1、2021-2022学年北师大版八年级上期末数学压轴题精选（3）1（金牛区期末）如图，长方形中，点是上一点，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是2（武侯区期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形若点为的中点，连接，则的长的最小值为3（武侯区期末）在中，点在边上，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长是4（青羊区校级期末）如图1，在矩形中，是边上一点，将沿着直线翻折得到当时，如图2，连接，当时，此时的面积为5（锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴上的动点，以为边作等边三角形，当最小时点的坐标
2、为6（成华区期末）如图，点，直线与轴交于点，以为边作等边，过点作轴，交直线于点，以为边作等边，过点作轴，交直线于点，以为边作等边，则点的坐标是7（成都期末）如图，在中，为上一点，连接，过点作，取，连接交于当为等腰三角形时，8（成都期末）在平面直角坐标系中，我们把点，顺次连接起来，得到一个长方形区域，为该区域（含边界）内一点若将点到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为，则称为“距点”例如：点称为“4距点”当时，横、纵坐标都是整数的点的个数为个9（新都区期末）如图，已知中，于点，将沿翻折，使点落在点处，延长与的延长线交于点求的长为10（金牛区期末）已知：为正数，直线与直线及轴围成的三角形的面积为，
3、则，的值为11（成华区期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上，交于点，若，则的面积为12（青羊区校级期末）在长方形中，延长至点，连接，平分，则13（新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推按照图中反映的规律，则点的坐标是；第2020个正方形的边长是14（成都期末）如图，已知，为上一点，于，四边形为正方形，为射线上一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为15（成都期末）当，是正实数，且满足时，就称点为“美好点”已知点与点的坐标
4、满足，且点是“美好点”，则的面积为16（郫都区期末）如图，中，若点、分别是三边、上的动点，则周长的最小值为17（青羊区校级期末）如图，中，则的面积为；点，点，点分别为，上的动点，连接，则的周长最小值为18（郫都区期末）如图，已知等边，点是边上的一点，连接，以为边在右侧作等边，连接（1）求证：；（2）若，时，求的长；（3）过点作，交于点，若，试判断的形状，并说明理由19（武侯区期末）在等腰直角三角形中，于点，点是平面内任意一点，连接（1）如图1，当点在边上时，过点作交于点求证：；试探究线段，之间满足的数量关系（2）如图2，当点在内部时，连接，若，求线段的长20（武侯区期末）阅读理解如图，在中，过
5、点作直线的垂线，垂足为，求线段的长解：设，则，在中，在中，又，解得，知识迁移（1）在中，过点作直线的垂线，垂足为如图1，若，求线段的长；若，求线段的长（2）如图2，在中，过点作直线的垂线，交线段于点，将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长21（成都期末）如图，在中，的角平分线与外角的角平分线相交于点（1）设，用含的代数式表示的度数；（2）若，求线段的长；（3）在（2）的条件下，过点作的角平分线交于点，若，求边的长22（武侯区期末）在平面直角坐标系中，已知点，过点作直线，交轴负半轴于点，交轴负半轴于点（1）如图1，当时求直线的函数表达式；过点作轴的平行线，点是上一动点，连接，若，求满足条
6、件的点的坐标（2）如图2，将直线绕点顺时针旋转后，交轴正半轴于点，过点作，交直线于点试问：随着值的改变，点的横坐标是否发生变化？若不变，求出点的横坐标；若变化，请说明理由23（金牛区期末）已知：等边三角形，直线过点且与平行，点是直线上不与点重合的一点，连接线段，并将射线绕点顺时针转动，与直线交于点（即（1）如图1，点在的延长线上时，求证：；（2）如图2，依题意补全图2，试求出的长（3）当点在点右侧时，直接写出线段、和之间的数量关系24（青羊区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点（1）请直接写出点、点、点的坐标：，（2）如图2，动直线分别与直线，交于，
7、两点若，求的值若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由25（青羊区校级期末）如图，已知点，直线的解析式为，经过点，与轴交于点，与轴交于点（1）如图1，若直线经过点，与直线交于点，求直线的解析式；（2）点是轴上一动点，若为等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，已知点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，若，求此时点坐标26（邛崃市期末）如图1，直线与坐标轴分别交于、两点，过点的直线交轴于点（1）求直线的解析式并判定的形状；（2）如图2，若点，是直线上的一动点，连接、，当的值最小时，求点的坐标，并求出这个最小值；（3）如图3，将直线向上平移个单位，与坐标轴交于点、，分别以、为腰，点为直角
8、顶点分别在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，求的长度27（青羊区校级期末）在中，点、是线段上两点，连接，过作于点，过点作于点（1）如图1，若点是的中点，求的大小；（2）如图2，若点是线段的中点，求证：；（3）如图3，若点是线段的中点，求的值28（成华区期末）表格中的两组对应值满足一次函数，函数图象为直线，如图所示将函数中的与交换位置后得一次函数，其图象为直线设直线交轴于点，直线交直线于点，直线交轴于点42（1）求直线的解析式；（2）若点在直线上，且的面积是的面积的倍，求点的坐标；（3）若直线分别与直线，及轴的三个交点中，其中一点是另两点所成线段的中点，求的值29【背景】在中，分别
9、以边、为底，向外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，【研究】点为的中点，连接，研究线段与的位置关系与数量关系（1）如图（1），当时，延长到点，使得，连接此时易证，、三点在一条直线上进一步分析可以得到是等腰直角三角形，因此得到线段与的位置关系是，数量关系是；（2）如图（2），当时，请继续探究线段与的位置关系与数量关系，并证明你的结论；（3）【应用】如图（3），当点，在同一直线上时，连接，若，求的长30（金牛区期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、（1）如图1，点在直线上，求点、坐标；（2）在（1）的条件下，如图2，点是点关于轴的对称点，点是第二象限内一点，连接、和，如果和面积相等，且，求点的坐标；
10、（3）如图3，点和点是该直线在第一象限内的两点，点在点左侧，且两点的横坐标之差为1，且，作轴，垂足为点，连接，若，求的值31（锦江区校级期末）如图1，点为对角线上一点，连接，（1）求证：；（2）如图2，若，为线段上一点，且，连接，设，求与的函数表达式；（3）在 （2）的条件下，如图3，点为线段上（不与点、点重合）任意一点，试判断以、为边的三角形的形状，并说明理由32（成都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，（1）求点的坐标；（2）点为轴正半轴上一点，点为线段上一动点，设的纵坐标为，请用含的代数式表示点到轴的距离；（3）在（2）的条件下，过点作交轴于点，连接，当为等腰三角形时
11、，求的面积33（新都区期末）在如图的平面直角坐标系中，直线过点，且与直线交于点，直线与轴交于点（1）求直线的函数表达式；（2）若的面积为9，求点的坐标；（3）若是等腰三角形，求直线的函数表达式34（新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，以线段为边在右侧作等腰，使，连接，（1）当时，点的坐标是；（2）当时，用字母表示出点的坐标；求出点运动轨迹图象的表达式；（3）求出周长的最小值35（新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点坐标分别为，（1）求所在直线的函数表达式；（2）若直线上有一点，使得与的面积相等，求出点的坐标；（3）有一动点从点出发，沿
12、折线运动，速度为1单位长度秒，运动时间为秒，到达点时停止运动试求出的面积关于的函数关系式，并写出相应的取值范围36（成都期末）如图，平面直角坐标系中，且，满足（1）求直线的表达式；（2）现有一动点从点出发，以1米秒的速度沿轴正方向运动到点停止，设的运动时间为，连接，过点作的垂线交射线于点，交轴于点，请用含的式子表示线段的长度；（3）在（2）的条件下，连接，当时，求此时点的坐标37（成都期末）如图，和中，点在边上（1）如图1，连接，若，求的长度；（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，旋转过程中，直线分别与直线，交于点，当是等腰三角形时，求旋转角的度数；（3）如图3，将绕点顺时针旋转，使得点，
13、在同一条直线上，点为的中点，连接，猜想，和之间的数量关系并说明理由38（成都期末）如图1，已知直线与直线交于点，直线与坐标轴分别交于，两点，且点坐标为，点坐标为（1）求直线的函数表达式；（2）在直线上是否存在点，使的面积等于面积的2倍，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点是线段上的一动点（不与端点重合），过点作轴交于点，设点的纵坐标为，以点为直角顶点作等腰直角（点在直线下方），设与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围39（青羊区校级期末）如图，中，点为边上一点（1）如图1，若，求证：；若，求的值；（2）如图2，点为线段上一点，且，求的长40（锦江区校
14、级期末）如图1，已知中，点是上一点，且，于点，交于点（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，若，求的面积；（3）如图3，点是延长线上一点，且，连接，求证：41（锦江区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点（1）求直线的函数表达式；（2）如图2，在线段上有一点（点不与点、点重合），将沿折叠，使点落在上，记作点，在上方，以为斜边作等腰直角三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如图3，在平面内是否存在一点，使得以点，为顶点的三角形与全等（点不与点重合），若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由42（青羊区校级期末）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点
15、，直线交于点（1）求，两点的坐标；（2）如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，求的长；在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标（3）如图2，若，过点，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由2021-2022学年北师大版八年级上期末数学压轴题精选（3）1（2020秋金牛区期末）如图，长方形中，点是上一点，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是【解答】解：如图，连接四边形是矩形，的最小值为2（2020秋武侯区期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形若点为的中点，连接，则的长的
16、最小值为【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，点的坐标为，点为的中点，是等边三角形，在和中，当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值，的最小值为，的最小值为，故答案为3（2020秋武侯区期末）在中，点在边上，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长是【解答】解：如图，过点作于，于，将沿直线翻折，故答案为：4（2020秋青羊区校级期末）如图1，在矩形中，是边上一点，将沿着直线翻折得到当时，如图2，连接，当时，此时的面积为【解答】解：如图1，当时，由折叠知，四边形是正方形，如图2，当时，过点作，交于点，交于点，四边形为矩形，设，则，设，则，在中，在中，由可得，把代入得，
17、解得，故答案为：；5（2020秋锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴上的动点，以为边作等边三角形，当最小时点的坐标为，或，【解答】解：当点在原点左侧时，如图，以为边作等边三角形，以为边作等边三角形，连接，过点作于，在和中，当取最小值时，有最小值，当时，有最小值为，点，当点在原点右侧，同理可求点，故答案为，或，6（2020秋成华区期末）如图，点，直线与轴交于点，以为边作等边，过点作轴，交直线于点，以为边作等边，过点作轴，交直线于点，以为边作等边，则点的坐标是，【解答】解：直线与轴交于点，是等边三角形，把代入，求得，即，把代入，求得，即，故答案为：，7（2020秋成都期末）如
18、图，在中，为上一点，连接，过点作，取，连接交于当为等腰三角形时，2或6【解答】解：如图1中，过点作于，在和，在和中，如图2中，当时，点与重合，此时综上所述，满足条件的的长度为2或6故答案为：2或68（2020秋成都期末）在平面直角坐标系中，我们把点，顺次连接起来，得到一个长方形区域，为该区域（含边界）内一点若将点到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为，则称为“距点”例如：点称为“4距点”当时，横、纵坐标都是整数的点的个数为10个【解答】解：满足条件的点如图所示，共有10个故答案为109（2020秋新都区期末）如图，已知中，于点，将沿翻折，使点落在点处，延长与的延长线交于点求的长为【解答】解：，
19、将沿翻折，使点落在点处，和是等腰直角三角形，故答案为：10（2020秋金牛区期末）已知：为正数，直线与直线及轴围成的三角形的面积为，则，的值为【解答】解：当时，有，解得：，直线与轴的交点坐标为，；当时，有，解得：，直线与轴的交点坐标为，联立两直线解析式成方程组，解得：，两直线的交点坐标为，故答案为：，11（2020秋成华区期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上，交于点，若，则的面积为【解答】解：如图，连接，作于，于，在中，平分，于，于，故答案为：12（2020秋青羊区校级期末）在长方形中，延长至点，连接，平分，则【解答】解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，过点作于，四边形是矩形
20、，且，平分，是等腰三角形，是等腰三角形，和是等腰三角形腰上的高，中，设，则，中，解得：，故答案为：13（2020秋新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推按照图中反映的规律，则点的坐标是，；第2020个正方形的边长是【解答】解：由题意，第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为6，第三个正方形的边长为18，可得，第2020个正方形的边长为故答案为：，14（2020秋成都期末）如图，已知，为上一点，于，四边形为正方形，为射线上一动点，连接，将绕点顺时针方向
21、旋转得，连接，若，则的最小值为【解答】解法1：如图所示，将绕着点顺时针旋转得，作直线交于，则，将绕点按顺时针方向旋转得，在和中，又，点在直线上，即点的轨迹为射线，当点与点重合时，最短，当时，中，又，正方形中，即的最小值为，故答案为：解法2：如图，连接，由题意可得，在和中，当时，最短，此时最短，当时，的最小值为故答案为：15（2020秋成都期末）当，是正实数，且满足时，就称点为“美好点”已知点与点的坐标满足，且点是“美好点”，则的面积为18【解答】解：将点代入，得，则直线解析式为：，设点坐标为，点满足直线，点是“美好点”，是正实数，将代入得：，解得，点坐标为，的面积答：的面积为1816（2020
22、秋郫都区期末）如图，中，若点、分别是三边、上的动点，则周长的最小值为【解答】解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于，交于，作于，于由对称性可知：，的周长，当点固定时，此时的周长最小，是等腰直角三角形，当的值最小时，的值最小，在中，根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，最小值为，的最小值为，的周长的最小值为17（2020秋青羊区校级期末）如图，中，则的面积为；点，点，点分别为，上的动点，连接，则的周长最小值为【解答】解：如图，过点作于，如图，过点作于，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，此时的周长的长，是等腰直角三角形，的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，
23、当与重合时，的值最小，的最小值为，的周长的最小值为故答案为：，二解答题（共25小题）18（2020秋郫都区期末）如图，已知等边，点是边上的一点，连接，以为边在右侧作等边，连接（1）求证：；（2）若，时，求的长；（3）过点作，交于点，若，试判断的形状，并说明理由【解答】证明：（1）和是等边三角形，在和中，；（2）如图1，过点作交的延长线于，；（3）是等腰三角形，如图2，连接，过点作交的延长线于，设，则，是等边三角形，垂直平分，由（2）可知，在和中，是等腰三角形19（2020秋武侯区期末）在等腰直角三角形中，于点，点是平面内任意一点，连接（1）如图1，当点在边上时，过点作交于点求证：；试探究线段，
24、之间满足的数量关系（2）如图2，当点在内部时，连接，若，求线段的长【解答】证明：（1），在与中，；连接，是等腰直角三角形，在中，（2）过点作于，过点作交于，在与中，在中，在中，20（2020秋武侯区期末）阅读理解如图，在中，过点作直线的垂线，垂足为，求线段的长解：设，则，在中，在中，又，解得，知识迁移（1）在中，过点作直线的垂线，垂足为如图1，若，求线段的长；若，求线段的长（2）如图2，在中，过点作直线的垂线，交线段于点，将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长【解答】解：（1）设，则，在中，在中，；在中，在中，当为锐角时，如图，当为钝角时，如图，；（2）如图2，连接交于点，则，过点作于
25、，在中，；在中，垂直平分，设，则，21（2020秋成都期末）如图，在中，的角平分线与外角的角平分线相交于点（1）设，用含的代数式表示的度数；（2）若，求线段的长；（3）在（2）的条件下，过点作的角平分线交于点，若，求边的长【解答】解：（1）设，则有，可得（2），（3）如图，连接，过点作于，延长交于平分，平分，在中，平分，设，则有，解得（不符合题意的解已经舍弃）22（2020秋武侯区期末）在平面直角坐标系中，已知点，过点作直线，交轴负半轴于点，交轴负半轴于点（1）如图1，当时求直线的函数表达式；过点作轴的平行线，点是上一动点，连接，若，求满足条件的点的坐标（2）如图2，将直线绕点顺时针旋转后，交
26、轴正半轴于点，过点作，交直线于点试问：随着值的改变，点的横坐标是否发生变化？若不变，求出点的横坐标；若变化，请说明理由【解答】解：（1）、，设直线的表达式为，点在直线上，直线的表达式为；、如图1，由知，直线的表达式为，令，则，直线为，设，过点作于，过点作于，或；（2）如图2，是等腰直角三角形，直线的表达式为，设点，分别过点，作轴的垂线，过点作的垂线，交前两条直线和轴于点，则，四边形是矩形，即点的横坐标为，保持不变23（2020秋金牛区期末）已知：等边三角形，直线过点且与平行，点是直线上不与点重合的一点，连接线段，并将射线绕点顺时针转动，与直线交于点（即（1）如图1，点在的延长线上时，求证：；（
27、2）如图2，依题意补全图2，试求出的长（3）当点在点右侧时，直接写出线段、和之间的数量关系【解答】解：（1）过点作，交的延长线于点，直线，为等边三角形，又，；（2），不可能是直角，当点在点的右侧时，在四边形中，在中，由（1）可知，当点在点左侧时，作，交的延长线于点，直线，为等边三角形，又，在中，在中，综合以上可得，或（3）如图3，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，由（1）可知，；如图4，当点在线段上时，过点作，交于点，由（1）可知，24（2020秋青羊区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点（1）请直接写出点、点、点的坐标：，（2）如图2，动
28、直线分别与直线，交于，两点若，求的值若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）对于直线，令，解得，故点，对于，同理可得：点，则，解得，故点的坐标为，故答案为：、；（2）点在直线上，则设点，同理点，则，解得或3；当点在轴下方时，如下图，设直线交轴于点，过点作直线交轴于点，在轴负半轴取点使，过点作直线交于点，则点为所求点，理由：、在直线上，且，则，同理，而，则、之间的距离等于2倍、之间的距离，故，由直线的表达式知点，设直线的表达式为，将点的坐标代入上式并解得，故点，则，则，故点，在直线的表达式为，联立并解得，故点；当点在轴上方时，同理可得点，同理可得，过点且平行于的直线表达式
29、为，联立并解得，故点的坐标为；综上，点的坐标为或25（2020秋青羊区校级期末）如图，已知点，直线的解析式为，经过点，与轴交于点，与轴交于点（1）如图1，若直线经过点，与直线交于点，求直线的解析式；（2）点是轴上一动点，若为等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，已知点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，若，求此时点坐标【解答】解：（1）对于，令，则，令，则，故点、的坐标分别为、，当时，故点的坐标为，设直线的表达式为，将点、的坐标代入上式得，解得，故直线的解析式为；（2）设点，过点作轴于点，则，同理可得：，当时，即，解得或（舍去；当时，同理可得；当时，同理可得或，故点的坐标为或，或或；（3
30、）设点的坐标为，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，即，故点的坐标为，而点，由（2）知：，解得，点的坐标为，点的坐标为，或，26（2020秋邛崃市期末）如图1，直线与坐标轴分别交于、两点，过点的直线交轴于点（1）求直线的解析式并判定的形状；（2）如图2，若点，是直线上的一动点，连接、，当的值最小时，求点的坐标，并求出这个最小值；（3）如图3，将直线向上平移个单位，与坐标轴交于点、，分别以、为腰，点为直角顶点分别在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，求的长度【解答】解：（1）直线与坐标轴分别交于、两点，当时，当时，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，即为直角三角形（2）如图2，由
31、（1）知，为直角三角形，点关于直线对称点在线段的延长线上，且，过点作轴于点，的最小值即为线段的长：，设直线的解析式为：，则，解得：，联立方程组，解之得：此时，点，综上，的最小值为，此时点，；（3）如图3，将向上平移个单位后，直线的解析式为：，过点作轴于点，是以点为顶点的等腰直角三角形，又，是以点为顶点的等腰直角三角形，设直线的解析式为：，则有：，解之：，直线的解析式为，27（2020秋青羊区校级期末）在中，点、是线段上两点，连接，过作于点，过点作于点（1）如图1，若点是的中点，求的大小；（2）如图2，若点是线段的中点，求证：；（3）如图3，若点是线段的中点，求的值【解答】（1）解：，（2）证明
32、：过点作交的延长线于点，在和中，点是线段的中点，在和中，（3）解：在线段上取点，使得，连接、，如图3所示：，在和中，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，28（2020秋成华区期末）表格中的两组对应值满足一次函数，函数图象为直线，如图所示将函数中的与交换位置后得一次函数，其图象为直线设直线交轴于点，直线交直线于点，直线交轴于点42（1）求直线的解析式；（2）若点在直线上，且的面积是的面积的倍，求点的坐标；（3）若直线分别与直线，及轴的三个交点中，其中一点是另两点所成线段的中点，求的值【解答】解：（1）直线的解析式为，把，分别代入得，解得，直线的解析式为，由题意可得直线的解析式为（2）令中，则，故
33、，令中，则，故，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，过点作轴于，则为等腰直角三角形，的横坐标为，代入直线解析式得，故，；过点作轴于，则为等腰直角三角形，的横坐标为，代入直线解析式得，故，；综合以上可得点的坐标为，或，；（3）设直线与直线，及轴的交点分别为，则，令中，则，解得，代入直线中，则，解得，若点是的中点时，解得；若点是的中点时，解得；若点是的中点时，解得；综合以上可得，的值为或或29（2020秋成都期末）【背景】在中，分别以边、为底，向外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，【研究】点为的中点，连接，研究线段与的位置关系与数量关系（1）如图（1），当时，延长到点，使得，连接此时易证，、三点在
34、一条直线上进一步分析可以得到是等腰直角三角形，因此得到线段与的位置关系是，数量关系是；（2）如图（2），当时，请继续探究线段与的位置关系与数量关系，并证明你的结论；（3）【应用】如图（3），当点，在同一直线上时，连接，若，求的长【解答】解：（1）如图1，延长到点，使得，点为的中点，又，点，点，点共线，是等腰直角三角形，又，；（2）如图2，延长到，使，连接，点 为 的中点，在和中， 和 都是等腰直角三角形，又，在和中，是等腰直角三角形，又，；（3）如图3，取中点，连，设与交于点， 和 都是等腰直角三角形，在（2）的结论可得，为的垂直平分线，30（2020秋金牛区期末）如图，直线与轴、轴分别交于点
35、、（1）如图1，点在直线上，求点、坐标；（2）在（1）的条件下，如图2，点是点关于轴的对称点，点是第二象限内一点，连接、和，如果和面积相等，且，求点的坐标；（3）如图3，点和点是该直线在第一象限内的两点，点在点左侧，且两点的横坐标之差为1，且，作轴，垂足为点，连接，若，求的值【解答】解：（1）当时，把点代入直线得：，解得：，直线的解析式为，当时，解得：，；（2）分两种情况：点在直线的下方时，过点作，设与交点为，延长交轴于点，如图2所示：平行线间的距离处处相等，且为公共底边，和面积相等，点是点关于轴的对称点，由（1）可知，轴，；当点在直线的上方时，如图所示：，当时，四边形是平行四边形，的面积面积
36、，此时，满足条件；综上所述，点的坐标为或；（3）过作于，如图3所示：，点在直线上，当时，有，点，在中，由勾股定理得：，即，解得：31（2020秋锦江区校级期末）如图1，点为对角线上一点，连接，（1）求证：；（2）如图2，若，为线段上一点，且，连接，设，求与的函数表达式；（3）在 （2）的条件下，如图3，点为线段上（不与点、点重合）任意一点，试判断以、为边的三角形的形状，并说明理由【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，；（2），；（3）设，当时，如图3，以、为边的三角形是直角三角形；当时，过点作于，以、为边的三角形是直角三角形；综上所述：以、为边的三角形是直角三角形；32（2020秋成都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，（1）求点的坐标；（2）点为轴正半轴上一点，点为线段上一动点，设的纵坐标为，请用含的代数式表示点到轴的距离；（3）在（2）的条件下，过点作交轴于点，连接，当为等腰三角形时，求的面积【解答】解：（1）由题意，直线直线交轴于点，交轴于点，在中，或（舍弃），（2）如图1中，过点作的角平分线交于，设，则，直线的解析式为，的纵坐标为，点横坐标为，（3）在（2）的条件下，当时，过点作于，直线过点，直线的表达式为，由，解得，当时，直线的
