1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 数学文化了解数学文化的发展与应用 圆锥曲线发展史 2 000 多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得 了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来 研究这几种曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； 把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的 一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.阿波罗尼 (Apollonius，前 262前 190 年)与欧几里德是同时代人，其巨著圆锥曲线论 与欧几里德的 几何原本 同被誉为古希腊几何的登峰造极之作.在 圆锥曲线论 中，阿波罗尼总结了前人的工作，并
2、对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使 之系统化，在此基础上，又提出许多自己的创见.事实上，阿波罗尼在其著作中使 用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果. 读图探新发现现象背后的知识 链接：圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，它们有很多非常好的 几何性质，这些几何性质在日常生活和社会生产中都有着重要而广泛的应用，因 此学习这部分内容对于提高自身素质非常重要.本章将在学习直线和圆的基础上， 进一步学习圆锥曲线及其方程，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的重要作用，并进一步体会“数形结合”这一重要的数学思想. 3.1 椭椭 圆圆 3.1.1 椭圆及其标准方
3、程椭圆及其标准方程 课标要求 素养要求 1.了解圆锥曲线的实际背景， 感受圆锥曲线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程， 掌握椭圆 的定义、标准方程. 通过研究椭圆的定义及标准 方程，提升数学抽象、数学运 算及逻辑推理素养. 自主梳理 1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为 半焦距. 在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点 F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非 常重要的一个条件，可以验证：如果这个常数等于两定点 F1，
4、F2之间的距离，动 点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点 F1，F2之间的距离，动点的轨 迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件. 2.椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 焦点 (c，0)，(c，0) (0，c)，(0，c) a，b，c 的关系 c2a2b2 c2a2b2 (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆 的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴. (2)两种椭圆x 2 a2 y2 b21， y2 a2 x2 b2
5、1(ab0)的相同点是： 它们的形状、 大小都相同， 都有 ab0，a2b2c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不 同. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)已知点 F1(1，0)，F2(1，0)，动点 P 满足|PF1|PF2|4，则点 P 的轨迹是椭 圆.() (2)已知点 F1(1，0)，F2(1，0)，动点 P 满足|PF1|PF2|2，则点 P 的轨迹是椭 圆.() 提示 因为|PF1|PF2|F1F2|，所以点 P 的轨迹是线段 F1F2. (3)已知点 F1(0，1)，F2(0，1)，动点 P 满足|PF1|PF2|1，则点 P 的轨迹是椭 圆.() 提示 因
6、为|PF1|PF2|F1F2|，所以点 P 的轨迹不存在. (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.() 2.设 F1，F2为定点，|F1F2|6，动点 M 满足|MF1|MF2|6，则动点 M 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 答案 D 解析 |MF1|MF2|6|F1F2|，动点 M 的轨迹是线段. 3.已知椭圆 4x2ky24 的一个焦点坐标是(0，1)，则实数 k 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 将椭圆方程化为标准方程为 x2y 2 4 k 1，又其一个焦点坐标为(0，1)，故4 k 11，解得 k2. 4.设 F1，
7、F2是椭圆 x2 169 y2 251 的焦点，P 为椭圆上一点，则PF1F2 的周长为 _. 答案 50 解析 由椭圆方程， 知 a2169， b225， a13， ca2b212.由椭圆定义， 知|PF1|PF2|2a26，又|F1F2|2c24，故PF1F2的周长为 2a2c50. 题型一 椭圆定义的应用 角度 1 椭圆定义的直接应用 【例 11】 如图所示，已知过椭圆 x2 25 y2 161 的右焦点 F2 的 直线 AB 交椭圆于 A， B 两点， F1是椭圆的左焦点.若|F1A|F1B| 14，试求弦 AB 的长. 解 由椭圆方程 x2 25 y2 161 可得 a5， 故由椭圆
8、定义有|AF1|AF2|2a10， |BF1|BF2|2a10， 又|AF2|BF2|AB|， 所以|AB|(|AF1|AF2|BF1|BF2|)(|F1A|F1B|)20146. 角度 2 椭圆中的焦点三角形 【例 12】 已知点 P 是椭圆y 2 5 x2 41 上的一点，F1，F2 分别是椭圆的两个焦 点，且F1PF230 ，求F1PF2的面积. 解 由椭圆方程y 2 5 x2 41 可得 a 5，b2，c a 2b21. 在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cosF1PF2 (|PF1|PF2|)22|PF1| |PF2|2|P
9、F1| |PF2| cos 30 ， 4(2 5)2(2 3)|PF1| |PF2|， |PF1| |PF2|16(2 3). SF1PF21 2|PF1| |PF2| sin 30 84 3. 思维升华 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很 多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面 积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、 正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关 系.在解题中，经常把|PF1| |PF2|看作一个整体来处理. 【训练 1】 已知两定点 F1(1，0)，F2(1
10、，0)，动点 P 满足|PF1|PF2|2|F1F2|. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)若F1PF260 ，求PF1F2的面积. 解 (1)依题意知|F1F2|2，|PF1|PF2|2|F1F2|42|F1F2|， 点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆， 且 2a4，2c2，a2，c1，b 3， 故所求点 P 的轨迹方程为x 2 4 y2 31. (2)设 m|PF1|，n|PF2|，则 mn2a4. 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2m2n22mncosF1PF2， 4(mn)22mn(1cos 60 )，解得 mn4. SPF1F21 2mnsinF1PF2 1 2
11、4sin 60 3. 题型二 求椭圆的标准方程 【例 2】 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(4，0)，(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和 是 10； (2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0). 解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0). 因为 2a10，所以 a5. 又因为 c4，所以 b2a2c252429. 故所求椭圆的标准方程为 x2 25 y2 91. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0). 因为椭圆经过点(0，
12、2)和(1，0)， 所以 4 a2 0 b21， 0 a2 1 b21， a 24， b21， 故所求椭圆的标准方程为y 2 4x 21. 思维升华 求椭圆的标准方程时， 要“先定型， 再定量”， 即要先判断焦点位置， 再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程， 最后由条件确定待定系数即可. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类 讨论，但要注意 ab0 这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把 椭圆的方程设成 Ax2By21(A0，B0，AB)的形式有两个优点：列出的方 程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程. 【
13、训练 2】 求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，2)和 B(2 3，1)两点的椭圆 的标准方程. 解 法一 (1)当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 依题意有 （ 3） 2 a2 （2） 2 b2 1， （2 3）2 a2 1 2 b21， 解得 a 215， b25. 故所求椭圆的标准方程为 x2 15 y2 51. (2)当焦点在 y 轴上时， 设椭圆的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 依题意有 （2） 2 a2 （ 3） 2 b2 1， 12 a2 （2 3）2 b2 1， 解得 a 25， b215. 此时不符合 ab0，所
14、以方程组无解. 故所求椭圆的标准方程为 x2 15 y2 51. 法二 设所求椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0 且 AB)， 依题意有 3A4B1， 12AB1，解得 A 1 15， B1 5. 故所求椭圆的标准方程为 x2 15 y2 51. 题型三 求与椭圆有关的轨迹问题 【例 3】 已知 B，C 是两个定点，|BC|8，且ABC 的周长等于 18.求这个三角 形的顶点 A 的轨迹方程. 解 以过 B，C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角 坐标系 xOy，如图所示. 由|BC|8 可知点 B(4，0)，C(4，0). 由|AB|AC|BC|18
15、 得|AB|AC|108|BC|， 因此，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之 和 2a10，但点 A 不在 x 轴上. 由 a5，c4， 得 b2a2c225169. 所以点 A 的轨迹方程为 x2 25 y2 91(y0). 思维升华 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看 其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程. 【训练 3】 已知圆 A：(x3)2y2100，圆 A 内一定点 B(3，0)，圆 P 过点 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程. 解 如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过点 B， |PB|r. 又圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10， 两圆的圆心距|PA|10r， 即|PA|PB|10(大于|AB|6). 圆心 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆. 2a10，2c|AB|6. a5，c3，b2a2c225916. 圆心 P 的轨迹方程为 x2 25 y2 161. 1.一个定义椭圆的定义 平面内到两定点 F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a： 当 2a|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当 2a|F1F2|时，轨迹是一条线段 F1F2； 当 2a0，B0，AB) 求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.
