2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:10.2 随机抽样

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1、第二节 随机抽样 命题分析预测 学科核心素养 对于随机抽样,主要考查三种抽样方法,尤 其是分层抽样和系统抽样,一般以选择题和 填空题的形式出现 本节通过三种抽样方法,考查考生的数据分 析、逻辑推理核心素养 授课提示:对应学生用书第 237 页 知识点一 简单随机抽样、分层抽样 1简单随机抽样 (1)抽取方式:逐个不放回抽取; (2)每个个体被抽到的概率相等; (3)常用方法:抽签法和随机数法 2分层抽样 (1)在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数 量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样 (2)分层抽样的应用范围 当总体是由

2、差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样 温馨提醒 1分层抽样中,易忽视每层抽取的个体的比例是相同的,即样本容量n 总体个数N 2不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的 1一段高速公路有 300 个太阳能标志灯,其中进口的有 30 个,联合研制的有 75 个,国产的 有 195 个,为了掌握每个标志灯的使用情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本,若采用分层 抽样的方法,抽取的进口的标志灯的数量为( ) A2 B3 C5 D13 解析:20 30 3002 答案:A 2利用简单随机抽样,从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本若第二次抽取时,余下的 每个个体被抽到的概率为

3、1 3,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( ) A1 4 B1 3 C 5 14 D10 27 解析:根据题意, 9 n1 1 3,解得 n28故每个个体被抽到的概率为 10 28 5 14 答案:C 3 (2021 东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为 357, 现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本,其中甲种产品有 18 件,则样本容量 n( ) A54 B90 C45 D126 解析:依题意得 3 357n18,解得 n90,即样本容量为 90 答案:B 知识点二 系统抽样 系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本 (1)

4、先将总体的 N 个个体编号; (2)确定分段间隔 k,对编号进行分段当N n(n 是样本容量)是整数时,取 k N n; (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(lk) ; (4)按照一定的规则抽取样本通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(lk) ,再加 k 得到第 3 个个体编号(l2k) ,依次进行下去,直到获取整个样本 温馨提醒 系统抽样中,易忽视抽取的样本数也就是分段的段数,当N n不是整数时,注意剔除,剔除的个 体是随机的,各段入样的个体编号成等差数列 1在一次游戏中,获奖者可以得到 5 件不同的奖品,这些奖品要从由 150 编号的 50 种不 同奖品中

5、随机抽取确定,用系统抽样的方法为某位获奖者确定 5 件奖品的编号可以为( ) A5,15,25,35,45 B1,3,5,7,9 C11,22,33,44,50 D12,15,19,23,28 解析:150 编号依次分成 5 组,在第一组随机抽取一个号码,其他组依次加 10 即可,选项 A 符合要求 答案:A 2 (易错题)某次考试结束后,从考号为 11 000 的 1 000 份试卷中,采用系统抽样法抽取 50 份试卷进行试评,则在考号区间850,949之中被抽到的试卷份数( ) A一定是 5 B可能是 4 C可能是 10 D不能具体确定 解析:样本间隔为 1 000 5020,考号在区间8

6、50,949的个数为 9498501100,100 20 5,所以在考号区间850,949之中被抽到的试卷份数一定是 5 答案:A 授课提示:对应学生用书第 238 页 题型一 简单随机抽样 1下列抽样试验中,适合用抽签法的有( ) A从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 解析:A,D 中的总体中个体数较多,不适宜抽签法,C 中甲、乙两厂的产品质量有区别,也 不适宜

7、抽签法 答案:B 2总体由编号为 01,02,19,20 的 20 个个体组成利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选 出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A08 B07 C02 D01 解析:由题意知前 5 个个体的编号为 08,02,14,07,01 答案:D 3“七乐彩”的中奖号码是从分别标有 1,2,30 的 30 个小球中逐个不放回地摇出

8、 7 个 小球来按规则确定中奖情况,这种从 30 个号码中选 7 个号码的抽样方法是( ) A系统抽样法 B抽签法 C随机数法 D其他抽样方法 解析:30 个小球相当于号签,搅拌均匀后逐个不放回地抽取,是典型的抽签法 答案:B 简单随机抽样的特点 (1)抽取的个体数较少; (2)是逐个抽取; (3)是不放回抽取; (4)是等可能抽取只有四 个特点都满足的抽样才是简单随机抽样 题型二 系统抽样 1 (2019 高考全国卷) 某学校为了解 1 000 名新生的身体素质, 将这些学生编号为 1, 2, , 1 000, 从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验 若 46 号学生

9、被抽到, 则下面 4 名学生中被抽到的是( ) A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生 解析:根据题意,系统抽样是等距抽样, 所以抽样间隔为1 000 100 10 因为 46 除以 10 余 6,所以抽到的号码都是除以 10 余 6 的数,结合选项知应为 616 答案:C 2 (2020 贵州凯里一中检测)利用系统抽样法从编号分别为 1,2,3,80 的 80 件不同产 品中抽出一个容量为 16 的样本,如果抽出的产品中有一件产品的编号为 13,则抽的产品的最 大编号为( ) A73 B78 C77 D76 解析:样本的分段间隔为80 165,所以 13 号在第三

10、组,则最大的编号为 13(163)5 78 答案:B 3从编号为 1,2,59,60 的 60 个产品中,用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本 中最大的两个编号为 51,57,则第一个入样的编号为_ 解析:由最大的两个编号为 51,57,知分段间隔为 57516,即共抽取了60 6 10 个产品, 设第一个入样的编号为 x,则 x(101)657,解得 x3 答案:3 题型三 分层抽样 例 (1) (2021 河南名校联考) 九章算术第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱 五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰 出之,问各几何”其意为:今有甲带了

11、560 钱,乙带了 350 钱,丙带了 180 钱,三人一起 出关,共需要交关税 100 钱,依照钱的多少按比例出钱,则丙应出 钱(所得结果四 舍五入,保留整数) (2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组) (单位:人) 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣 小组的学生中抽取 30 人,结果篮球组被抽出 12 人,则 a 的值为_ 解析 (1) 按照钱的多少按比例出钱, 所以丙应该出钱为 180 560350180100 18 000 1 090 17

12、(2)由分层抽样得 12 4515 30 120a,解得 a30 答案 (1)17 (2)30 分层抽样中的计算问题 分层抽样满足“每层中抽取的个体数量 本层的总个体数量 样本容量 总体数量” ,即“ n1 N1 n2 N2 n N或 n1n2n N1N2N”, 据此在已知每层间的个体数量或数量比、 样本容量、 总体数量中的两个时, 就可以求出第三个 题组突破 1某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在 抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本中的老年教师人数为( ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4

13、 300 A90 B100 C180 D300 解析:设该样本中的老年教师人数为 x,由题意及分层抽样的特点得 x 900 320 1 600,故 x180 答案:C 2甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 件 解析:由题设,抽样比为 80 4 800 1 60 设甲设备生产的产品为 x 件,则 x 6050,所以 x3 000故乙设备生产的产品总数为 4 8003 0001 800 答案:1 800 抽样方法中的核心素养 数据分析、数学运算分层抽样的创新应

14、用 例 (2021 湖南四校摸底调研)某家电公司销售部门共有 200 名销售员,每年部门对每名 销售员都有 1 400 万元的年度销售任务已知这 200 名销售员去年的销售额都在区间2,22 (单位:百万元)内,现将其分成 5 组,第 1 组、第 2 组、第 3 组、第 4 组、第 5 组对应的 区间分别为2,6) ,6,10) ,10,14) ,14,18) ,18,22,并绘制出如下的频率分布直方 图 (1)求 a 的值,并计算完成年度任务的人数; (2)用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本,求这 5 组分别应抽取的 人数; (3)现从(2)中完成年度任务的销售

15、员中随机选取 2 名,奖励海南三亚三日游,求获得此 奖励的 2 名销售员在同一组的概率 解析 (1)(0020080092a)41,a003, 完成年度任务的人数为 2003420048 (2)第 1 组应抽取的人数为 0024252, 第 2 组应抽取的人数为 0084258, 第 3 组应抽取的人数为 0094259, 第 4 组应抽取的人数为 0034253, 第 5 组应抽取的人数为 0034253, (3)在(2)中完成年度任务的销售员中,第 4 组有 3 人,记这 3 人分别为 A1,A2,A3;第 5 组有 3 人,记这 3 人分别为 B1,B2,B3 从这 6 人中随机选取 2

16、 名,所有的基本事件为 A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2B1, A2B2,A2B3,A3B1,A3B2,A3B3,B1B2,B1B3,B2B3,共有 15 个基本事件, 获得此奖励的 2 名销售员在同一组所包含的基本事件有 6 个, 故所求概率 P 6 15 2 5 解决分层抽样与样本数据分析问题的注意点 (1)弄清分层抽样问题中每层的数据 (2)求解概率时注意概率类型的判断 对点训练 (2021 重庆九校联盟模拟)某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间,从该社 会退休老人中随机抽取了 100 位老人进行调查,获得了每人每天的平均户外活动时间(单位:

17、时) ,活动时间按照0,05) ,05,1) ,4,45分成 9 组,制成样本的频率分布直 方图如图所示 (1)求图中 a 的值; (2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数; (3)在1,15) ,15,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取 7 人,再从这 7 人中随机抽 取 2 人,求抽取的 2 人恰好在同一个组的概率 解析: (1)由频率分布直方图,可知平均户外活动时间在0,05)内的频率为 00805 004 同理,平均户外活动时间在05,1) ,15,2) ,2,25) ,3,35) ,35,4) ,4, 45内的频率分别为 008,020,025,007,004,00

18、2, 由 1 (0 040080 20025007004002)05a05a, 解得 a0 30 (2)设中位数为 m 时 因为前 5 组的频率之和为 00400801502002507205, 而前 4 组的频率之和为 00400801502004705,所以 2m25 所以 050(m2)05047,解得 m206 故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为 206 时 (3)由题意得平均户外活动时间在1,15) ,15,2)内的人数分别为 15,20, 按分层抽样的方法在1,15) ,15,2)内分别抽取 3 人、4 人,再从 7 人中随机抽取 2 人,共有 21 种方法,抽取的两人恰好都在同一个组有 9 种方法,故抽取的 2 人恰好在同一个 组的概率 P 9 21 3 7

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