1、第七节 双曲线 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节主要考查双 曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离 心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选 择题和填空题为主，难度中等 本节主要考查考生数形结合思想的运用，提 升数学运算、直观想象核心素养 授课提示：对应学生用书第 184 页 知识点一 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线： （1）在平面内； （2）与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数； （3）非零常数小于|F1F2| 温馨提醒 双曲线定义的四点辨析 （1）当 02a|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线 （2）当 2a0 时，动点的轨迹是线段 F
2、1F2的中垂线 （3）当 2a|F1F2|时，动点的轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线 （4）当 2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在 1 过双曲线 x2y28 的左焦点 F1有一条弦 PQ 在左支上， 若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点， 则PF2Q 的周长是（ ） A28 B148 2 C148 2 D8 2 解析：根据双曲线定义可知，|PF2|PF1|4 2，|QF2|QF1|4 2，所以|PF2|QF2|PQ| 8 2， |PF2|QF2|PQ|2|PQ|8 2148 2 答案：C 2 （易错题）平面内到点 F1（0，4） ，F2（0，4）的距离之差等于 6 的点的轨迹是_ 解析：由
3、|PF1|PF2|6|F1F2|8，得 a3，又 c4，则 b2c2a27，所以所求点的轨迹 是双曲线y 2 9 x2 71 的下支 答案：双曲线y 2 9 x2 71 的下支 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21（a0，b0） y2 a2 x2 b21（a0，b0） 图 形 性质 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1（a，0） ，A2（a，0） 顶点坐标： A1（0，a） ，A2（0，a） 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e（1，） a，b，c 的关系 c2a
4、2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a； 线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 温馨提醒 1双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b 2同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦） ，其长为2b 2 a ；异支的弦中最短 的为实轴，其长为 2a 3若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 SPF1F2 b2 tan 2 ，其中 为F1PF2 1已知 ab0，椭圆 C1的方程为x 2 a2 y2 b21，双曲线 C2 的方程为x 2 a2 y2 b
5、21，C1 与 C2的离 心率之积为 3 2 ，则 C2的渐近线方程为（ ） Ax 2y0 B 2x y0 Cx 2y0 D2x y0 答案：A 2经过点 A（3，1） ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 解析：设双曲线的方程为x 2 a2 y2 a2 1（a0） ， 把点 A（3，1）代入，得 a28（舍负） ， 故所求方程为x 2 8 y2 81 答案：x 2 8 y2 81 授课提示：对应学生用书第 185 页 题型一 双曲线的定义及标准方程 1已知双曲线 C：x 2 a2 y2 91（a0）的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线与直线 4x3y 0 垂直，点 M 在 C 上
6、，且|MF2|6，则|MF1|（ ） A2 或 14 B2 C14 D2 或 10 解析：由题意知3 a 3 4，故 a4，则 c5由|MF2|6ac9，知点 M 在 C 的右支上，由 双曲线的定义知|MF1|MF2|2a8，所以|MF1|14 答案：C 2 （2020 高考全国卷）设 F1，F2是双曲线 C：x2y 2 31 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在 C 上且|OP|2，则PF1F2的面积为（ ） A7 2 B3 C5 2 D2 解析：法一：由题知 a1，b 3，c2，F1（2，0） ，F2（2，0） ，如图，因为|OF1|OF2| |OP|2，所以点 P 在以 F1F2为直径
7、的圆上，故 PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2（2c）216 由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4， 所以|PF1|PF2|6， 所以PF1F2的面积为1 2|PF1|PF2|3 法二：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点 F1，F2在 x 轴上，且|F1F2|2 134设点 P 的坐标为（x0，y0） ，则 x2 0y 2 0 31， x20y202， 解得|y0|3 2所以PF1F2的面积为 1 2|F1F2| |y0| 1 24 3 2 3 答案：B 3 （2021 洛阳模拟）若双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点为 F，点
8、 P 是双曲线右支上的动点，A（1， 4） ，则|PF|PA|的最小值是（ ） A8 B9 C10 D12 解析：由题意知，双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点 F 的坐标为（4，0） ，设双曲线的右焦点为 B， 则 B （ 4 ， 0 ） ， 由 双 曲 线 的 定 义 知 |PF| |PA| 4 |PB| |PA|4 |AB| 4 （41）2（04）2459，当且仅当 A，P，B 三点共线且 P 在 A，B 之间时取等号 所以|PF|PA|的最小值为 9 答案：B 4已知双曲线过点（2，3） ，渐近线方程为 y 3x，则该双曲线的标准方程是（ ） A7x 2 16 y2 121 By
9、2 3 x2 21 Cx2y 2 31 D3y 2 23 x2 231 解析：法一：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2 a2 y2 b21（a0，b0） ， 由题意得 4 a2 9 b21， b a 3， 解得 a1， b 3，所以该双曲线的标准方程为 x 2y 2 31；当双曲线的焦点 在 y 轴上时， 设双曲线的标准方程是y 2 a2 x2 b21 （a0， b0） ， 由题意得 9 a2 4 b21， a b 3 无解 故 该双曲线的标准方程为 x2y 2 31 法二：当其中的一条渐近线方程 y 3x 中的 x2 时，y2 33，又点（2，3）在第一象限， 所以双曲
10、线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2 a2 y2 b21（a0，b0） ，由题意得 4 a2 9 b21， b a 3， 解得 a1， b 3，所以该双曲线的标准方程为 x 2y 2 31 答案：C 双曲线定义及标准方程问题求解中的两个注意点 (1)应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之 差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉，点 的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用 (2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意 a，b，c 的关系易错易混 题型二 双曲线的
11、几何性质 双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点常见的命题角度有： （1） 已知离心率求渐近线方程； （2）已知渐近线求离心率； （3）由离心率或渐近线求双曲线方 程 考法（一） 已知离心率研究渐近线问题 例 1 已知双曲线y 2 a2 x2 b21（a0，b0）的离心率 e（1，2，则其经过第一、三象限的 渐近线的倾斜角的取值范围是（ ） A 0， 6 B 0， 3 C 6， 2 D 3， 2 解析 因为双曲线y 2 a2 x2 b21（a0，b0）的离心率 e（1，2，所以 1 c a2，所以 1 c2 a2 4，又 c2a2b2，所以 0b 2 a23，所以 a2 b2 1
12、3，所以 a b 3 3 y 2 a2 x2 b21（a0，b0）经过 第一、三象限的渐近线的方程为 ya bx，设该渐近线的倾斜角为 ，则 tan a b 3 3 ，又 0， 2 ，所以 6， 2 答案 C 考法（二） 已知渐近线求离心率 例 2 （2020 高考全国卷）已知 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的右焦点，A 为 C 的右顶点， B 为 C 上的点， 且 BF 垂直于 x 轴 若 AB 的斜率为 3， 则 C 的离心率为_ 解析 如图，A（a，0） 由 BFx 轴且 AB 的斜率为 3，知点 B 在第一象限，且 B c，b 2 a ， 则 kAB b2
13、a 0 ca 3， 即 b23ac3a2 又c2a2b2，即 b2c2a2，c23ac2a20， e23e20解得 e2 或 e1（舍去） 故 e2 答案 2 考法（三） 由离心率或渐近线求双曲线方程 例 3 （2021 义乌模拟）已知双曲线x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的一个焦点落在直线 yx2 上，双曲线的焦点到渐近线的距离为 1，则双曲线的方程为（ ） Ax 2 3 y2 41 Bx 2 4 y2 31 Cx2y 2 31 Dx 2 3y 21 解析 依题意得，直线 yx2 与 x 轴的交点（2，0）是双曲线的一个焦点，于是有 a2b2 4又双曲线的焦点到渐近线的距离为 b1，
14、因此有 a23，故双曲线的方程为x 2 3y 21 答案 D 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点 （1）已知渐近线方程 ymx，若焦点位置不明确要分|m|b a或|m| a b讨论 （2）注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用 题组突破 1 （2020 高考全国卷）设 O 为坐标原点，直线 xa 与双曲线 C：x 2 a2 y2 b21（a0，b0） 的两条渐近线分别交于 D，E 两点若ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为（ ） A4 B8 C16 D32 解析：双曲线的渐近线方程为 y b ax，分别与 xa 联立，可得 D（a，b） ，E（a，b） ， SOD
15、E1 2a|DE| 1 2a2bab8， c2a2b22ab16 当且仅当 ab2 2时，等号成立 c2的最小值为 16，c 的最小值为 4， C 的焦距的最小值为 248 答案：B 2 （2021 济南模拟）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆（x2）2 y21 都相切，则双曲线 C 的离心率是（ ） A2 或2 3 3 B2 或 3 C 3或 6 2 D2 3 3 或 6 2 解析：设双曲线 C 的渐近线方程为 ykx，双曲线的渐近线与圆相切， |2k| k211，k 3 3 ，则可得双曲线的一条渐近线的方程为 y 3 3 x 故需分双曲线的焦点在 x 轴上和 y 轴上
16、两种情况讨论： 当双曲线的焦点在 x 轴上时，有b a 3 3 ，即 a 3b， ec a a2b2 a 2 3 3 ； 当双曲线的焦点在 y 轴上时，有a b 3 3 ，即 a 3 3 b， ec a a2b2 a 2双曲线 C 的离心率为2 3 3 或 2 答案：A 3 （2021 武汉质监）已知双曲线 E：x 2 16 y2 m21 的离心率为 5 4，则双曲线 E 的焦距为（ ） A4 B5 C8 D10 解析：因为 a4，离心率 ec a 5 4，所以 c5，所以双曲线的焦距 2c10 答案：D 题型三 直线与双曲线的位置关系 例 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（4，0） ，
17、实轴长为 4 3 （1）求双曲线 C 的方程； （2）若直线 l：ykx2 2与双曲线 C 左支交于 A，B 两点，求 k 的取值范围 解析 （1）设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21（a0，b0） 由已知得：a2 3，c4，再由 a2b2c2， 得 b24，所以双曲线 C 的方程为x 2 12 y2 41 （2）设 A（xA，yA） ，B（xB，yB） ，将 ykx2 2与x 2 12 y2 41 联立，得（13k 2）x212 2kx 360 由题意知 13k20， （12 2k）24（13k2）360， xAxB12 2k 13k20， xAxB 36 13k20， 解得 3
18、 3 k1 所以当 3 3 k1 时，l 与双曲线左支有两个交点 解决直线与双曲线位置关系问题的步骤 对点训练 （2019 高考全国卷）已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB ，F 1B F2B 0，则 C 的离心 率为 解析：法一：由F1A AB ，得 A 为 F 1B 的中点 又O 为 F1F2的中点，OABF2 又F1B F2B 0，F1BF290 OF2OB，OBF2OF2B 又F1OABOF2， F1OAOF2B， BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形
19、如图所示，不妨设 B 为 c 2， 3 2 c 点 B 在直线 yb ax 上， b a 3， 离心率 ec a2 法二：F1B F2B 0，F1BF290 在 RtF1BF2中，O 为 F1F2的中点，|OF2|OB| c如图，作 BHx 轴于 H，由 l1为双曲线的渐近线，可得|BH| |OH| b a，且|BH| 2|OH|2|OB|2 c2， |BH|b，|OH|a， B（a，b） ，F2（c，0） 又F1A AB ， A 为 F1B 的中点 OAF2B，b a b ca， c2a，离心率 ec a2 答案：2 双曲线几何性质的核心素养 数学运算、直观想象双曲线的离心率范围问题 例 （
20、2021 黑龙江海林月考）已知双曲线x 2 a2 y2 b21（a0，b0） 若存在过右焦点 F 的直 线与双曲线交于 A，B 两点，且AF 3BF，则双曲线离心率的最小值为（ ） A 2 B 3 C2 D2 2 解析 因为过右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A，B 两点，且AF 3BF，所以直线与双曲线 相交只能交于左、右两支，且点 A 在左支上，点 B 在右支上设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，右 焦点 F （c， 0） 因为AF 3BF， 所以 cx 13 （cx2） ， 所以 3x2x12c 因为 x1a， x2a， 所以x1a，3x23a，所以 3x2x14a，即 2c4a
21、，所以c a2，即 e2，所以双曲线离心 率的最小值为 2 答案 C 双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略 解决双曲线的离心率的范围问题，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的不等式，再根据 a，b， c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式建立关于 a，b，c 的不等式，要充分利用双曲线的几何 性质、点的坐标的范围等 对点训练 （2021 湖北九校联考）已知 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的左、右焦点若 在双曲线右支上存在点 P， 使得点 F2到直线 PF1的距离为 a， 则该双曲线的离心率的取值范围 是（ ） A 1， 5 2 B 5 2 ， C （1， 5） D （ 5，） 解析：双曲线的渐近线方程为 y b ax设直线 PF1 的方程为 yk（xc） ，因为点 P 在双曲线 的右支上， 所以|k|b a 由 F2 （c， 0） 到直线 PF1的距离 d 2|kc| k21a， 解得 k 2 a2 4c2a2 a2 3c2b2， 根据 k2b 2 a2，得 a 43b2c2b4，所以 a4b4（a2b2） （a2b2）（a2b2）c23b2c2，则 a2b23b2，即b 2 a2 1 4，所以 e 21b 2 a2 5 4，则 e 5 2 答案：B
