1、第二节 排列与组合 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的高考来看，本节内容是命题的热点，主要 考查排列与组合的综合应用，分组分配问题是命题热 点，多为选择题、填空题，难度中等偏下 本节内容主要通过排列、组合的应用 考查逻辑推理核心素养 授课提示：对应学生用书第 205 页 知识点一 排列与排列数 1排列与排列数 （1）排列 从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列 （2）排列数 从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Am n 2排列数
2、公式及性质 （1）排列数公式 Am nn（n1） （n2）（nm1） n！ （nm）！（m、nN 且 mn） （2）性质：Annn！ ； 0！1 16 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A144 B120 C72 D24 解析：“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的 坐法种数为 A3443224 答案：D 2用数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A8 B24 C48 D120 解析：末位数字排法有 A12种，其他位置排法有 A34种，共有 A12A3448 种排法，所以偶数的个
3、 数为 48 答案：C 知识点二 组合与组合数 1组合与组合数 （1）组合 从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合 （2）组合数 从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，记作 Cm n 2组合数的公式及性质 （1）组合数公式 Cm nA m n Am m n（n1）（nm1） m！ n！ m！（nm）！（n、mN 且 mn） （2）组合数性质 C0n1； Cm n C nm n； Cm nC m1 n Cm n1 温馨提醒 二级结论 与组合数相关的几个公
4、式 （1）C0nC1nCnn2n（全组合公式） （2）Cm nC m n1C m m1C m mC m1 n1 （3）kCknnCk 1 n1 必明易错 易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关， 组合问题与顺序无关 1从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ） A18 B24 C30 D36 解析：选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C24C1318（种） ，选出的 3 人中有 1 名 男同学 2 名女同学的方法有 C14C2312 （种） ， 故 3 名学生中男女生都有的选法有 C2
5、4C13C14C23 30（种） 答案：C 2 （易错题）用 1，2，3，4，5，6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左、右两端，2，4， 6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（ ） A423 B288 C216 D144 解析：若 2，4 相邻，把 2，4 捆绑在一起，与另外四个数排列（相当于 5 个元素排列） ，1 不 在左、右两侧，则六位数的个数为 2C13A44144，同理 2，4 与 6 相邻的有 A2222A33 48（个） ，所以只有 2，4 相邻的有 1444896（个） ，全部符合条件的六位数有 963288 （个） 答案：B 3从 6 台原装计算
6、机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台，其中至少有原装计算机和组装计算 机各 2 台，则不同的取法有 种 解析：分两类：第一类，取 2 台原装计算机与 3 台组装计算机，有 C26C35种方法；第二类，取 3 台原装计算机与 2 台组装计算机， 有 C36C25种方法 所以满足条件的不同取法有 C26C35C36C25 350（种） 答案：350 授课提示：对应学生用书第 206 页 题型一 排列应用问题 例 3 名女生和 5 名男生排成一排 （1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ （2）如果女生都不相邻，有多少种排法？ （3）如果女生不站两端，有多少种排法？ （4）其中甲必须排在乙前
7、面（可不相邻） ，有多少种排法？ （5）其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？ 解析 （1） （捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一 起有 6 个元素，排成一排有 A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A33种排法，因 此共有 A66 A334 320 种不同排法 （2） （插空法）先排 5 个男生，有 A55种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 A36种排法，因此共有 A55 A3614 400 种不同排法 （3）法一： （位置分析法）因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A25种排
8、法， 剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法，因此共有 A25 A6614 400 种不同排法 法二： （元素分析法）从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36 A5514 400 种不同排法 （4）8 名学生的所有排列共 A88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中1 2，符合要求 的排法种数为1 2A 8 820 160（种） （5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置 法一： （特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有 A77种；甲不在最右边时，可从余下 6 个位置中任选一个，有 A16种而乙可排在除去最右边位置后剩
9、余的 6 个中的任一个上，有 A16 种， 其余人全排列， 共有 A16 A16 A66种 由分类加法计数原理， 共有 A77A16 A16 A6630 960 （种） 法二： （特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有 A17种，余下 7 个位置全排，有 A77种，但应 剔除乙在最右边时的排法 A16 A66种，因此共有 A17 A77A16 A6630 960（种） 法三： （间接法）8 个人全排，共 A88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有 A77种，乙在最 右边时，有 A77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有 A66种因此共有 A882A77A6630 960（种）
10、解决排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆 绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在 前面元素排列的空中 消序法 定序问题消序（除法）处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元 素的全排列 题组突破 1 （2021 合肥市第二次质量检测）某部队在一次军演中要先后执行 A，B，C，D，E，F 六项 不同的任务，要求是：任务 A 必须排在前三项执行，且执行任务 A 之后需立即执行任务 E， 任务 B，C 不能相邻，则不同的执行方案共有（
11、 ） A36 种 B44 种 C48 种 D54 种 解析：由题意知任务 A，E 必须相邻，且只能安排为 AE，由此分三类完成： （1）当 AE 排第一、 二位置时，用表示其他任务，则顺序为 AE，余下四项任务，先全排 D，F 两项任 务，然后将任务 B，C 插入 D，F 两项任务形成的三个空隙中，有 A22A23种方法 （2）当 AE 排 第二、三位置时，顺序为AE，余下四项任务又分为两类：B，C 两项任务中一项排 第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有 A12A33种方法；D，F 两项任务中一项排第一位 置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务 B，C 不相邻，有 A12A22种方法 （3
12、）当 AE 排第三、 四位置时，顺序为AE，第一、二位置必须分别排来自 B，C 和 D，F 中的一个，余下 两项任务排在后两个位置，有 C12C12A22A22种方法，根据分类加法计数原理知不同的执行方案共 有 A22A23A12A33A12A22C12C12A22A2244（种） 答案：B 2 （2021 昆明高三质检）数字“2015”中，各位数字相加和为 8，称该数为“如意四位数”， 则用数字 0，1，2，3，4，5 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位数”的个数为 _ （用数字作答） 解析：由数字 0，1，2，5 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位数”首位数字必为
13、2 或 5，有 2A33111（个） ；由数字 0，1，3，4 组成的无重复数字且大于 2015 的“如意四位 数”首位数字必为 3 或 4，有 2A3312（个） 故共有 23 个 答案：23 题型二 组合应用问题 例 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查， 已知其中有 15 种假货 现从 35 种商品中选取 3 种 （1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解析 （1）从余下
14、的 34 种商品中， 选取 2 种有 C234561 种取法， 所以某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 （2）从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335C234C3345 984 种取法 所以某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 （3）从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C2152 100 种取法 所以恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 （4）选取 2 种假货有 C120C215种，选取 3 种假货有 C315种，共有选取方式 C120C215C3152 100 4552 555（种） 所以至少有
15、2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 （5） 法一 （间接法） ： 选取 3 种的总数为 C335， 因此共有选取方式 C335C3156 5454556 090 （种） 所以至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 法二（直接法） ：共有选取方式 C320C220C115C120C2156 090（种） 所以至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元 素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 2“至少”或“最多”含有几个元素的题型考虑逆向思维，用间接法处理更简捷
16、对点训练 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，求： （1）甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？ （2）甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法有多少种？ 解析： （1）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法 种数共有 C24C12C1224（种） （2）甲、乙两人从 4 门课程中各选 2 门不同的选法种数为 C24C24，又甲、乙两人所选的 2 门课 程都相同的选法种数为 C24种，因此满足条件的不同选法种数为 C24C24C2430（种） 题型三 排列与组合的综合应用 例 （2021 长春市高三二检）某班主任准备请 2020
17、 届毕业生做报告，要从甲、乙等 8 人中 选 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好 间隔一人，那么不同的发言顺序共有 种 （用数字作答） 解析 若甲、乙同时参加，有 2C26A22A22120（种） ，若甲、乙有一人参加，有 C12C36A44960 （种） ，从而不同的发言顺序有 1 080 种 答案 1 080 求解排列与组合问题的要点 （1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用 两个原理做最后处理 （2）解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）或间接法（排除法）来解决，分类 标准应统一，避免出现重复
18、或遗漏 题组突破 1将标号为 1，2，3，4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标 号 1，2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（ ） A15 B20 C30 D42 解析：四个篮球中两个分到一组有 C24种分法，三个篮球进行全排列有 A33种分法，标号 1，2 的两个篮球分给同一个小朋友有 A33种分法，所以有 C24A33A3336630 种分法 答案：C 2从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数 的个数为（ ） A24 B18 C12 D6 解析：从 0，2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位，
19、从 1，3，5 中选两个数字排在个位与百 位，共有 A236 种；从 0，2 中选一个数字 2，则 2 排在十位（或百位） ，从 1，3，5 中选两个 数字排在百位（或十位） 、个位，共有 A12 A2312（种） ，故共有 A23A12A2318（种） 答案：B 排列、组合应用中的核心素养 数学运算分组分配问题 计数问题中的分组分配问题一直是排列、组合中的一个重点与难点，是计数原理中的典型问 题之一，也是排列、组合综合运用的充分体现由于分组分配问题的种类繁多、条件各异， 涉及完全非均匀分组、整体均匀分组、部分均匀分组以及编号分组等情况，同时又涉及分组 后的元素是否有序等问题，因此在解答实际问
20、题时非常容易混淆，导致错误 1完全非均匀分组 所谓“完全非均匀分组” ，就是将问题中的所有元素分成彼此元素个数互不相等的组，解决此 类问题时只需直接分组即可达到目的 例 1 7 人参加志愿者活动，按下列不同方法分组各有多少种不同的分法？ （1）分成 3 组，各组人数分别为 1 人、2 人、4 人； （2）选出 5 个人分成 2 组，其中一组 2 人，另一组 3 人 解析 （1）先从 7 人中选出 1 人，有 C17种，再由剩下的 6 人中选出 2 人，有 C26种，最后由 剩下的 4 人为一组，有 C44种 由分步乘法计数原理得分组方法共有 C17C26C44105（种） （2） 可“选分同步
21、”： 先从 7 人中选出 2 人， 有 C27种， 再由剩下的 5 人中选出 3 人， 有 C35种， 分组方法共有 C27C35210（种） 也可“先选后分”： 先选出 5 人， 再分为两组， 由分步乘法计数原理得分组方法共有 C57C25C33 210（种） 2均匀分配 例 2 将 9 名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日 3 天参加社区公益活动，每天分 别安排 3 人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 种 （用数字作答） 解析 先选出 3 人，有 C39种，再由剩下的 6 人中选出 3 人，有 C36种，最后由剩下的 3 人为 一组，有 C33种 由分步乘法计数原理以及每 A33
22、中只能算一种不同的分组方法，可得不同的安排方案共有 C39C36C33 A33 A331 680（种） ，故填 1 680 答案 1 680 3部分均分问题 例 3 小明有中国古代四大名著： 三国演义 西游记 水浒传 红楼梦各一本，他要 将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但西游记 红楼梦这两本书不能借 给同一人，则不同的借法有 种 解析 根据题意，分两步进行分析：将四本书分成 3 组，其中 1 组两本，其他 2 组各一本， 有C 2 4C 1 2C 1 1 A22 6（种）分组方法，但西游记 红楼梦这两本书不能借给同一人，即这两本 书不能分在同一组， 西游记 红楼梦分在同一组的情况
23、有 1 种，故四本书分成 3 组，符 合题意的分法有 615（种） ；将分好的 3 组全排列，对应三位同学，有 A336（种）情 况则不同的借法有 5630（种） 答案 30 分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体 均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除 以 Ann（n 为均分的组数） ，避免重复计数 部分 均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时 应除以 m！ ，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 不等 分 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以
24、不需要除以 全排列数 题组突破 1将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一 房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有 2 个房间无人选择且这 2 个房间不相邻的安排方 式的种数为_ 解析：先将 5 人分成三组（1，1，3 或 2，2，1 两种形式） ，再将这三组人安排到 3 个房间， 然后将 2 个房间插入前面住了人的 3 个房间形成的空档中即可，故安排方式共有 C15C14C33 A22 C 2 5C 2 3C 1 1 A22 A33 C24900（种） 答案：900 2将 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 名学生，其中一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本， 则有 种不同的分法 解析：先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙 3 名学生先选 1 本，有 C16种选法；再从 余下的 5 本中选 2 本，有 C25种选法；最后余下 3 本全选，有 C33种选法故共有 C16 C25 C3360 种选法由于甲、乙、丙是不同的 3 人，还应考虑再分配，故共有 60A33360 种分配方法 答案：360
