1、2022年中考数学一轮复习学案08：一元二次方程 中考命题说明考点课标要求考查角度1一元二次方程的解法了解一元二次方程的概念，理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程常以选择题、填空题、解答题的形式考查一元二次方程的定义和解法有时会要求用指定的方法解方程，以考查是否全面掌握了一元二次方程的解法2一元二次方程根的判别式了解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程根的判别式，部分地市以探究题的形式考查3一元二次方程应用题能够根据具体问题中的数量关系，列出方程解决实际问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的
2、数学模型；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程的列法，以列方程解应用题的形式考查解一元二次方程的基本思想和列方程解应用题的意识思维导图知识点1：一元二次方程及有关概念知识点梳理1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程2. 一般形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数3. 一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2
3、【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意a0因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根典型例题【例1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（）Ax2+1=0BCax2+bx+c=0D（x+1）（x1）=x2+x+1【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、化简后为1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，故选A【答案】A【例2】（4分
4、）（2021广东14/25）若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足-3x1-1，1x23，则符合条件的一个方程为 【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一【解答】解：若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足-3x1-1，1x23，满足条件的方程可以为：x2-2=0（答案不唯一），故答案为：x2-2=0（答案不唯一）【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【例3】（2分）（2021青海9/25）已知m是一元二次方程x2+x60的一个根，则代数式m2+m的
5、值等于 【考点】代数式求值；一元二次方程的解【分析】将xm代入原方程即可求m2+m的值【解答】解：将xm代入方程x2+x60，得m2+m60，即m2+m6，故答案为：6【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把m2+m当成一个整体，利用了整体的思想知识点2：一元二次方程的解法知识点梳理1. 解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解2. 常用方法：（1）直接开平方法：对于形如x2=p（p0）或(mx+n)2=p（p0）的方程，直接开平方（2）配方法：将一元二次方程ax2+bx+c=0（a
6、0）配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式为（）（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0的形式，进而得到x-a =0或x-b=0来求解3. 选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解.典型例题【例4】（3分）（2019
7、3;安徽省15/23）解方程：（x1）24【考点】解一元二次方程直接开平方法【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可【解答】解：两边直接开平方得：x1±2，x12或x12，解得：x13，x21【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2a（a0）的形式，利用数的开方直接求解（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2a（a0）；ax2b（a，b同号且a0）；（x+a）2b（b0）；a（x+b）2c（a，c同号且a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解
8、”（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点【例5】（3分）（2021海南8/22）用配方法解方程x2-6x+5=0，配方后所得的方程是（ ）A(x+3)2=-4B(x-3)2=-4C(x+3)2=4D(x-3)2=4【考点】解一元二次方程配方法【分析】把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方【解答】解：把方程x2-6x+5=0的常数项移到等号的右边，得到x2-6x=-5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-6x+9=-5+9，配方得(x-3)2=4故选：D【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二
9、次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数【例6】（5分）（2021新疆6/23）一元二次方程x2-4x+3=0的解为（ ）Ax1=-1，x2=3Bx1=1，x2=3Cx1=1，x2=-3Dx1=-1，x2=-3 【考点】解一元二次方程因式分解法【分析】利用因式分解法求解即可【解答】解：x2-4x+3=0，(x-1)(x-3)=0，则x-1=0或x-3=0，解得x1=1，x2=3故选：B【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式
10、法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键知识点3：一元二次方程的根的判别式知识点梳理1一元二次方程根的判别式： b24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）根的判别式常用字母“”表示2. 对于一元二次方程ax2bxc0（a0）：（1）当=b24ac0方程ax2bxc0（a0）有两个不相等的实数根，即；（2）当=b24ac0方程ax2bxc0（a0）有两个相等的实数根，即；（3）当=b24ac0方程ax2bxc0（a0）没有实数根典型例题【例7】（3分）（2021通辽4/26）关于x的一元二次方程x2-(k-3)x-k+1=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）A有两个不相
11、等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定【考点】根的判别式【分析】先计算判别式，再配方得到=(k-1)2+4，然后根据非负数的性质得到0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根【解答】解：=- (k-3)2-4(-k+1)= k2-6k+9-4+4k= k2-2k+5= (k-1)2+4，(k-1)20，(k-1)2+40，即0，方程总有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx +c=0(a0)的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当= 0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根【例8
12、】（4分）（2021云南5/23）若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）Aa1Ba1Ca1且a0Da1且a0【考点】根的判别式【分析】由一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式0，a0，继而可求得a的范围【解答】解：一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，a0，解得：a1，故选：D【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得0【例9】（3分）（2021河南7/23）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是（ ）A-1B0C1D【考点】根的判别
13、式【分析】根据根的判别式和已知条件得出，求出不等式的解集，再得出答案即可【解答】解：关于x的方程x2-2x+m=0没有实数根，解得：m1，m只能为，故选：D【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、为常数，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根【例10】（3分）（2021吉林10/26）若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 【考点】根的判别式【分析】由判别式=0求解【解答】解：一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，解得故答案为：【点评】本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一
14、元二次方程的根与判别式的关系知识点4：一元二次方程的根与系数的关系知识点梳理1. 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根分别为x1，x2，则有，2. 用根与系数的关系求值时的常见转化：（1）；（2）；（3）；（4）典型例题【例11】（3分）（2021江西9/23）已知x1，x2是一元二次方程x24x+30的两根，则x1+x1x1x2 【考点】根与系数的关系【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可【解答】解：x1，x2是一元二次方程x24x+30的两根，x1+x24，x1x23则x1+x2x1x2431故答案是：1【点评】本题考查
15、了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2= 【例12】（3分）（2020青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，x2=5请你写出正确的一元二次方程 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b，解得b=-6，c=6，所以正确
16、的一元二次方程为x2-6x+6=0故答案为x2-6x+6=0【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根时，知识点5：一元二次方程的应用知识点梳理1. 列一元二次方程解应用题的步骤：列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、找、设、列、解、验、答七步2. 常见类型：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系：增长率×100%；设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降
17、后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x)2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为a(1x)，第三年的产值为a(1x)2（2）利润等量关系：利润售价-成本；利润率利润成本×100%.总利润=单件的利润×数量（3）面积问题：充分利用各种图形对应的面积公式典型例题【例13】（4分）（2021福建6/25）某市2018年底森林覆盖率为63%为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为
18、x，那么，符合题意的方程是（ ）A0.63(1+x)=0.68B0.63(1+x)2=0.68C0.63(1+2x)=0.68D0.63(1+2x)2=0.68【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x，根据2018年及2020年的全市森林覆盖率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解答】解：设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x，根据题意得：0.63(1+x)2=0.68故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键【例14】（3分）（2021呼伦贝尔兴安盟10/26）有一
19、个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）A1+2x=81B1+ x2=81C1+x+x2=81D1+x+x(1+x)=81【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有(x+1)人患流感，第二轮共有x+1+ (x+1) x人，即81人患了流感，由此列方程求解【解答】解：设平均一人传染了x人，第一轮有(x+1)人患流感，第二轮共有x+1+ (x+1) x人，根据题意得：x+1+ (x+1) =81 x，故选：D【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传
20、染数量关系，从而可列方程求解【例15】（3分）（2020山西14/23）如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒则剪去的正方形的边长为 cm【考点】全等图形；一元二次方程的应用【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可【解答】解：设底面长为a cm，宽为b cm，正方形的边长为x cm，根据题意得：，解得a=10-2x，b=6-x，代入ab=24中，得：(10-2x)( 6-x)=24，整理得：x2-11x+18=0，解得x=2或x=9（舍去），答；剪去的正
21、方形的边长为2 cm故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组巩固训练1.（3分）（2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为 2.（3分）（2021赤峰9/26）一元二次方程，配方后可变形为（ ）ABCD3.（8分）（2019呼和浩特19/25）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x6）16的实数根4.（6分）（2021北京21/28）已知关于x的一元二次方程x24mx+3m20（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m0，且该方
22、程的两个实数根的差为2，求m的值5.（3分）（2019·通辽6/26）一个菱形的边长是方程x28x+150的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A48B24C24或40D48或806.（10分）（2020呼和浩特22/24）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题已知实数，满足，求的值7. （8分）（2020鄂尔多斯17（2）/24）先化简，再求值：（）÷，其中a
23、满足a2+2a1508.（3分）（2021上海12/25）若一元二次方程无解，则的取值范围为 9.（3分）（2020吉林9/26）一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为 10.（3分）（2020北京10/28）已知关于x的方程x2+2x+k0有两个相等的实数根，则k的值是 11.（3分）（2020新疆兵团5/23）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）ABx2+2x+40Cx2-x+20Dx2-2x012.（3分）（2020河南7/23）定义运算：mn=mn2-mn-1例如：42=4×22-4×2-1=7则方程1x=0的根的情况为（ ）A有两个不相等的实数
24、根B有两个相等的实数根C无实数根D只有一个实数根13.（3分）（2020通辽5/26）关于的方程有实数根，的取值范围是（ ）A且BC且D14.（3分）（2020兴安盟呼伦贝尔16/26）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 15.（3分）（2020上海10/25）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 16.（3分）（2020安徽5/23）下列方程中，有两个相等实数根的是ABCD17.（3分）（2019·河南省6/23）一元二次方程（x+1）（x1）2x+3的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根18.（3分）（2019&
25、#183;河北省15/26）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x1他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2则原方程的根的情况是（）A不存在实数根B有两个不相等的实数根C有一个根是x1D有两个相等的实数根19.（3分）（2019·北京市19/28）关于x的方程x22x+2m10有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根20.（3分）（2018·包头9/26）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m20有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A6B5C4D321.（8分）（2018&#
26、183;北京市20/28）关于x的一元二次方程ax2+bx+10（1）当ba+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根22.（3分）（2020江西8/23）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为 23.（3分）（2019包头10/26）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，则m的值是（）A34B30C30或34D30或3624.（3分）（2019呼和浩特8/25）若x1，x2是一元二次方程x2+x30的两个实数根，则x224x12+17
27、的值为（）A2B6C4D425.（3分）（2018·呼和浩特23/25）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1x226.（3分）（2021通辽6/26）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为，则可列方程为（ ）ABCD27.（10分）（2021重庆A卷23/26）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全
28、部售出已知产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元（1）、两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加求的值28.（10分）（2021重庆B卷23/26）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的
29、袋装生面（简称“生食”小面）已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加求的值29.（6分）（2021山西17/23）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个
30、方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）30.（3分）（2020河南8/23）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A5000(1+2x)=7500B5000×2(1+x)=7500C5000(1+x)2=7500D5000+5000(1+x)+ 5000(1+x)2=750031.（3分）（2020通辽15/26）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人
31、患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人32.（3分）（2019赤峰9/26）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A400（1+x2）900B400（1+2x）900C900（1x）2400D400（1+x）290033.（3分）（2018·通辽15/26）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 34.（3分）（201
32、8·赤峰10/26）20172018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）Ax(x1)380Bx(x1)380Cx(x+1)380Dx(x+1)38035.（3分）（2020上海22/25）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等求该商店去年8、9月份营业额的
33、月增长率36.（3分）（2019·重庆市24/26）某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活
34、动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值巩固训练解析1.（3分）（2018·兴安盟·呼伦贝尔15/26）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为 【考点】因式分解的应用；一元二次方程的解【分析】根据一元二次方程解的定义
35、得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可【解答】解：a，b是方程x2-x-3=0的两个根，a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6-2a+17=23故答案为：23【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问
36、题；利用因式分解简化计算问题也考查了一元二次方程解的定义2.（3分）（2021赤峰9/26）一元二次方程，配方后可变形为（ ）ABCD【考点】解一元二次方程配方法【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解答】解：，则，即，故选：A【点评】本题主要考查解一元二次方程配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得3.（8分）（2019呼和浩特19/25）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x6）16的实数根【解答】解：原方程化为一般形式为2x29x340，4.（6分）（2021北京21/28）已知关于x的一元二
37、次方程x24mx+3m20（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值【考点】根的判别式【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出4m2，利用偶次方的非负性可得出4m20，即0，再利用“当0时，方程有两个实数根”即可证出结论；（2）利用因式分解法求出x1m，x23m由题意得出m的方程，解方程则可得出答案【解答】（1）证明：a1，b4m，c3m2，b24ac（4m）24×1×3m24m2无论m取何值时，4m20，即0，原方程总有两个实数根（2）解：x24mx+3m20，即（xm）（x3m）0，x1m，x23mm0，且该方程的两
38、个实数根的差为2，3mm2，m1【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解5.（3分）（2019·通辽6/26）一个菱形的边长是方程x28x+150的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）A48B24C24或40D48或80【考点】解一元二次方程因式分解法；菱形的性质【分析】利用因式分解法解方程得到x15，x23，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积【解答】解：x28x+
39、150 可化为（x5）（x3）0，所以x15，x23，菱形一条对角线长为8，菱形的边长为5，菱形的另一条对角线为，菱形的面积故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了三角形三边的关系也考查了三角形三边的关系和菱形的性质6.（10分）（2020呼和浩特22/24）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解
40、决下面的问题已知实数，满足，求的值【考点】无理方程；解一元二次方程因式分解法；换元法解一元二次方程【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出，的值，再求出的值【解答】解：令，则原方程组可化为：，整理得：，得：，解得：，代入可得：，方程组的解为：或，当时，当时，因此的值为6或26【点评】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键7. （8分）（2020鄂尔多斯17（2）/24）先化简，再求值：（）÷，其中a满足a2+2a150【考点】分式的化简求值
41、；解一元二次方程因式分解法【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2+2a15，整体代入计算可得【解答】解：原式+÷（+），a2+2a150，a2+2a15，则原式【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键8.（3分）（2021上海12/25）若一元二次方程无解，则的取值范围为 【考点】根的判别式【分析】根据根的判别式的意义得到，然后求出的取值范围【解答】解：一元二次方程无解，解得，的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程
42、没有实数根9.（3分）（2020吉林9/26）一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为 【考点】根的判别式【分析】根据一元二次方程根的判别式=b2-4ac即可求出值【解答】解：a=1，b=3，c=-1，=b2-4ac =9+4=13所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13故答案为：13【点评】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式10.（3分）（2020北京10/28）已知关于x的方程x2+2x+k0有两个相等的实数根，则k的值是 【考点】根的判别式【答案】见试题解答内容【分析】根据根的判别式0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值【解答】解：关于x
43、的方程x2+2x+k0有两个相等的实数根，224×1×k0，解得：k1故答案为：1【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键11.（3分）（2020新疆兵团5/23）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）ABx2+2x+40Cx2-x+20Dx2-2x0【考点】根的判别式【分析】分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案【解答】解：A此方程判别式，方程有两个相等的实数根，不符合题意；B此方程判别式，方程没有实数根，不符合题意；C此方程判别式，方程没有实数根，不符合题意；D此方程判别式，方程有两个
44、不相等的实数根，符合题意；故选：D【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2bxc0（a0）的根与=b24ac的关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根12.（3分）（2020河南7/23）定义运算：mn=mn2-mn-1例如：42=4×22-4×2-1=7则方程1x=0的根的情况为（ ）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D只有一个实数根【考点】实数的运算；根的判别式【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案【解答】解：由题意可知：1x=x2-x-1=0，故选：A【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型13.（3分）（2020通辽5/26）关于的方程有实数根，的取值范围是（ ）
