1、8 8. .6 6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 8 8. .6.16.1 直线与直线垂直直线与直线垂直 基础达标 一、选择题 1.若空间三条直线 a，b，c 满足 ab，bc，则直线 a 与 c( ) A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 解析 ab，bc，ac. 答案 B 2.直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，在三棱柱所有的棱中，和 AC 垂直且异面的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析 和 AC 垂直且异面的直线有 A1B1和 BB1，故选 B. 答案 B 3.如图，点 P，Q 分别是正方体 ABCDA1B1C1D
2、1的面对角线 AD1，BD 的中点，则异面直线 PQ 和 BC1所成的角为( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析 如图，连接 AC，D1C. 由 P，Q 分别为 AD1，BD 的中点，得 PQCD1. 又 BC1AD1，AD1C(或其补角)为异面直线 PQ 和 BC1所成的角. ACD1为等边三角形，AD1C60 ， 即异面直线 PQ 和 BC1所成的角为 60 . 答案 C 4.空间四边形 ABCD 中，AB，BC，CD 的中点分别是 P，Q，R，且 PQ2，QR 5，PR3，那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是( ) A.90 B.60 C.45 D.30 解析 PQR(
3、或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知PQR90 . 答案 A 5.如图，在三棱锥 DABC 中，ACBD，且 ACBD，E，F 分别是棱 DC，AB的中点，则 EF 和 AC 所成的角等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 FG，EG. E，F 分别是 CD，AB 的中点， FGAC，EGBD， 且 FG12AC，EG12BD. EFG 为 EF 与 AC 所成的角(或其补角). 又ACBD，FGEG. 又ACBD，FGEG，FGE90 ， EFG 为等腰直角三角形， EFG45 ，即 EF 与 AC 所成的角为 45 . 答案 B
4、二、填空题 6.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是 A1D1和 BC 的中点，则在长方体所有的棱中和 EF 垂直且异面的有_条. 解析 长方体所有的棱中和 EF 垂直且异面的有 AD，B1C1，共 2 条. 答案 2 7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ABEF；AB 与 CM 所成的角为 60 ；EF 与 MN 是异面直线；MNCD. 以上结论正确的为_(填序号). 解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，ABEF，EF 与 MN 是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确. 答案 8.如图，空间四边形 ABCD 的对角线 AC8，B
5、D6，M，N 分别为 AB，CD 的中点，并且异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90 ，则 MN_. 解析 取 AD 的中点 P，连接 PM，PN， 则 BDPM，ACPN，MPN 即为异面直线 AC 与 BD 所成的角(或其补角)， MPN90 ，PN12AC4，PM12BD3，MN5. 答案 5 三、解答题 9.如图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F 分别是 BD1和 AD 的中点，求证：CD1EF. 证明 如图，取 CD1的中点 G， 连接 EG，DG， E 是 BD1的中点， EGBC，EG12BC.F 是 AD 的中点，且 ADBC，ADBC， DFBC
6、，DF12BC， EGDF，EGDF，四边形 EFDG 是平行四边形， EFDG， DGD1(或其补角)是异面直线 CD1与 EF 所成的角. 又A1AAB，四边形 ABB1A1、四边形 CDD1C1都是正方形，又 G 为 CD1的中点，DGCD1， D1GD90 ，异面直线 CD1与 EF 所成的角为 90 . 所以 CD1EF. 10.如图所示， 等腰直角三角形 ABC 中， BAC90 ， BC 2， DAAC， DAAB，若 DA1，且 E 为 DA 的中点，求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值. 解 取 AC 的中点 F，连接 EF，BF. 在ACD 中，E，F 分别是 AD，
7、AC 的中点，EFCD， BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角). 在 RtABC 中，BC 2，ABAC，ABAC1. 在 RtEAB 中，AB1，AE12AD12，BE52. 在 RtAEF 中，AF12AC12，AE12，EF22. 在 RtABF 中，AB1，AF12，BF52. 在等腰三角形 EBF 中，cos FEB12EFBE24521010， 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为1010. 能力提升 11.空间四边形 ABCD 中，ADBC2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF 3，则异面直线 AD，BC 所成的角为_. 解析 如图取 AC
8、 的中点为 H，连接 EH，HF，则易得 EHBC，FHAD，所以EHF 就是异面直线 AD，BC 所成的角(或所成角的补角)，因为 ADBC2，所以 EHHF1，则EHF 是等腰三角形，又 EF 3，所以EHF120 ，则异面直线 AD，BC 所成的角为 60 . 答案 60 12.如图，已知点 P 在圆柱 OO1的底面O 上，AA1AB，BPA1P，AB，A1B1分别为O， O1的直径， 且 ABA1B1.若圆柱 OO1的体积 V12， OA2， AOP120 ，回答下列问题. (1)求三棱锥 A1APB 的体积； (2)在线段 AP 上是否存在一点 M， 使异面直线 OM 与 A1B 所
9、成的角的余弦值为25？若存在，请指出点 M 的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得 VOA2 AA14AA112，解得 AA13. 由 OA2，AOP120 ，得BAP30 ，BP2，AP2 3， SPAB1222 32 3， 三棱锥 A1APB 的体积 VA1APB13SPAB AA1132 332 3. (2)当点 M 为 AP 的中点时，异面直线 OM 与 A1B 所成的角的余弦值为25. 证明如下： O，M 分别为 AB，AP 的中点， OMBP， A1BP 就是异面直线 OM 与 A1B 所成的角. AA13，AB4，AA1AB，A1B5. 又 BPA1P，co
10、sA1BPBPA1B25， 当点 M 为 AP 的中点时，异面直线 OM 与 A1B 所成的角的余弦值为25. 创新猜想 13.(多空题)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1与 AC，AB 所成的角均为 60 ，BAC90 ，且 ABACAA1，E 是 B1C1的中点，则直线 AE 与 BC 所成的角为_，直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为_. 解析 如图所示，连接 AB1，由三棱柱的性质可得 AC1AB1，又因为 E 是 B1C1的中点，所以 AEB1C1，又 BCB1C1，所以 AEBC，即直线 AE 与 BC 所成的角为 90 . 如图所示，把三棱柱补为四棱柱 ABDCA1
11、B1D1C1，连接 BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知 BD1AC1，则A1BD1就是异面直线 A1B 与 AC1所成的角.设 ABa， AA1与 AC，AB 所成的角均为 60 ，且 ABACAA1， A1Ba，BD1AC12AA1 cos 30 3a. 又BAC90 ，在矩形 ABDC 中，AD 2a， A1D1 2a， A1D21A1B2BD21，BA1D190 ， 在 RtBA1D1中，cos A1BD1A1BBD1a3a33. 答案 90 33 14.(多空题)如图，若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2，高为 4，则异面直线 BD1与 AA1所成角的正弦值为_，异面直线 BD1与 AD 所成角的正弦值是_. 解析 因为 AA1DD1，所以DD1B 即为异面直线 BD1与 AA1所成的角，连接BD，在 RtD1DB 中， sin DD1BDBBD12 22 633. ADBC，D1BC 即为异面直线 BD1与 AD 所成的角(或其补角)， 连接 D1C， 在D1BC 中， 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2， 高为 4， D1B2 6，BC2，D1C2 5，D1B2BC2D1C2， D1CB90 ，sin D1BCD1CD1B2 52 6306， 故异面直线 BD1与 AD 所成角的正弦值是306. 答案 33 306
