1、第二节 随机抽样 命题分析预测 学科核心素养 对于随机抽样，主要考查三种抽样方法，尤 其是分层抽样和系统抽样，一般以选择题和 填空题的形式出现 本节通过三种抽样方法，考查考生的数据分 析、逻辑推理核心素养 授课提示：对应学生用书第 237 页 知识点一 简单随机抽样、分层抽样 1简单随机抽样 （1）抽取方式：逐个不放回抽取； （2）每个个体被抽到的概率相等； （3）常用方法：抽签法和随机数法 2分层抽样 （1）在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数 量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样 （2）分层抽样的应用范围 当总体是由
2、差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样 温馨提醒 1分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即样本容量n 总体个数N 2不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的 1一段高速公路有 300 个太阳能标志灯，其中进口的有 30 个，联合研制的有 75 个，国产的 有 195 个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本，若采用分层 抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为（ ） A2 B3 C5 D13 解析：20 30 3002 答案：A 2利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本若第二次抽取时，余下的 每个个体被抽到的概率为
3、1 3，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（ ） A1 4 B1 3 C 5 14 D10 27 解析：根据题意， 9 n1 1 3，解得 n28故每个个体被抽到的概率为 10 28 5 14 答案：C 3 （2021 东北三校联考）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为 357， 现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，其中甲种产品有 18 件，则样本容量 n（ ） A54 B90 C45 D126 解析：依题意得 3 357n18，解得 n90，即样本容量为 90 答案：B 知识点二 系统抽样 系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本 （1）
4、先将总体的 N 个个体编号； （2）确定分段间隔 k，对编号进行分段当N n（n 是样本容量）是整数时，取 k N n； （3）在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l（lk） ； （4）按照一定的规则抽取样本通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号（lk） ，再加 k 得到第 3 个个体编号（l2k） ，依次进行下去，直到获取整个样本 温馨提醒 系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当N n不是整数时，注意剔除，剔除的个 体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列 1在一次游戏中，获奖者可以得到 5 件不同的奖品，这些奖品要从由 150 编号的 50 种不 同奖品中
5、随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定 5 件奖品的编号可以为（ ） A5，15，25，35，45 B1，3，5，7，9 C11，22，33，44，50 D12，15，19，23，28 解析：150 编号依次分成 5 组，在第一组随机抽取一个号码，其他组依次加 10 即可，选项 A 符合要求 答案：A 2 （易错题）某次考试结束后，从考号为 11 000 的 1 000 份试卷中，采用系统抽样法抽取 50 份试卷进行试评，则在考号区间850，949之中被抽到的试卷份数（ ） A一定是 5 B可能是 4 C可能是 10 D不能具体确定 解析：样本间隔为 1 000 5020，考号在区间8
6、50，949的个数为 9498501100，100 20 5，所以在考号区间850，949之中被抽到的试卷份数一定是 5 答案：A 授课提示：对应学生用书第 238 页 题型一 简单随机抽样 1下列抽样试验中，适合用抽签法的有（ ） A从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B从某厂生产的两箱（每箱 18 件）产品中抽取 6 件进行质量检验 C从甲、乙两厂生产的两箱（每箱 18 件）产品中抽取 6 件进行质量检验 D从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 解析：A，D 中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C 中甲、乙两厂的产品质量有区别，也 不适宜
7、抽签法 答案：B 2总体由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选 出来的第 5 个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A08 B07 C02 D01 解析：由题意知前 5 个个体的编号为 08，02，14，07，01 答案：D 3“七乐彩”的中奖号码是从分别标有 1，2，30 的 30 个小球中逐个不放回地摇出
8、 7 个 小球来按规则确定中奖情况，这种从 30 个号码中选 7 个号码的抽样方法是（ ） A系统抽样法 B抽签法 C随机数法 D其他抽样方法 解析：30 个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，是典型的抽签法 答案：B 简单随机抽样的特点 （1）抽取的个体数较少； （2）是逐个抽取； （3）是不放回抽取； （4）是等可能抽取只有四 个特点都满足的抽样才是简单随机抽样 题型二 系统抽样 1 （2019 高考全国卷） 某学校为了解 1 000 名新生的身体素质， 将这些学生编号为 1， 2， ， 1 000， 从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验 若 46 号学生
9、被抽到， 则下面 4 名学生中被抽到的是（ ） A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生 解析：根据题意，系统抽样是等距抽样， 所以抽样间隔为1 000 100 10 因为 46 除以 10 余 6，所以抽到的号码都是除以 10 余 6 的数，结合选项知应为 616 答案：C 2 （2020 贵州凯里一中检测）利用系统抽样法从编号分别为 1，2，3，80 的 80 件不同产 品中抽出一个容量为 16 的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为 13，则抽的产品的最 大编号为（ ） A73 B78 C77 D76 解析：样本的分段间隔为80 165，所以 13 号在第三
10、组，则最大的编号为 13（163）5 78 答案：B 3从编号为 1，2，59，60 的 60 个产品中，用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本 中最大的两个编号为 51，57，则第一个入样的编号为_ 解析：由最大的两个编号为 51，57，知分段间隔为 57516，即共抽取了60 6 10 个产品， 设第一个入样的编号为 x，则 x（101）657，解得 x3 答案：3 题型三 分层抽样 例 （1） （2021 河南名校联考） 九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱 五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰 出之，问各几何”其意为：今有甲带了
11、560 钱，乙带了 350 钱，丙带了 180 钱，三人一起 出关，共需要交关税 100 钱，依照钱的多少按比例出钱，则丙应出 钱（所得结果四 舍五入，保留整数） （2）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组） （单位：人） 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣 小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为_ 解析 （1） 按照钱的多少按比例出钱， 所以丙应该出钱为 180 560350180100 18 000 1 090 17
12、（2）由分层抽样得 12 4515 30 120a，解得 a30 答案 （1）17 （2）30 分层抽样中的计算问题 分层抽样满足“每层中抽取的个体数量 本层的总个体数量 样本容量 总体数量” ，即“ n1 N1 n2 N2 n N或 n1n2n N1N2N”， 据此在已知每层间的个体数量或数量比、 样本容量、 总体数量中的两个时， 就可以求出第三个 题组突破 1某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在 抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数为（ ） 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4
13、 300 A90 B100 C180 D300 解析：设该样本中的老年教师人数为 x，由题意及分层抽样的特点得 x 900 320 1 600，故 x180 答案：C 2甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件 解析：由题设，抽样比为 80 4 800 1 60 设甲设备生产的产品为 x 件，则 x 6050，所以 x3 000故乙设备生产的产品总数为 4 8003 0001 800 答案：1 800 抽样方法中的核心素养 数据分析、数学运算分层抽样的创新应
14、用 例 （2021 湖南四校摸底调研）某家电公司销售部门共有 200 名销售员，每年部门对每名 销售员都有 1 400 万元的年度销售任务已知这 200 名销售员去年的销售额都在区间2，22 （单位：百万元）内，现将其分成 5 组，第 1 组、第 2 组、第 3 组、第 4 组、第 5 组对应的 区间分别为2，6） ，6，10） ，10，14） ，14，18） ，18，22，并绘制出如下的频率分布直方 图 （1）求 a 的值，并计算完成年度任务的人数； （2）用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本，求这 5 组分别应抽取的 人数； （3）现从（2）中完成年度任务的销售
15、员中随机选取 2 名，奖励海南三亚三日游，求获得此 奖励的 2 名销售员在同一组的概率 解析 （1）（0020080092a）41，a003， 完成年度任务的人数为 2003420048 （2）第 1 组应抽取的人数为 0024252， 第 2 组应抽取的人数为 0084258， 第 3 组应抽取的人数为 0094259， 第 4 组应抽取的人数为 0034253， 第 5 组应抽取的人数为 0034253， （3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第 4 组有 3 人，记这 3 人分别为 A1，A2，A3；第 5 组有 3 人，记这 3 人分别为 B1，B2，B3 从这 6 人中随机选取 2
16、 名，所有的基本事件为 A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1， A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有 15 个基本事件， 获得此奖励的 2 名销售员在同一组所包含的基本事件有 6 个， 故所求概率 P 6 15 2 5 解决分层抽样与样本数据分析问题的注意点 （1）弄清分层抽样问题中每层的数据 （2）求解概率时注意概率类型的判断 对点训练 （2021 重庆九校联盟模拟）某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社 会退休老人中随机抽取了 100 位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间（单位：
17、时） ，活动时间按照0，05） ，05，1） ，4，45分成 9 组，制成样本的频率分布直 方图如图所示 （1）求图中 a 的值； （2）估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数； （3）在1，15） ，15，2）这两组中采用分层抽样的方法抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽 取 2 人，求抽取的 2 人恰好在同一个组的概率 解析： （1）由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在0，05）内的频率为 00805 004 同理，平均户外活动时间在05，1） ，15，2） ，2，25） ，3，35） ，35，4） ，4， 45内的频率分别为 008，020，025，007，004，00
18、2， 由 1 （0 040080 20025007004002）05a05a， 解得 a0 30 （2）设中位数为 m 时 因为前 5 组的频率之和为 00400801502002507205， 而前 4 组的频率之和为 00400801502004705，所以 2m25 所以 050（m2）05047，解得 m206 故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为 206 时 （3）由题意得平均户外活动时间在1，15） ，15，2）内的人数分别为 15，20， 按分层抽样的方法在1，15） ，15，2）内分别抽取 3 人、4 人，再从 7 人中随机抽取 2 人，共有 21 种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有 9 种方法，故抽取的 2 人恰好在同一个 组的概率 P 9 21 3 7
