1、第第 20 章章 点的轨迹点的轨迹 【知识衔接】 初中知识回顾 初中阶段的动点问题主要为“动态几何问题”。 所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点：一是“动态”，常以图形或图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换)为重要的构图背景；二是“综合”，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合 解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动时刻的图形，想像从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各
2、种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决 高中知识链接 高中动点问题主要为求曲线的轨迹方程问题。 求点轨迹方程的方法 (1)直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可 (2)代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程 (3)定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的 要素，求出曲线方程常见的曲线特征及要素有： 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角圆：若，则点在以为直径的
3、圆上 确定方程的要素：圆心坐标，半径 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹 确定方程的要素：距离和，定点距离 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹 , x y,P x y00,0F x y00,Q x y, x y00,x yQ, x yABACABC, a br2a2c注：若只是到两定点的距离差为常数(小于定点距离)，则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线)，
4、则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 【经典题型】 初中经典题型 1、如图，在ABC 中，AB=BC=8，AO=BO，点 M 是射线 CO 上的一个动点，AOC=60 ，则当ABM 为直角三角形时，AM 的长为 【答案】4 3或4 7或 4 【分析】分三种情况讨论：当 M 在 AB 下方且AMB=90 时，当 M 在 AB 上方且AMB=90 时，当ABM=90 时，分别根据含 30 直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可 三角形，AM=AO=4； 如图 3，当ABM=90 时，BOM=AOC=60 ，BMO=30 ，MO=2BO=2 4=8，RtBOM 中，
5、BM=22MOOB=4 3，RtABM 中，AM=22ABBM=4 7 综上所述，当ABM 为直角三角形时，AM 的长为4 3或4 7或 4故答案为：4 3或4 7或 4 2a2cp 【方法归纳】从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明 2、如图，在等腰ABC 中，AB=AC=4cm，B=30 ，点 P 从点 B 出发，以3cm/s 的速度沿 BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C 停止，若BPQ 的面积为y(cm2)，运动时间为 x(s)，则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是(
6、) A B C D 【答案】D 【分析】 作 AHBC 于 H， 根据等腰三角形的性质得 BH=CH， 利用B=30 可计算出 AH=12AB=2， BH=3AH=2 3，则 BC=2BH=4 3，利用速度公式可得点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s，然后分类讨论：当 0 x4 时，作 QDBC 于 D，如图 1，BQ=x，BP=3x，DQ=12BQ=12x，利用三角形面积公式得到234yx；当 4x8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ=8x，BP=4 3，DQ=12CQ=12(8x)，利用三角形面积公式得38 3yx ， 于是可得 0 x4 时， 函数图
7、象为抛物线的一部分， 当 4x8 时，函数图象为线段，则易得答案为 D BDQ 中 ，DQ=12CQ=12(8 x)， y=1212(8 x)4 3，即383yx ， 综上 所述，23(04)438 3(48)xxyxx故选 D 【方法归纳】从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明 3、如图，矩形 AOCB 的顶点 A、C 分别位于 x 轴和 y 轴的正半轴上，线段 OA、OC 的长度满足方程15130 xy(OAOC)，直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点，将 BCN 沿直线 BN 折叠，点 C 恰好落在直线 MN 上的点 D 处，且 t
8、anCBD=34 (1)求点 B 的坐标； (2)求直线 BN 的解析式； (3)将直线 BN 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移， 求直线 BN 扫过矩形 AOCB 的面积 S 关于运动的时间 t(0t13)的函数关系式 【答案】(1)B(15，13)；(2)183yx；(3)215 (08)33996(813)2ttSttt 【分析】(1)由非负数的性质可求得 x、y 的值，则可求得 B 点坐标；(2)过 D 作 EFOA 于点 E，交 CB 于点F，由条件可求得 D 点坐标，且可求得OMON=34，结合 DEON，利用平行线分线段成比例可求得 OM 和ON 的长，则可求得 N
9、 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BN 的解析式；(3)设直线 BN 平移后交 y 轴于点N，交 AB 于点 B，当点 N在 x 轴上方时，可知 S 即为 BNNB的面积，当 N在 y 轴的负半轴上时，可用 t表示出直线 BN的解析式，设交 x 轴于点 G，可用 t 表示出 G 点坐标，由 S=S四边形BNNBS OGN，可分别得到 S 与 t 的函数关系式 【解答】 (3)设直线 BN 平移后交 y 轴于点 N，交 AB 于点 B，分两种情况讨论： 当点 N在 x 轴上方，即 0t8 时，如图 2，由题意可知四边形 BNNB为平行四边形，且 NN=t，S=NNOA=15t； 【方法归纳】按
10、线动的位置进行分类，画出各状态图形，利用这些等量关系转化为方程来解决 4、如图 1，在平面直角坐标系中， ，直线 MN 分别与 x 轴、y 轴交于点 M(6，0)，N(0，2 3)，等边 ABC的顶点 B 与原点 O 重合，BC 边落在 x 轴正半轴上，点 A 恰好落在线段 MN 上，将等边 ABC 从图 l 的位置沿 x 轴正方向以每秒 l 个单位长度的速度平移， 边 AB， AC 分别与线段 MN 交于点 E， F(如图 2 所示)， 设 ABC平移的时间为 t(s)学-科网 (1)等边 ABC 的边长为_； (2)在运动过程中，当 t=_时，MN 垂直平分 AB； (3)若在 ABC 开
11、始平移的同时点 P 从 ABC 的顶点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 BAAC运动当点 P 运动到 C 时即停止运动 ABC 也随之停止平移 当点 P 在线段 BA 上运动时，若 PEF 与 MNO 相似求 t 的值； 当点 P 在线段 AC 上运动时，设PEFSS，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值及此时点 P 的坐标 【答案】(1)3；(2)3；(3)t=1 或34或32；S=233 388tt，当 t=32时， PEF 的面积最大，最大值为9 332，此时 P(3，3 32) 【分析】(1)根据，OMN=30 和 ABC 为等边三角形，求证 OAM 为直角三
12、角形，然后即可得出答案 (2)易知当点 C 与 M 重合时直线 MN 平分线段 AB，此时 OB=3，由此即可解决问题； (3)如图 1 中， 由题意 BP=2t， BM=6t， 由 PEF 与 MNO 相似， 可得PEEF=2 36或EFPE=2 36， 即53232tt=33或32532tt =33，解方程即可解决问题； 当 P 点在 EF 上方时，过 P 作 PHMN 于 H，如图 2 中，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题； BAC=60 ，EF=3AE=32t，当点 P 在 EF 下方时，PE=BEBP=352t，由0235302ttt ，解得 0t65，PEF 与 MNO
13、相似，PEEF=2 36或EFPE=2 36，53232tt=33或32532tt=33，解得 t=1或 t=34 当点 P 在 EF 上方时， PE=BEBP=52t-3， PEF 与 MNO 相似， PEEF=2 36或EFPE=2 36， 53232tt=33或32532tt =33，解得 t=32或 30t32，且52t-30，即65t32，t=32 综上所述，t=1 或34或32 当 P 点在 EF 上方时， 过 P 作 PHMN 于 H， 如图 2 中， 由题意， EF=32t， FC=MC=3t， PFH=30 ，PF=PCCF=(62t)(3t)=3t，PH=12PF=32t，
14、S=12EFPH=1232t 【方法归纳】根据题意画一些不同运动时刻的图形，想象从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决 高中经典题型 例 1如图，已知线段上有一动点(异于),线段,且满足(是大于且不等于 的常数)，则点的运动轨迹为( ) A 圆的一部分 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 【答案】B ABD DA B、CDAB2CDAD BD01C 例2 设点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形
15、C的距离 已知点A(1， 0)， 圆C： x2+2x+y2=0，那么平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹是( ) A 双曲线的一支 B 椭圆 C 抛物线 D 射线 【答案】D 【解析】圆的标准方程为， 如图所示，设圆心坐标为，满足题意的点为点，由题意有： ，则， 设，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线 本题选择 D 选项 例 3动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为( ) A B C D 【答案】B 2211xyAP11PAPA 2PAPAAA2,0BAB例 4点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是_ 【答案】 【解
16、析】由垂直平分线的性质有，所以， 又，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是 C，F 为焦点，以 4 为实轴长的双曲线， ， ， 所以点 Q 的轨迹方程是 例 5 已知直线 过抛物线： 的焦点， 与交于， 两点， 过点， 分别作的切线，且交于点，则点的轨迹方程为_ 【答案】 ，故原抛物线 C 相应的点 P 的轨迹方程为，故答案为 例 6已知抛物线：的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点 (I)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ； (II)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 【答
17、案】(I)详见解析；(II) 【解析】由题设设，则，且 记过两点的直线为，则的方程为 (I)由于在线段上，故 记的斜率为，的斜率为，则 lC24yxlCABABCPP1x1y x1 x1 当与轴不垂直时，由可得而，所以 当与轴垂直时，与重合所以，所求轨迹方程为 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 如图 1，抛物线213yxbxc经过 A(2 3，0)、B(0，2)两点，点 C 在 y 轴上， ABC 为等边三角形，点 D 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，设运动时间为 t 秒(t0)，过点 D 作 DEAC 于点 E，以 DE 为边作矩形 D
18、EGF，使点 F 在 x 轴上，点 G 在 AC 或 AC 的延长线上学科/-网 (1)求抛物线的解析式； (2)将矩形 DEGF 沿 GF 所在直线翻折，得矩形 DEGF，当点 D 的对称点 D落在抛物线上时，求此时点 D的坐标； (3)如图 2，在 x 轴上有一点 M(2 3，0)，连接 BM、CM，在点 D 的运动过程中，设矩形 DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为 S，直接写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围 【答案】(1)213233yxx；(2)D(4 33，109)；(3)2242 3 (0)35 3412 38 3(2)23ttSttt 【分
19、析】(1)把 A、B 的坐标代入抛物线的解析式求解即可； (2)由等边三角形的性质可知BAC=60 ，依据特殊锐角三角函数值可得到 AE=t，DE=3t，AF=2 3t，然后再证明 AD=DF=2t，过点 D作 DHx 轴与点 H，接下来，再求得点 D的坐标，最后将点 D的坐标代入抛物线的解析式求解即可； (3)当 0t43时，S=EDDF；当43t2 时，S=矩形 DEGF 的面积 CGN 的面积 DFH=AFD=30 ，DH=12DF=t，FH=3DH=3t，AH=AF+FH=3 3t，OH=AHAO=3 32 3t ，D(3 32 3t ，t) 当 0t43时，S=EDDF=22 3t
20、当43t2 时，如图 3 所示： CG=AGAC，CG=3t4，GN=3 34 3t ，S=EDDF12CGGN=22 3t12(3t4)3(3t4)=25 312 38 32tt 综上所述，S 与 t 的函数关系式为2242 3 (0)35 3412 38 3(2)23ttSttt 2、如图，已知抛物线2yxbxc的图象经过点A(1，0)，B(-3，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD (1)求抛物线的解析式 (2)若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标 (3)在(2)的条件下，作PFx轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线
21、上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标 【答案】 (1)223yxx； (2)P(2， 2)； (3)点 M 的坐标为(1212 ， 0)， (1212 ， 0)， (3132 ，0)，(3132 ，0) 【分析】(1)利用待定系数法即可得出结论； (2)先确定出点 E 的坐标，利用待定系数法得出直线 BD 的解析式，利用 PC=PE 建立方程即可求出 a 即可得出结论； (3)设出点 M 的坐标，进而得出点 G，N 的坐标，利用 FM=MG 建立方程求解即可得出结论 (1，0)，设直线 BD 的解析式为 y=mx+n，304mnmn ，26mn ，直线 BD
22、 的解析式为 y=2x6，设点 P(a，2a6)C(0，3)，E(1，0)，根据勾股定理得，PE2=(a+1)2+(2a6)2，PC2=a2+(2a6+3)2PC=PE，(a+1)2+(2a6)2=a2+(2a6+3)2，a=2，y=2 (2)6=2，P(2，2)； (3)如图，作 PFx 轴于 F，F(2，0)设 M(d，0)，G(d，d2+2d3)，N(2，d2+2d3)以点 F，N， G， M 四点为顶点的四边形为正方形， 必有 FM=MG， |d+2|=|d2+2d3|， d=1212 或 d=3132 ，点 M 的坐标为(1212 ，0)，(1212 ，0)，(3132 ，0)，(3
23、132 ，0) 3、如图，直线 l 的解析式为 y=x+4，它与 x 轴和 y 轴分别相交于 A，B 两点平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动它与 x 轴和 y 轴分别相交于 C，D 两点，运动时间为 t 秒(0t4)， 以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE(E， O 两点分别在 CD 两侧) 若 CDE 和 OAB的重合部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象大致是( ) A B C D 【答案】C 【分析】分别求出 0t2 和 2t4 时，S 与 t 的函数关系式即可爬判断 4、将一个直角三角形纸片 ABO 放置
24、在平面直角坐标系中，点 A(3，0)，点 B(0，1)，点 O(0，0)P 是边AB 上的一点(点 P 不与点 A，B 重合)，沿着 OP 折叠该纸片，得点 A 的对应点 A (1)如图，当点 A在第一象限，且满足 ABOB 时，求点 A的坐标； (2)如图，当 P 为 AB 中点时，求 AB 的长； (3)当BPA=30时，求点 P 的坐标(直接写出结果即可) 【答案】(1)(2，1)；(2)1；(3)点 P 的坐标为(332，332)或(2 332，32) 【分析】(1)由点 A 和 B 的坐标得出 OA=3，OB=1，由折叠的性质得：OA=OA=3，由勾股定理求出 AB的值，即可得出点
25、A的坐标为(2，1)；(2)由勾股定理求出 AB=2，证出 OB=OP=BP，得出 BOP 是等边三角形，得出BOP=BPO=60 ，求出OPA=120 ，由折叠的性质得：OPA=OPA=120 ，PA=PA=1，证出 OBPA，得出四边形 OPAB 是平行四边形，即可得出 AB=OP=1；(3)分两种情况：点 A在 y 轴上，由 SSS 证明 OPAOPA，得出AOP=AOP=12AOB=45 ，得出点 P 在AOB 的平分线上，由待定系数法求出直线 AB 的解析式，即可得出点 P 的坐标；由折叠的性质得：A=A=30 ，OA=OA，作出四边形 OAPA是菱形， 得出 PA=OA=3， 作
26、PMOA 于 M， 由直角三角形的性质求出 PM 的长， 把32y 代入313yx 求出点 P 的纵坐标即可 【解答】(1)点 A(3，0)，点 B(0，1)，OA=3，OB=1，由折叠的性质得：OA=OA=3，ABOB，ABO=90 ，在 Rt AOB 中，AB=22OAOB=2，点 A的坐标为(2，1)； 如图所示： 点 A在 y 轴上， 在 OPA和 OPA 中， OA=OA， PA=PA， OP=OP， OPAOPA(SSS)，AOP=AOP=12AOB=45 ， 点P在AOB的平分线上， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把点A(3，0)，点 B(0，1)代入得：301kbb，解得
27、：331kb ，直线 AB 的解析式为313yx ，P(x，y)，313xx ，解得：x=332，P(332，332)； 如图所示： 由折叠的性质得： A=A=30 ， OA=OA， BPA=30 ， A=A=BPA， OAAP，PAOA，四边形 OAPA是菱形，PA=OA=3，作 PMOA 于 M，如图所示：学/科+-网 A=30 ，PM=12PA=32，把 y=32代入313yx 得：32 =313x，解得：x=2 332，P(2 332，32)； 综上所述：当BPA=30时，点 P 的坐标为(332，332)或(2 332，32) 再战高中题 能力提升 B 组组 1到两坐标轴的距离相等的
28、动点的轨迹方程是( ) A B C D 【答案】D 2 斜率为的直线过抛物线焦点， 交抛物线于， 两点， 点为中点， 作， 垂足为， 则下列结论中不正确的是( ) A为定值 B为定值 C点的轨迹为圆的一部分 D点的轨迹是圆的一部分 【答案】C 【解析】由题意知抛物线的焦点为，故直线的方程为， 由消去 y 整理得， 设，则， 选项 A 中， ，为定值故 A 正确 选项 B 中，为定值，故 B 正确 选项 C 中，由消去 k 得，故点的轨迹不是圆的一部分，所以 C 不正确 选项 D中，由于，直线过定点，所以点 Q 在以为直径的圆上，故 D 正确 综上选 C 3点 P(4，2)与圆 x2y24 上任
29、一点连线的中点的轨迹方程是( ) A (x2)2(y1)21 B (x2)2(y1)24 C (x4)2(y2)24 D (x2)2(y1)21 【答案】D 4设为椭圆上任意一点， ， ，延长至点，使得，则点的轨迹方程为( ) A B C D 【答案】B 【解析】 为椭圆上任意一点,且 A,B 为焦点， ， 又，所以点的轨迹方程为 5 ABC 的顶点 A(5,0)，B(5,0)， ABC 的周长为 22,则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) A B C D 【答案】D 6已知坐标平面上两个定点， ，动点满足： (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】分析：(1)直接利用，列出方程即可求出点 M 的轨迹方程，然后说明轨迹的形状； (2)设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线 l 的方程 详解：(1) 由得 化简得： ，轨迹为圆 (2)当直线的斜率不存在时，直线 符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为： 由圆心到直线的距离等于得 此时直线的方程为：
