1、第第 7 章章 二次函数的最值问题二次函数的最值问题 【知识衔接】 初中知识回顾 二次函数的增减性二次函数的增减性 当0a时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；当0a时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减少 二次函数的最值二次函数的最值 一般二次函数求最值 根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。 高中知识链接 给定自变量取值范围求二次函数的最值 如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。 如果给定的范围包含对称轴，需
2、要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。 具体归纳如下： 1、一元二次函数)0(2acbxaxy 044, 02min aabacya时，abacy442max 2、一元二次函数)0()(2acbxaxxfy在区间m,n上的最值。 1 当mab2 ，)()(),()(minmaxmfxfnfxf 2 当22nmabm，abacxfnfxf44)(),()(2minmax 3 当nabnm22时， abacxfmfxf44)(),()(2minmax 4nab2时， )()(),()(minmaxnfxfmfxf 3、一元二次函数)0()(2acbxaxxf
3、y在区间m,n上的最值类比 2 可求得。 【经典题型】 初中经典题型 1如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为(4，3)D 是抛物线上一点，且在x 轴上方则BCD 的最大值为 【答案】 2已知当 x1=a，x2=b，x3=c 时，二次函数21yxmx2对应的函数值分别为 y1，y2，y3，若正整数 a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，且当 abc 时，都有 y1y2y3，则实数 m 的取值范围是 【答案】5m 2 26yxx1523已知二次函数2yxbxc(b，c 为常数) ()当 b =2，c =-3 时，求二次函数的最小值； ()当 c
4、 =5 时，若在函数值 y =1 的情况下，只有一个自变量 x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式； ()当 c=b2时，若在自变量 x 的值满足 bxb+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 21，求此时二次函数的解析式 【答案】()二次函数取得最小值-4 ()542xxy或542xxy ()772xxy或1642xxy ()当 c=b2时， 二次函数的解析式为22bbxxy， 它的图象是开口向上， 对称轴为2bx的抛物线 分三种情况进行讨论， 对称轴位于 bxb+3 范围的左侧时， 即b； 对称轴位于 bxb+3 这个范围时，即 bb+3；对称轴位于 bxb+3 范围的右侧时，
5、即2bb+3，根据列出的不等式求得 b 的取值范围，再根据 x 的取值范围 bxb+3、函数的增减性及对应的函数值 y 的最小值为 21 可列方程求 b 的值(不合题意的舍去)，求得 b 的值代入也就求得了函数的表达式 2b2b ()当 c=b2时， 二次函数的解析式为22bbxxy 它的图象是开口向上， 对称轴为2bx的抛物线 若b 时，即 b0， 在自变量 x 的值满足 bxb+3 的情况下，与其对应的函数值 y 随 x 的增大而增大，故当 x=b 时，为最小值，解得，(舍去) 若 bb+3，即-2b0， 当 x=时，为最小值 ，解得(舍去)，(舍去) 高中经典题型 2b2223bbbbb
6、y2132b 71b72b2b2b22243)2()2(bbbbby21432b 721b722b1二次函数213222yxx 的图象如图所示，当1x0 时，该函数的最大值是( ) A3125 B4 C2 D0 【答案】C 2已知函数 42f xx xx，存在3210 xxx，使得 123f xf xf x，则123x xf x的取值范围是_ 【答案】64,81 【解析】 根据题意， 222 ,442 6 ,4xx xf xx xxxx x，由图象可知， 126,xx 1231116x xf xxxf x 2111166xxxx 22116xx 22139x， 21123,398,9xx Q，
7、 12364,81x xf x， 故答案为64,81 3已知函数，其中为常数 (1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，都有，求实数的取值范围 【答案】(1)(2) 【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在 x 轴上方，即，解得实数的取值范围 详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是 因此，解得 所以的取值范围是 (2)因为恒成立， 所以，整理得 解得 因此，的取值范围是 4如图，抛物线21251233yxx 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C若点 P 是线段 AC 上方的抛物线
8、上一动点，当ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( ) A(4，3) B(5，3512) C(4，3512) D(5，3) 【答案】C 【分析】连接 PC、PO、PA，设点 P 坐标(m，21251233mm)，根据 SPAC=SPCO+SPOASAOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题 【解析】连接 PC、PO、PA，设点 P 坐标(m，21251233mm) 令 x=0，则 y=53，点 C 坐标(0，53)，令 y=0 则212501233xx，解得 x=2 或 10，点 A 坐标(10，0)，点 B 坐标(2，0)，SPAC=SPCO+SPOASAOC=2151125151
9、0 ()10232123323mmm =25125(5)1212m，x=5 时，PAC 面积最大值为12512，此时点 P 坐标(5，3512)故选 C 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1已知二次函数2()1yxh(h 为常数)，在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为( ) A1 或5 B1 或 5 C1 或3 D1 或 3 【答案】B 【分析】由解析式可知该函数在 x=h 时取得最小值 1、xh 时，y 随 x 的增大而增大、当 xh 时，y 随 x的增大而减小，根据 1x3 时，函数的最小值为 5 可分如下两种情况：若
10、h1x3，x=1 时，y 取得最小值 5；若 1x3h，当 x=3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可 2一次函数与二次函数 交于 x 轴上一点，则当时，二次函数 的最小值为( ) A 15 B -15 C 16 D -16 【答案】D 【解析】分析：首先根据一次函数得出与 x 轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值 详解：根据一次函数解析式可得与 x 轴的交点坐标为(5，0)， 将(5，0)代入二次函数可得：2510b=0， 解得：b=15， 二次函数的解析式为：， 在中当 x=1 时，函数的最小值为16，故选 D 点睛：本题主要考查
11、的是二次函数的性质以及一次函数与 x 轴的交点坐标问题，属于中等难度题型解决这个问题的关键就是得出一次函数与 x 轴的交点，从而得出二次函数解析式 3二次函数 yx22x3，当 m2xm 时函数有最大值 5，则 m 的值可能为_ 【答案】0 或 4 【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量 x 的值，然后根据 m 的范围求出 m 的值即可 详解：令 y=5，可得 x22x3=5， 解得 x=-2 或 x=4 所以 m-2=-2，m=4 即 m=0或 4 故答案为：0或 4 点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，
12、第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解 4如图，点 A，B 的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线 y=a(x+m)2+n 的顶点在线段 AB 上，与 x 轴交于 C，D 两点(C 在 D 的左侧)，点 C 的横坐标最小值为3，则点 D 的横坐标的最大值为_ 【答案】8 【解析】分析：当 C点横坐标最小时，抛物线顶点必为 A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出 CD间的距离；当 D 点横坐标最大时，抛物线顶点为 B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及 CD的长，可判断出 D 点横坐标最大值 详解：当点 C 横坐标为3时,抛物线顶点为 A(1,4)，对称
13、轴为 x=1，此时 D 点横坐标为 5，则 CD=8； 当抛物线顶点为 B(4,4)时,抛物线对称轴为 x=4,且 CD=8,故 C(0,0),D(8,0)； 由于此时 D点横坐标最大， 故点 D的横坐标最大值为 8； 故选：D 点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键 5已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是_ 【答案】或 【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分 m2 和-1m2 三种情况，根据 y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得 详解：y=x 2mx=(xm)m
14、， 若 m2，当 x=2时，y=44m=2，解得：m=2(舍)； 若1m2,当 x=m时,y=m2=2，解得：m=或 m=1(舍)， m 的值为或， 故答案为：或 点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键 6若实数 a，b 满足 a+b2=1，则 2a2+7b2的最小值是_ 【答案】2 【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值 详解： ， 当，即 b=0 时，的值最小 最小值是 2 7 在平面直角坐标系中， 一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴交于点 A， 二次函数 y=x2+mx+n 的图象经过点 A (1)当 m=4 时，求 n
15、的值； (2)设 m=2，当3x0 时，求二次函数 y=x2+mx+n 的最小值； (3)当3x0 时，若二次函数3x0 时的最小值为4，求 m、n 的值 【答案】(1)3(2)-15(3)m=2，n=-3 【解析】分析：(1)根据一次函数与 x 轴的交点，求出 A 点的坐标，然后把 A 点坐标和 m 的值代入可求出 n的值； (2)表示出二次函数的对称轴，由 m 的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值； (3)根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出 m、n 的值 详解：(1)当 y=x+3=0 时，x=3， 点A 的坐标为(3，0) 二次函数 y=x2+mx+n 的图象经过点 A，
16、 0=93m+n，即 n=3m9，当 m=4 时，n=3m9=3 (2)抛物线的对称轴为直线 x=，当 m=2 时，对称轴为 x=1，n=3m9=15， 当3x0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x=0 时，二次函数 y=x2+mx+n 的最小值为15 (3)当对称轴3，即 m6 时，如图 1 所示 在3x0 中，y=x2+mx+n 的最小值为 0， 此情况不合题意； 当30，即0m6 时，如图 2， 有，解得：或(舍去)， m=2、n=3； 当0，即 m0 时，如图 3， 有，解得：(舍去) 综上所述：m=2，n=3 点睛：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合，正确判断二次函数的对称轴
17、，以及函数的图像与性质，利用二次函数的图像与性质判断其最值是关键，解题时应用到分类讨论思想和方程思想 8如图, 已知抛物线经过 A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)三点 (1)求此抛物线的解析式； (2)此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值； (3)若点 D(2，m)在此抛物线上，在 y 轴的正半轴上是否存在点 P，使得 BDP 是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)；(2)最大值为；(3)符合条件的点的坐标为或 【解析】分析：(1)将 A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入 y=ax2+bx+c，运用待定系数法
18、即可求出此抛物线的解析式；(2)由于二次项系数 a=-0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可； (3)先将点 D(2，m)代入(1)中所求的抛物线的解析式，求出 m 的值，得到点 D 的坐标，然后假设在 y 轴的正半轴上存在点 P(0，y)(y0)，使得 BDP 是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：PB=PD；BP=BD；DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于 y 的方程，解方程即可 详解：(1)将 A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入 y=ax2+bx+c，得， 解得： ，所以此抛物线的解析式为 y=-x2+x+4； (2)y=-x2+x+4，a=-0，抛
19、物线有最大值，最大值为； (3)点 D(2，m)在抛物线 y=-x2+x+4 上， m=- 22+2+4=4， D(2，4)， B(4，0)， BD= 假设在 y 轴的正半轴上存在点 P(0，y)(y0)，使得 BDP 是等腰三角形，分三种情况： 如果 PB=PD，那么 42+y2=22+(y-4)2，解得 y=，所以 P1(0，)； 如果 BP=BD，那么 42+y2=20，解得 y= 2(负值舍去)，所以 P2(0，2)； 如果 DP=DB，那么 22+(y-4)2=20，解得 y=0 或 8，y=0 不合题意舍去， y=8 时，(0，8)与 D，B 三点共线，不合题意舍去；学=科网 综上
20、可知，所有符合条件的 P 点的坐标为 P1(0，)，P2(0，2) 点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中运用分类讨论、方程思想是解题的关键 再战高中题 能力提升 B 组组 1、函数242xxy在区间4 , 1 上的最小值是( ) A、7 B、4 C、2 D、2 2、已知函数322xxy在闭区间0,m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是( ) A、), 1 B、0,2 C、1,2 D、2 ,( 3、如果函数cbxxxf2)(对任意实数都有)2()2(tftf，那么( ) A、)4()
21、1 ()2(fff B、)4()2() 1 (fff C、) 1 ()4()2(fff D、) 1 ()2()4(fff 4、若0, 0yx，且12yx，那么232yxz的最小值为( ) A、2 B、43 C、32 D、0 5、设21,xxRm是方程01222mmxx的两个实数根，则2221xx 的最小值是 。 6、)0(241xyxx的最小值是 。 7、函数xxy1的最大值是 ，最小值是 。 8、已知二次函数)(xf满足条件1)0(f和xxfxf2)() 1( (1)求)(xf (2)(xf在区间1，1上的最大值和最小值。 9、已知二次函数 1 , 0, 12)(2xaxxxf，求)(xf的最小值。 10、设 a 为实数，函数Rxaxxxf, 1|)(2，求)(xf的最小值。 B 组组参考答案：1、C 2、C 3、A 4、B 5、1 6、8 7、1 ,2 8、(1)1)(2xxxf (2)3)(maxxf 43)(m i nxf 9、12210101)(2mina aa a axf 10、当21a时，axf43)(min 当2121a时，1)(2min axf 当21a时，43)(min axf
