1、 1 椭椭 圆圆 1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 学习目标 1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程. 知识点一 椭圆的定义 1.定义：平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合. 2.焦点：两个定点 F1，F2. 3.焦距：两个焦点 F1，F2间的距离. 4.几何表示：|MF1|MF2|2a(常数)且 2a|F1F2|. 知识点二 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 焦点坐标 F1(c，0)，F2(c，0) F1(0，c)，
2、F2(0，c) a，b，c 的关系 b2a2c2 思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？ 答案 能.根据 x2与 y2的分母的大小来判定，谁的分母大，焦点就在谁轴上. 1.已知 F1(4， 0)， F2(4， 0)， 平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆.( ) 2.已知 F1(4， 0)， F2(4， 0)， 平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆.( ) 3.平面内到点 F1(4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点 M(5，3)到 F1，F2的距离之和的点 的轨迹是椭圆.( ) 4.平面内到点 F1(4，0)，F2(4，0)距离
3、相等的点的轨迹是椭圆.( ) 题型一 求椭圆的标准方程 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点 3 2， 5 2 ； (3)经过点 P 1 3， 1 3 ，Q 0，1 2 . 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以 4 a2 0 b21， 0 a2 1 b21， 所以 a24， b21. 所以所求椭圆的标
4、准方程为y 2 4x 21. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 由椭圆的定义知， 2a 3 2 2 5 22 2 3 2 2 5 22 22 10， 即 a 10， 又 c2，所以 b2a2c26， 所以所求椭圆的标准方程为y 2 10 x2 61. (3)方法一 当椭圆焦点在 x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0). 依题意，有 1 3 2 a2 1 3 2 b2 1， 0 1 2 2 b2 1， 解得 a21 5， b21 4. 由 ab0，知不合题意，故舍去； 当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的
5、标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0). 依题意，有 1 3 2 a2 1 3 2 b2 1， 1 2 2 a2 01， 解得 a21 4， b21 5. 所以所求椭圆的标准方程为y 2 1 4 x 2 1 5 1. 方法二 设椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn). 则 1 9m 1 9n1， 1 4n1， 解得 m5， n4. 所以所求椭圆的方程为 5x24y21， 故椭圆的标准方程为y 2 1 4 x 2 1 5 1. 反思感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准
6、方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先 定位，后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论，但要 注意 ab0 这一条件. (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成 mx2ny21(m0，n0 且 mn)的形式有两个优点： 列出的方程组中分母不含字母； 不用讨论焦点所在的位置， 从而简化求解过程. 跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26； (2)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2， 2)和 1， 14 2 的椭圆的标准方
7、程 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0). 因为 2a26，2c10，所以 a13，c5. 所以 b2a2c2144. 所以所求椭圆的标准方程为 y2 169 x2 1441. (2)由椭圆x 2 3y 21，知焦点在 x 轴上， 则 c2312，c 2， 椭圆的两个焦点坐标分别为( 2，0)和( 2，0) 设所求椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 a221(a 22)， 把( 2，1)代入方程，得 2 a2 1 a221， 化简，得 a45a240， a24 或 a21(舍
8、)， 所求椭圆的标准方程为x 2 4 y2 21. 题型二 椭圆定义的应用 命题角度 1 利用椭圆定义求轨迹方程 例 2 如图所示，已知动圆 P 过定点 A(3，0)，并且在定圆 B：(x3)2y264 的内部与其 内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程. 考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程 解 设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M，动圆圆心 P 到两定点 A(3，0)和 B(3，0)的距离之和恰 好等于定圆半径， 即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|， 所以动圆圆心 P 的轨迹是以 A，B 为左、右焦点的椭圆， 其中 c3，a4，b2a2c242327， 其轨迹方程
9、为x 2 16 y2 71. 反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 跟踪训练 2 如图所示，在圆 C：(x1)2y225 内有一点 A(1，0).Q 为圆 C 上任意一点， 线段 AQ 的垂直平分线与 C，Q 的连线交于点 M，当点 Q 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹 方程. 考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 与椭圆定义有关的轨迹方程 解 如图所示，连接 MA. 由题意知点 M 在线段 CQ 上， 从而有|CQ|MQ|CM|. 又点 M 在 AQ 的垂直平分线上， 则|MA|MQ|， 故|MA|MC|CQ|52c2. 又 A(1，0)，C(1，0)， 故点 M 的轨迹是以(1，
10、0)，(1，0)为焦点的椭圆， 且 2a5，c1， 故 a5 2，b 2a2c225 4 121 4 . 故点 M 的轨迹方程为x 2 25 4 y 2 21 4 1. 命题角度 2 椭圆中的焦点三角形问题 例 3 已知 P 为椭圆x 2 12 y2 31 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，F1PF260 ，求F1PF2的 面积. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 由已知得 a2 3，b 3， 所以 c a2b2 1233， 从而|F1F2|2c6， 在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|cos 60 ， 即 36|PF1|2|PF2|2|
11、PF1| |PF2|. 由椭圆的定义得|PF1|PF2|4 3， 即 48|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|. 由得|PF1| |PF2|4. 所以 12 F PF S1 2|PF1| |PF2| sin 60 3. 引申探究 若将本例中“ F1PF260 ”变为“PF1F290 ”，求F1PF2的面积. 解 由已知得 a2 3，b 3， 所以 c a2b2 1233. 从而|F1F2|2c6. 在PF1F2中，由勾股定理可得 |PF2|2|PF1|2|F1F2|2， 即|PF2|2|PF1|236， 又由椭圆定义知|PF1|PF2|22 34 3， 所以|PF2|4 3|PF1
12、|. 从而有(4 3|PF1|)2|PF1|236， 解得|PF1| 3 2 . 所以PF1F2的面积 S1 2 |PF1| |F1F2| 1 2 3 2 63 3 2 ， 即PF1F2的面积是3 3 2 . 反思感悟 (1)椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1， F2构成的PF1F2称为焦点三角形.解关于 椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解. (2)焦点三角形的常用公式 焦点三角形的周长 L2a2c. 在PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2. 设 P(xP，yP)，焦点三角形的面
13、积 12 F PF Sc|yP|1 2|PF1|PF2| sinF1PF2b 2tanF1PF2 2 . 跟踪训练 3 已知 F1，F2为椭圆x 2 25 y2 91 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点.若 |F2A|F2B|12，则|AB|_. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 8 解析 由直线 AB 过椭圆的一个焦点 F1， 知|AB|F1A|F1B|， 所以在F2AB 中，|F2A|F2B|AB|4a20， 又|F2A|F2B|12，所以|AB|8. 待定系数法求椭圆的标准方程 典例 如图，点 A 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的短轴位于
14、x 轴下方的端点，过 A 作斜率为 1 的直线 l 交椭圆于点 B，若点 P 的坐标为(0，1)，且满足 BPx 轴，AB AP9，求椭圆 C 的 方程 解 由题意得 A(0，b)， 直线的方程为 yxb， 由 P(0,1)且 BPx 轴，得 B(1b,1)， 所以AB (1b，1b)，AP(0，1b)， 因为AB AP9，故 0(1b)29， 注意到 b0，于是 b2，所以 B(3，1)， 将 B(3，1)代入椭圆x 2 a2 y2 41， 得 9 a2 1 41，解得 a 212， 综上所述，椭圆 C 的方程为x 2 12 y2 41. 素养评析 (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程，有下
15、面几种情况： 如果明确椭圆的焦点在 x 轴上，那么设所求的椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)； 如果明确椭圆的焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为y 2 a2 x2 b1(ab0)； 如果中心在原点， 但焦点的位置不能明确是在 x 轴上， 还是在 y 轴上， 那么方程可以设为 mx2 ny21(m0，n0，mn)，进而求解 (2)待定系数法求圆锥曲线方程能有力的明晰数学运算的目标性和方向性，能较好的体现运用 解析法进行数学运算的核心素养 1.椭圆x 2 25y 21 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 考点
16、椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D 解析 设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，|PF1|2， 结合椭圆定义|PF2|PF1|10，可得|PF2|8. 2.已知椭圆的焦点为(1，0)和(1，0)，点 P(2，0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为( ) A.x 2 4 y2 31 B.x 2 4y 21 C.y 2 4 x2 31 D.y 2 4x 21 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 A 解析 c1，a2，b2a2c23， 椭圆的标准方程为x 2 4 y2 31. 3.若方程 x2ky22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是( ) A.(0
17、，) B.(0，2) C.(1，) D.(0，1) 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆标准方程的应用 答案 D 解析 方程 x2ky22，即x 2 2 y2 2 k 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 2 k2，故 0k|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a|F1F2| 动点的轨迹是线段 F1F2 2a|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 2.求椭圆标准方程常用待定系数法，首先应恰当地选择方程的形式.若不确定焦点位置，则需 分类讨论. 3.焦点三角形中常用的关系式 (1)|PF1|PF2|2a. (2) 12 F PF S1 2|PF1|PF2| sinF1PF2. (3)|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cosF1PF2. (4)|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1| |PF2|.
