1、2.1 抛物线及其标准方程,第三章 2 抛物线,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导. 3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 抛物线的定义 1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的 的点的集合. 2.焦点：定点F. 3.准线：定直线l.,距离相等,知识点二 抛物线的标准方程,y22px(p0),y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0),1
2、.抛物线的方程都是二次函数.( ) 2.抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) 3.抛物线的开口方向由一次项确定.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 求抛物线的标准方程,例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)经过点(3，1)；,解 因为点(3，1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0). 若抛物线的标准方程为y22px(p0)，,若抛物线的标准方程为x22py(p0)，,(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点.,解 对于直线方程3x4y120， 令x0
3、，得y3；令y0，得x4， 所以抛物线的焦点为(0，3)或(4，0).,此时抛物线的标准方程为x212y；,此时抛物线的标准方程为y216x. 故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.,反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤,注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论情况的个数.,跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：,(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.,解 已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)， 由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x
4、210y和x210y.,命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程) 例2 已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程.,题型二 抛物线定义的应用,多维探究,解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等. 由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.,反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件
5、，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.,跟踪训练2 已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.,解 设动点M(x，y)，M与直线l：x3的切点为N， 则|MA|MN|， 即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等， 点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x3为准线，,故动圆圆心M的轨迹方程是y212x.,命题角度2 利用抛物线定义求最值 例3 如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标.,由定义知|PA|PF|PA|d.,此时P点纵坐标为2，代入
6、y22x，得x2. 点P坐标为(2，2).,引申探究 若将本例中的点A(3，2)改为点(0，2)，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.,解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.,反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.,跟踪训练3 已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是,解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1，0). 设点P到直线l的
7、距离为d， 由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1， 所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1. 易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，,核心素养之数学建模,HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO,抛物线的实际应用问题,典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？,解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x22py(p0)， 由题意可知，点
8、B(4，5)在抛物线上，,当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航， 设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，,又知船面露出水面上的部分高为0.75 m， 所以h|yA|0.752(m). 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.,素养评析 首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系. (2)假设：设出合适的抛物线标准方程. (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程. (4)求解：求出需要求出的量. (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.,3,达标检测,PART THR
9、EE,1,2,3,4,5,1.若动点P到定点F(4，0)的距离与到直线x4的距离相等，则P点的轨迹是 A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线,解析 动点P的条件满足抛物线的定义.,1,2,3,4,5,2.已知抛物线y2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为,解析 由抛物线y2px2过点(1，4)，可得p2，,1,2,3,4,5,3.一动圆过点(0，1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x24y上，则l的方程为,解析 因为动圆过点(0，1)且与定直线l相切， 所以动圆圆心到点(0，1)的距离与它到定直线l的距离相等， 又因为动圆圆心在抛物线x24y上，且(0，1)为抛物线的焦点， 所以l为抛物
10、线的准线，所以l：y1.,1,2,3,4,5,4.若抛物线y22px的焦点坐标为(1，0)，则p_，准线方程为_.,2,x1,1,2,3,4,5,5.抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标.,则d|MF|10，,抛物线方程为y24x. 将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6. M点坐标为(9，6)或(9，6).,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题. 2.在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)定量(参数p的值)”的程序求解.,
