1、第七节 立体几何中的向量方法 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，利用向量法求空间角和空间距离 是高考的重点，考查频率较高，线、面的平行和垂直问题一 般不用向量法求解，但向量法的使用有时可以加快求解速 度，主要以解答题的形式出现，难度中等 本节通过对空间角的求解、空 间向量的应用，考查考生转化 与化归思想的应用，提升考生 的直观想象、数学运算、逻辑 推理核心素养 授课提示：对应学生用书第 158 页 知识点 空间角的求法 1设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 u，则 （1）线线平行：lmabakb，kR； 线面平行：laua u0； 面面平行：u
2、uk，kR （2）线线垂直：lmaba b0； 线面垂直：lauaku，kR； 面面垂直：uu0 2空间角的求法 （1）异面直线所成的角 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 a 与 b 的夹角 l1与 l2所成的角 范围 （0，） 0， 2 求法 cos a b |a|b| cos |cos |a b| |a|b| （2）求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin |cos a，n|a n| |a|n| （3）求二面角的大小 如图 a，AB，CD 是二面角 - l- 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则
3、二面角的大小 AB ， CD 如图 bc， n1， n2分别是二面角 - l- 的两个半平面 ， 的法向量， 则二面角的大小 满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角（或其补角） 温馨提醒 利用空间向量法求二面角时易忽视判断二面角大小，从而致误解题时注意结合图形判断二 面角的平面角是锐角还是钝角，从而在下结论时作出正确判断 1已知两平面的法向量分别为 m（0，1，0） ，n（0，1，1） ，则两平面所成的二面角的 大小为_ 解析：cosm，n m n |m|n| 1 1 2 2 2 ，即m，n45 ，所以两平面所成二面角为 45 或 180 45 135
4、 答案：45 或 135 2在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E 是 C1D1的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为 _ 解析：如图建立空间直角坐标系 D- xyz，设 DA1，A（1，0，0） ，C（0，1，0） ，E 0，1 2，1 ， 则AC （1，1，0） ，DE 0，1 2，1 ，设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 ，则 cos |cos AC ，DE | 10 10 答案： 10 10 3正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC- A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC1 与侧面 ABB1A1所成的角为_ 解析：以 C 为原点建立空间直角坐
5、标系，如图所示，得下列坐标：A（2，0，0） ，C1（0，0， 2 2） 点 C1在侧面 ABB1A1内的射影为点 C2 3 2， 3 2 ，2 2 所以AC1 （2，0，2 2） ，AC2 1 2， 3 2 ，2 2 ， 设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为 ，则 cos |AC1 AC2 | |AC1 |AC2 | 108 2 33 3 2 又 0， 2 ， 所以 6 答案： 6 授课提示：对应学生用书第 159 页 题型一 异面直线所成的角 例 如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB2，BAD 60 （1）求证：BD平面 PAC； （
6、2）若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值 解析 （1）证明：因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 ACBD 因为 PA平面 ABCD，所以 PABD 又因为 ACPAA，所以 BD平面 PAC （2）设 ACBDO 因为BAD60 ，PAAB2， 所以 BO1，AOCO 3 如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O- xyz，则 P（0， 3，2） ，A（0， 3，0） ， B（1，0，0） ，C（0， 3，0） 所以PB （1， 3，2） ，AC（0，2 3，0） 设 PB 与 AC 所成角为 ，则 cos PB AC |PB |AC| 6 2 22 3 6 4 即 PB
7、 与 AC 所成角的余弦值为 6 4 向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点 （1）两种方法： 基向量法：利用线性运算 坐标法：利用坐标运算 （2）一个注意点： 注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围 对点训练 如图，S 是正三角形 ABC 所在平面外一点，M，N 分别是 AB 和 SC 的中点，SASBSC，且 ASBBSCCSA90 ，则异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为（ ） A 10 5 B 10 5 C 10 10 D 10 10 解析：不妨设 SASBSC1，以 S 为坐标原点，SA，SB，SC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐
8、标系 S- xyz（图略） ，则 A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，C（0，0，1） ，S（0， 0， 0） ， 则 M 1 2， 1 2，0 ， N 0，0，1 2 ， 所以SM 1 2， 1 2，0 ， BN 0，1，1 2 ， 所以|SM | 1 2， |BN | 5 4，SM BN 1 2，所以 cosSM ，BN SM BN |SM |BN| 10 5 ，所以异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为 10 5 答案：B 题型二 直线与平面所成的角 例 如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB2，AC1，CC1 3，ABC30 ，D 为 AB 的中点 （1）证明：AC1
9、平面 B1CD； （2）求直线 DC1与平面 B1CD 所成角的正弦值 解析 （1）证明：连接 BC1交 B1C 于点 E，连接 DE，因为四边形 BB1C1C 是矩形，所以点 E 是 BC1的中点， 又点 D 为 AB 的中点， 所以 DE 是ABC1的中位线， 所以 DEAC1 因为 DE平面 B1CD，AC1平面 B1CD， 所以 AC1平面 B1CD （2）由 AB2，AC1，ABC30 ，可得 ACBC， 分别以 CA，CB，CC1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C- xyz， 则 C（0，0，0） ，B1（0， 3， 3） ，D 1 2， 3 2 ，
10、0 ，C1（0，0， 3） ， 所以DC1 1 2， 3 2 ， 3 ，CB1 （0， 3， 3） ， CD 1 2， 3 2 ，0 设直线 DC1与平面 B1CD 所成角为 ，平面 B1CD 的法向量为 m（x，y，z） ， 则 m CB1 0， m CD 0， 即 3y 3z0， 1 2x 3 2 y0， 令 z1，得 m（ 3，1，1） ， 所以 sin |cosm，DC1 | 3 2 3 2 3 1 4 3 43 311 3 2 5 15 10 利用平面的法向量求线面角的两个注意点 （1）求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角） ，取其余角即为所 求 （2）若求线面
11、角的余弦值，要注意利用平方关系 sin2cos21 求出其值不要误认为直线 的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值即为所求 对点训练 （2021 东北三校模拟）在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，已知 AB1，D 在棱 BB1上，且 BD1， 则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为（ ） A 6 4 B 6 4 C 10 4 D 10 4 解析：取 AC 的中点 E，连接 BE，则 BEAC，以 B 为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为 x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B- xyz，则 A 3 2 ，1 2，0 ，D（0，0，1） ，B（0，0， 0） ，E 3 2
12、 ，0，0 ， 则AD 3 2 ，1 2，1 ，BE 3 2 ，0，0 平面 ABC平面 AA1C1C， 平面 ABC平面 AA1C1CAC， BEAC， BE平面 ABC， BE 平面 AA1C1C， BE 3 2 ，0，0 为平面 AA1C1C 的一个法向量 设 AD 与平面 AA1C1C 所成角为 ， cosAD ，BE AD BE |AD |BE| 6 4 ， sin |cosAD ，BE |6 4 答案：A 题型三 二面角 例 （2020 高考全国卷）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径， AEADABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO 6
13、 6 DO （1）证明：PA平面 PBC； （2）求二面角 B- PC- E 的余弦值 解析： （1）证明：设 DOa，由题设可得 PO 6 6 a，AO 3 3 a， ABACBCa，PAPBPC 2 2 a 因此 PA2PB2AB2，从而 PAPB 又 PA2PC2AC2，故 PAPC所以 PA平面 PBC （2）以 O 为坐标原点，OE 的方向为 y 轴正方向，|OE |为单位长度，建立如图所示的空间直角 坐标系 O- xyz 由题设可得 E（0，1，0） ，A（0，1，0） ，C 3 2 ，1 2，0 ，P 0，0， 2 2 所以EC 3 2 ，1 2，0 ， EP 0，1， 2 2
14、设 m（x，y，z）是平面 PCE 的法向量，则 m EP 0， m EC 0，即 y 2 2 z0， 3 2 x1 2y0. 可取 m 3 3 ，1， 2 由（1）知AP 0，1， 2 2 是平面 PCB 的一个法向量 记 nAP ，则 cosn，mn m |n| |m| 2 5 5 所以二面角 B- PC- E 的余弦值为2 5 5 利用法向量求二面角时的两个注意点 （1）对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着，不用单独求 （2）注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行判断，以防结论失误 对点训练 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，ACBC，ACBC2
15、，CC13，点 D，E 分别在棱 AA1和棱 CC1上，且 AD1，CE2，M 为棱 A1B1的中点 （1）求证：C1MB1D； （2）求二面角 B- B1E- D 的正弦值； （3）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值 解析：依题意，以 C 为原点，分别以CA ，CB，CC 1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系（如图） ， 可得 C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，C1（0，0，3） ， A1（2，0，3） ，B1（0，2，3） ，D（2，0，1） ，E（0，0，2） ，M（1，1，3） （1）依题意，C1M （1，1，0） ，B
16、1D （2，2，2） ， 从而C1M B1D 2200，所以 C1MB1D； （2）依题意，CA （2，0，0）是平面 BB 1E 的一个法向量， EB1 （0，2，1） ，ED （2，0，1） 设 n（x，y，z）为平面 DB1E 的法向量， 则 n EB1 0， n ED 0， 即 2yz0， 2xz0， 不妨设 x1，可得 n（1，1，2） cosCA nCA n |CA | |n| 2 2 6 6 6 ， sinCA ，n 1cos2CA ，n30 6 所以，二面角 B- B1E- D 的正弦值为 30 6 ； （3）依题意，AB （2，2，0） 由（2）知 n（1，1，2）为平面 D
17、B1E 的一个法向量，于是 cosAB ，nAB n |AB | |n| 4 2 2 6 3 3 所以，直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值为 3 3 向量法中的核心素养 数学运算利用空间向量求距离 例 如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB2 3，求点 A 到平面 MBC 的距离 解析 如图，取 CD 的中点 O，连接 OB，OM，因为BCD 与MCD 均为正三角形，所以 OBCD， OMCD， 又平面 MCD平面 BCD， 平面 MCD平面 BCDCD， OM平面 MCD， 所以 MO平面 BCD 以 O 为坐标原点，直
18、线 OC，BO，OM 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 O- xyz 因为BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形， 所以 OBOM 3， 则 O（0，0，0） ，C（1，0，0） ，M（0，0， 3） ， B（0， 3，0） ，A（0， 3，2 3） ，所以BC （1， 3，0） BM （0， 3， 3） 设平面 MBC 的法向量为 n（x，y，z） ， 由 nBC ， nBM ， 得 n BC 0， n BM 0， 即 x 3y0， 3y 3z0， 取 x 3，可得平面 MBC 的一个法向量为 n（ 3，1，1） 又BA （0，0，2 3） ， 所以所求距离为 d|B
19、A n| |n| 2 15 5 求解点到平面的距离可直接转化为求向量在平面的法向量上的射影的长如图，设点 P 在平 面 外，n 为平面 的法向量，在平面 内任取一点 Q，则点 P 到平面 的距离 d|PQ n| |n| 对点训练 如图所示，在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动 （1）证明：D1EA1D； （2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到平面 ACD1的距离 解析：以 D 为坐标原点，直线 DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系（图略） ，设 AEx，则 D（0，0，0） ，A1（1，0，1） ，D1（0，0，1） ，E（1，x，0） ， A（1，0，0） ，C（0，2，0） （1）证明：D1E （1，x，1） ，A1D （1，0，1） ，因为D1E A1D 0，所以 D1EA1D （2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0） ，从而D1E （1，1，1） ，AC （1，2，0） ， AD1 （1，0，1） ， 设平面 ACD1的法向量为 n（a，b，c） ，则 n AC 0， n AD1 0， 即 a2b0， ac0， 得 a2b， ac， 从而可取 n （2， 1， 2） ， 所以点 E 到平面 ACD1的距离 h|D1E n| |n| |212| 3 1 3
