1、2.1.1 椭圆及其标准方程(一),第二章 2.1 椭 圆,学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 椭圆的定义,答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.,思考 给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？,梳理 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹 (2)焦点：两个定点F1，F2
2、. (3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示：|MF1|MF2| (常数)且2a |F1F2|.,常数,2a,思考 在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？,知识点二 椭圆的标准方程,答案 不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定.,梳理,F1(c，0)，F2(c，0),F1(0，c)，F2(0，c),c2a2b2,思考辨析 判断正误 1.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( ) 2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( ) 3.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2. ( ),题型探究,命题角度1 求椭圆的标准方
3、程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,类型一 椭圆的标准方程,解答,这与ab相矛盾，故应舍去.,方法二 设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn).,解答,由椭圆的定义可得,2a12，即a6. c4，b2a2c2624220，,方法二 由题意可设椭圆的标准方程为,解得11或21(舍去)，,反思与感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程. (2)待定系数法 先确定焦点位置；设出方程；寻求a，b，c的等量关系；求a，b的值，代入所设方程.,特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为
4、mx2ny21(mn，m0，n0).,跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,解答,解 椭圆的焦点在y轴上，,b2a2c26.,由椭圆的定义知，,解答,解 椭圆的焦点在y轴上，,(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；,又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，,解答,解 设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，,命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围),答案,解析,(0,1),反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式；,答案,解析,(7,10),根据其表示焦点在x轴上的椭圆，,答案,解析,4或8,解析 当焦点在x轴上时，10m(m2)4，
5、解得m4. 当焦点在y轴上时，m2(10m)4， 解得m8. m4或8.,类型二 椭圆定义的应用,解答,解 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|. ,即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|. 由得|PF1|PF2|4,解答,引申探究 若将本例中“F1PF260”变为“F1PF290”，求F1PF2的面积.,因为F1PF290， 所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|236， 所以|PF1|PF2|6，,反思与感悟 (1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关
6、于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量.,答案,跟踪训练3 已知AB是过椭圆 y21的左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|_.,解析 由椭圆定义，知|AF1|AF2|2a， |BF1|BF2|2a， 所以|AF1|AF2|BF1|BF2|4a6. 所以|AF1|BF1|642，即|AB|2.,解析,2,达标检测,答案,解析,1.“平面内一动点到两定点
7、的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,解析 若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值.平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种.所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件.,答案,解析,2.椭圆 y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 A.5 B.6 C.7 D.8,解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|2. 结合椭圆定义|PF2|PF1|1
8、0，故|PF2|8.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为,1,2,3,4,5,答案,4.设F1，F2是椭圆 1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，则F1PF2的面积等于_.,4,1,2,3,4,5,解析,|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21， |PF1|4，|PF2|2， |PF1|2|PF2|2|F1F2|2， PF1F2是直角三角形，且PF1PF2，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.,规律与方法,
