1、第八节 曲线与方程 命题分析预测 学科核心素养 应用圆锥曲线的定义或由已知条件求曲线方程或轨迹方程 是本节的命题热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考 查知识点较多，能力要求较高 本节通过曲线与方程的求法考 查数学建模、直观想象、数学 抽象等核心素养 授课提示：对应学生用书第 188 页 知识点一 曲线与方程 1曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f（x，y）0 的实数解 建立了如下关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线 叫做方程的曲线 2求动点轨迹方程的一般步骤
2、 （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点 M 的坐标； （2）写出适合条件 p 的点 M 的集合 PM|p（M）； （3）用坐标表示条件 p（M） ，列出方程 f（x，y）0； （4）化方程 f（x，y）0 为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 温馨提醒 轨迹问题应区分是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”一般来说，若是“求轨迹方程”，求 到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型有 时候，问题仅要求指出轨迹的类型，如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知 识指出轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程 1已知点
3、 F 1 4，0 ，直线 l：x 1 4，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是（ ） A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 解析：由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线 的抛物线 答案：D 2已知O 的方程为 x2y24，过 M（4，0）的直线与O 交于 A，B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为（ ） A （x2）2y24 B （x2）2y24 C （x2）2y24（0 x1） D （x2）2y24（1x0） 解析：根据垂径定理知：OPPM，所以 P 点轨迹是
4、以 OM 为直径的圆且在O 内的部分以 OM 为直径的圆的方程为（x2）2y24，它与O 的交点为（1， 3） 结合图形可知所 求轨迹方程为（x2）2y24（0 x1） 答案：C 3 （易错题）设定点 F1（0，3） ，F2（0，3） ，动点 P 满足条件|PF1|PF2|a9 a（a0） ， 则点 P 的轨迹是（ ） A椭圆 B双曲线 C线段 D椭圆或线段 解析：a9 a2 a 9 a6（a0） 当 a3 时，a9 a6，此时|PF1|PF2|F1F2|， P 点的轨迹为线段 F1F2， 当 a3，a0 时，|PF1|PF2|F1F2| 由椭圆定义知 P 点的轨迹为椭圆 答案：D 4 平面上
5、有三点 A （2， y） ， B 0，y 2 ， C （x， y） ， 若AB BC， 则动点 C 的轨迹方程为_ 解析：AB 2，y 2 ，BC x，y 2 AB BC， AB BC0，得 2 xy 2 y 20，得 y 28x 答案：y28x 授课提示：对应学生用书第 189 页 题型一 直接法求轨迹方程 例 （1）已知 A（1，0） ，B（1，0）两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若MN 2 AN NB，则当 0 时，动点 M 的轨迹为（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 （2）与 y 轴相切且与圆 C：x2y26x0 相外切的圆的圆心的轨迹方程为_ 解析 （1）设 M
6、（x，y） ，则 N（x，0） ，所以MN 2y2，AN NB （x1，0） （1x，0） （1x2） ，所以 y2（1x2） ，即 x2y2，变形为 x2y 2 1，所以当 0 时，动点 M 的轨迹为双曲线 （2）若动圆在 y 轴右侧，设与 y 轴相切，且与圆 x2y26x0 外切的圆的圆心为 P（x，y） （x0） ，则半径长为|x|，因为圆 x2y26x0 的圆心为（3，0） ，所以 （x3）2y2|x| 3，则 y212x（x0） ，若动圆在 y 轴左侧，则 y0，即圆心的轨迹方程为 y212x（x0） 或 y0（x0） 答案 （1）C （2）y212x（x0）或 y0（x0） 利用直
7、接法求轨迹方程的方法及注意点 （1）利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简 （2）运用直接法应注意的问题 在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗 漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的 若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 对点训练 设点 A 为圆 （x1） 2y21 上的动点， PA 是圆的切线， 且|PA|1， 则点 P 的轨迹方程是 （ ） Ay22x B （x1）2y24 Cy22x D （x1）2y22 解析：如图，设 P（x，y） ，圆心为 M（1，0） ，连接 MA，则 MAPA，且|MA|1，又因为|P
8、A| 1，所以|PM|MA|2|PA|2 2，即|PM|22，所以（x1）2y22 答案：D 题型二 定义法求轨迹方程 例 已知圆 C 与两圆 x2（y4）21，x2（y2）21 外切，圆 C 的圆心轨迹为 L，设 L 上的点与点 M（x，y）的距离的最小值为 m，点 F（0，1）与点 M（x，y）的距离为 n （1）求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程； （2）求满足条件 mn 的点 M 的轨迹 Q 的方程 解析 （1） 两圆半径都为 1， 两圆圆心分别为 C1（0， 4） ， C2（0， 2） ， 由题意得|CC1|CC2|， 可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为
9、（0，1） ，直线 C1C2的斜率不 存在，所以圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y1 （2）因为 mn，所以 M（x，y）到直线 y1 的距离与到点 F（0，1）的距离相等，故点 M 的轨迹 Q 是以 y1 为准线，点 F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，而p 21，即 p 2，所以，轨迹 Q 的方程是 x24y 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点 （1）求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定 义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程 （2）关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键 （3）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整
10、的圆、椭圆、双曲线、抛物线， 如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制 对点训练 （2021 吕梁模拟）如图，已知圆 N：x2（y 5）236，P 是圆 N 上的点，点 Q 在线段 NP 上，且有点 D（0， 5）和 DP 上的点 M，满足DP 2DM ，MQ DP 0当 P 在圆上运动时， 求点 Q 的轨迹方程 解析：连接 QD（图略） ，由题意知，MQ 是线段 DP 的中垂线，所以|NP|NQ|QP|QN| |QD|6|DN|2 5 由椭圆的定义可知，点 Q 的轨迹是以 D，N 为焦点的椭圆，依题意设椭圆方程为y 2 a2 x2 b21（a b0） ，则 c 5，a3，b
11、2， 所以点 Q 的轨迹方程是y 2 9 x2 41 题型三 相关点法（代入法）求轨迹方程 例 如图，抛物线 E：y22px（p0）与圆 O：x2y28 相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐 标为 2过劣弧 AB 上动点 P（x0，y0）作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l2，l1与 l2相交于点 M （1）求 p 的值； （2）求动点 M 的轨迹方程 解析 （1）由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为（2，2） ，代入 y22px，解得 p1 （2）由（1）知抛物线 E：y22x，设 C y21 2，y1 ，D y22
12、 2，y2 ，y10，y20，切线 l1的斜率为 k，则切线 l1：yy1k xy 2 1 2 ，代入 y22x，得 ky22y2y1ky210，由 0，解得 k 1 y1， 所以 l1的方程为 y 1 y1x y1 2， 同理 l2的方程为 y 1 y2x y2 2 联立 y 1 y1x y1 2， y1 y2x y2 2， 解得 x y1 y2 2 ， yy1y2 2 . 易知 CD 的方程为 x0 xy0y8，其中 x0，y0满足 x20y208，x02，2 2，由 y22x， x0 xy0y8， 得 x0y22y0y160，则 y1y2 2y0 x0 ， y1 y216 x0， 代入
13、x y1 y2 2 ， yy1y2 2 ， 可得 M（x，y）满足 x 8 x0， yy0 x0， 可得 x0 8 x， y08y x ， 代入 x20y208，并化简，得x 2 8y 21，考虑到 x 02，2 2，知 x4， 2 2， 所以动点 M 的轨迹方程为x 2 8y 21，x4，2 2 代入法求轨迹方程的四步骤 对点训练 如图，已知 P 是椭圆x 2 4y 21 上一点，PMx 轴于 M若PNNM （1）求 N 点的轨迹方程； （2）当 N 点的轨迹为圆时，求 的值 解析： （1）设点 P，点 N 的坐标分别为 P（x1，y1） ，N（x，y） ， 则 M 的坐标为（x1，0） ，
14、且 xx1， PN （xx 1，yy1）（0，yy1） ， NM （x1x，y）（0，y） ， 由PN NM 得（0，yy1）（0，y） yy1y，即 y1（1）y P（x1，y1）在椭圆x 2 4y 21 上， 则x 2 1 4y 2 11，x 2 4（1） 2y21， 故x 2 4（1） 2y21 为所求的 N 点的轨迹方程 （2）要使点 N 的轨迹为圆，则（1）21 4， 解得 1 2或 3 2 故当 1 2或 3 2时，N 点的轨迹是圆 轨迹方程中的核心素养 数学抽象、直观想象轨迹方程的创新应用问题 例 如图所示，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，
15、且 AM1 3AB，点 P 在 平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1，在平面 直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨迹方程是_ 解析 如图，过 P 作 PQAD 于 Q，再过 Q 作 QHA1D1于 H，连接 PH，PM，易证得 PHA1D1设 P（x，y） ，由|PH|2|PM|21，得 x21 x1 3 2 y21，化简得 y22 3x 1 9 答案 y22 3x 1 9 轨迹问题常与函数、立体几何交汇命题，主要通过条件信息，求动点的轨迹，常用的方法是 直接法或相关点法 对点训练 如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60 ，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB30 ， 则点 P 的轨迹是（ ） A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线的一支 解析：母线与中轴线夹角为 30 ，然后用平面 去截，使直线 AB 与平面 的夹角为 60 ，则 截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆 答案：C
