则cos, a cr r_. 15（2020 全国高考真题（理）已知单位向量a,b的夹角为 45 ，k ab与a垂直，则 k=_. 16（2021 全国高考真题（理
5、）已知向量1,3 ,3,4abrr，若()abbrrr，则_ 17（2021 全国高考真题（理）已知向量3,1 ,1,0 ,abcakbrrrrr若acrr，则k _ 18（2018 全国高考真题（理）已知向量= 1,2av，= 2, 2bv，= 1,cv若2 +ca bvvvP，则_ 平面向量垂直与平行平面向量垂直与平行 一、单选题 1（2021 四川成都市 高三三模（理）已知ar，br是两个不共线的非零向量，若(23 )/ /(3)ababrrrr，则实数（ ） A92 B2 C2 D92 【答案】A 【分析】 根据向量共线定理可求出结果. 【详解】 因为(23 )/ /(3)ababrr
6、rr，所以存在tR，使得23(3)abtabrrrr， 所以(23 )(3)t atbrr， 又因为, a brr是两个不共线的非零向量， 所以23030tt，解得92 故选：A 2（2021 全国高三二模）已知向量a和b不共线，向量ABambuuu r，53BC uuu rab，33CDuuu rab，若ABD三点共线，则m（ ） A3 B2 C1 D2 【答案】A 【分析】 根据 A、B、D 共线的条件得到BDABuuu ruuu r，进而得到26abam b，根据平面向量基本定理中的分解唯一性，得到关于,m的方程组，求解即得. 【详解】 因为ABD三点共线， 所以存在实数 ，使得BDAB
7、uuu ruuu r， 26BDBCCDabuuu ruuu ruuu rrr， 所以26abam b， 26m，解得3m. 故选：A. 3（2021 甘谷县第四中学高三其他模拟（理）已知向量4,amr，1,1b r，若abrr与br共线，则实数m（ ） A1 B2 C2 D4 【答案】D 【分析】 结合向量的坐标运算和共线向量的运算即可. 【详解】 3,1abmrr，1,1b r，且abrr与br共线， 310m ，解答4m . 故选：D 4 （2021 武汉市第一中学高三二模） 已知2,4abrr， 当4ba brrr时， 向量ar与br的夹角为 （ ） A6 B4 C23 D34 【答案
8、】B 【分析】 由4babrrr得40babrrrg，从而可求a br rg，然后根据向量夹角公式可解. 【详解】 解：4babrrrQ，2,4abrr， 40babrrrg，即22440a bba bbr rrr rrgg， 4a br rg， 42cos,224a ba ba br rr rgr r， 所以向量ar与br的夹角为4， 故选：B. 5（2021 广东梅州市 高三月考）若向量, a brr满足：1, 2,aabaabbrrrrrrr则b r A2 B2 C1 D22 【答案】B 【详解】 试题分析：由题意易知：()0(2)0abaabbrrrrrr即21020b ab abrr
9、rrr，222ba brrr，即2b r. 故选 B. 考点：向量的数量积的应用. 6（2021 北京高一其他模拟）已知向量(4,2)a r，向量br( , 1)x，若/abrr，则|b r（ ） A5 B5 C52 D54 【答案】A 【分析】 根据向量共线的坐标表示，求出x的值，从而得到br的坐标，然后由向量模长的坐标公式求出|br. 【详解】 向量ar(4,2)，向量br( , 1)x，且/abrr， 所以4120 x ，解得2x， 所以br2, 1 ，所以|br22521 故选：A. 7（2021 福建高三其他模拟）向量1,2a r，,1bxr若ababrrrr，则x（ ） A2 B2
10、 C2 D2 【答案】C 【分析】 解法一：利用向量的坐标运算求得abrr，abrr的坐标，再根据向量垂直的条件建立方程，解之可得选项. 解法二：根据向量垂直的条件得出 0ababrrrr，再运用向量数量积的运算律求得abrr，从而可得选项. 【详解】 解法一：1,3abxrr，1,1abxrr， 因为ababrrrr，所以 0ababrrrr， 即1130 xx ，解得2x 解法二：因为ababrrrr，所以 0ababrrrr， 所以220abrr，所以abrr，所以2x 故选：C. 8（2021 全国高一课时练习）已知向量1,2a r，3, 1b r，,2cmr，(2)cabrrr，则m
11、的值为（ ） A2 B3 C2 D10 【答案】C 【分析】 先求出2abrr的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】 因1,2a r，3, 1b r，则25,5ab rr，而,2cmr，(2)cabrrr， 于是得(2)0cabrrr，即55 20m ，解得2m， 所以m的值为 2. 故选：C 9（2021 全国高三其他模拟（理）已知向量1,0a r，3b r，且aa brrr，则2abrr（ ） A2 B2 C52 D3 【答案】D 【分析】 本题首先可根据1,0a r求出1a r，然后根据aabrrr求出1a b r r，最后根据22244ababa b+=+ 鬃rrrrr
12、r即可得出结果. 【详解】 因为1,0a r，所以1a r， 因为3b r，aabrrr， 所以0aabrrr，即20aa b+ ?rr r，1a b r r， 则222441 1243ababa b+=+ 鬃=+-=rrrrr r， 故选：D. 10 （2021 合肥市第八中学高三其他模拟 （理） ） 已知两个单位向量, a br r夹角为60， 且向量2abrr与akbrr相互垂直，则k的值为（ ） A54 B32 C2 D1 或32 【答案】A 【分析】 根据向量垂直得其数量积为零，展开计算即可求得结果 【详解】 2254(2) ()2(1 2 )02kabakbak a bkb rrr
13、rrr rr得54k 故选：A 11（2021 天津高一期中） 设, x yR向量( ,1),(1, ),(2, 4)axby crrr， 且, /a cb crrr r， 则xy（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】A 【分析】 根据acrr的垂直关系，可求出2x ；根据/ /bcrr的平行关系，可求出2y ，进而求出xy的值 【详解】 因为acrr，所以240 x 因为/ /bcrr，所以420y ，所以22xy ，所以0 xy 故选：A 12（2021 泰兴市第三高级中学高一月考）已知向量ar，br不共线，且32ckabrrr，dakbu rrr，若cr与du r方向相反，则实数 k
14、的值为（ ） A1 B12 C1 或2 D1或13 【答案】A 【分析】 由平面向量的共线定理列方程求出k的值，再讨论k的值是否满足cr与dr反向 【详解】 由(32)ckabrrr，dakbrrr，且cr与dr方向相反， 所以(32)10kk ， 即23210kk ， 解得1k 或13k ， 当1k 时，cab rrr，dabrrr，cr与dr反向， 当13k 时，3cabrrr，13dabrrr，cr与dr同向， 所以实数k的值为1 故选：A 13（2018 北京高考真题（理）设向量, a bu rr均为单位向量，则“|3 | |3|ababrrrr”是“abrr”的 A充分不必要条件 B
15、必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】 根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 因为向量, a bu rr均为单位向量 所以|3 | |3|ababrrrr2233ababrrrr 22226996aa bbaa bb rr rrrr rr 1 69961a ba b r rr r 0a b r rabrr 所以“|3 | |3|ababrrrr”是“abrr”的充要条件 故选：C 【点睛】 本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题. 14（2019 全国高考真题（理）已知, a brr为单位向量，且a br
16、r=0，若25cabrrr ，则cos, a cr r_. 【答案】23. 【分析】 根据2| |cv结合向量夹角公式求出| |cv，进一步求出结果. 【详解】 因为25cabvvv，0a bvv，所以225a caa bvv vvv2， 222| |4| |4 55|9caa bbvvvvv，所以| 3c r， 所以cos,a cr r 221 33a ca cv vv v 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案 15（2020 全国高考真题（理）已知单位向量a,b的夹角为 45 ，k ab与a垂直，则 k=_. 【答案】22 【分
17、析】 首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数 k 的值. 【详解】 由题意可得：21 1 cos452a b o， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k aba， 即：2202kaa bk ，解得：22k . 故答案为：22 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16（2021 全国高考真题（理）已知向量1,3 ,3,4abrr，若()abbrrr，则_ 【答案】35 【分析】 根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出 【详解】 因为1,33,41 3 ,34a
18、brr，所以由abbrrr可得， 3 1 34 3 40，解得35 故答案为：35 【点睛】 本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设1122,ax ybxyrr， 1 21200aba bx xy y rrr r，注意与平面向量平行的坐标表示区分 17（2021 全国高考真题（理）已知向量3,1 ,1,0 ,abcakbrrrrr若acrr，则k _ 【答案】103. 【分析】 利用向量的坐标运算法则求得向量cr的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值 【详解】 3,1 ,1,0 ,3,1abcakbk rrrrQr, ,3 31 10aca ck rrQr r，解得103k , 故答案为：103. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算， 平面向量垂直的条件， 属基础题， 利用平面向量1122,px yqx yrr垂直的充分必要条件是其数量积12120 x xy y. 18（2018 全国高考真题 （理） ） 已知向量= 1,2av，= 2, 2bv，= 1,cv 若2 +ca bvvvP， 则_ 【答案】12 【分析】 由两向量共线的坐标关系计算即可 【详解】 由题可得24,2abrr / / 2,cabrrrQ 1,cr，420 ,即12 故答案为12 【点睛】 本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题
