2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:8.2 两直线的位置关系

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1、第二节 两直线的位置关系 命题分析预测 学科核心素养 本节内容单独考查较少,多与其他知识交汇考查常涉及充 要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容,多为选择题 通过两直线的位置关系、对称 问题的考查,提升数学运算核 心素养 授课提示:对应学生用书第 167 页 知识点一 两直线的位置关系 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有 l1l2k1k2特别地,当直线 l1, l2的斜率都不存在时,l1与 l2平行 (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1,l2斜率都存在,设为 k1,k2,则 l1l2k1k21,当一条直线斜率为零,

2、 另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直 2两直线相交 直线 l1: A1xB1yC10 和 l2: A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC20 的解一一对应 相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行方程组无解; 重合方程组有无数个解 温馨提醒 两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一 条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况 1 已知过点 A (2, m) 和 B (m, 4) 的直线与直线 2xy10 平行, 则实数 m 的值为 ( ) A0 B8 C2 D10 解析:由题意知 4m m(2)2

3、,解得 m8 答案:B 2已知 P(2,m) ,Q(m,4) ,且直线 PQ 垂直于直线 xy10,则 m( ) A1 B2 C3 D4 解析:由题意知 m4 2m1,所以 m42m,所以 m1 答案:A 3 (易错题)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则 m( ) A2 B3 C2 或3 D3 解析:直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则有2 m m1 3 4 2,故 m2 或3 答案:C 知识点二 距离公式 1两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2 特别地,原点

4、O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP| x2y2 2点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线 l:AxByC0 的距离 d|Ax0By0C| A2B2 3两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线 l1:AxByC10,l2:AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2 温馨提醒 运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x,y 的系数分别相等这一条件,盲目套用 公式导致出错 1已知点(a,2) (a0)到直线 l:xy30 的距离为 1,则 a( ) A 21 B 21 C2 2 D 22 解析:由题意得|a23| 11 1, 解得 a1 2或 a

5、1 2因为 a0,所以 a1 2 答案:A 2直线 2x2y10,xy20 之间的距离是( ) A4 2 3 B3 2 4 C2 3 3 D3 3 4 解析:先将 2x2y10 化为 xy1 20, 则两平行线间的距离为 d |21 2| 2 3 2 4 答案:B 授课提示:对应学生用书第 168 页 题型一 两直线的位置关系 1 (2021 济南模拟)“m3”是“直线 l1:2(m1)x(m3)y75m0 与直线 l2: (m3)x2y50 垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析:由 l1l2得,2(m1) (m3)2(m3)0,解得 m

6、3 或 m2所以 m3 是 l1l2的充分不必要条件 答案:A 2 (2021 衡水中学一调)直线 l1: (3a)x4y53a 和直线 l2:2x(5a)y8 平行, 则 a( ) A7 或1 B7 C7 或 1 D1 解析:由题意,得 (3a)(5a)240, (3a)82(53a)0,解得 a7 答案:B 3 (2021 洛阳统一考试)已知 b0,直线(b21)xay20 与直线 xb2y10 垂直, 则 ab 的最小值为( ) A1 B2 C2 2 D2 3 解析: 由已知两直线垂直可得, (b21) ab20, 即 ab2b21, 又 b0, 所以 abb1 b 由 基本不等式得 b

7、1 b 2b 1 b2,当且仅当 b1 时等号成立,所以(ab)min2 答案:B 两直线位置关系的三种判断方法 方法 平行 垂直 适合题型 化成斜 截式 k1k2,且 b1b2 k1k21 斜率存在 一般式 设直线 l1:A1xB1yC1 0, l2: A2xB2yC20, l1l2A1B2A2B10, 且 B1C2B2C10 设直线 l1:A1xB1yC1 0, l2: A2xB2yC20, l1l2A1A2B1B20 无限制 直接法 k1与k2都不存在, 且b1b2 k1与 k2中一个不存在,另 一个为零 k 不存在 题型二 距离问题 1 (2020 高考全国卷)点(0,1)到直线 yk

8、(x1)距离的最大值为( ) A1 B 2 C 3 D2 解析:设点 A(0,1) ,直线 l:yk(x1) ,由 l 过定点 B(1,0) ,知当 ABl 时,距 离最大,最大值为 2 答案:B 2过点 P(3,1)引直线,使点 A(2,3) ,B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的 方程为( ) Ax3 B4xy130 C4xy130 Dx3 或 4xy130 解析:若直线的斜率不存在,则其方程为 x3,满足条件; 若直线的斜率存在, 设其方程为 y1k (x3) , 即 kxy3k10, 由题意得|2k33k1| k21 |4k53k1| k21 , 解得 k4, 此时直线方程为 4x

9、y130, 综上,直线的方程为 x3 或 4xy130 答案:D 3 (2021 厦门模拟)若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为2 13 13 ,则 c 的 值是( ) A2 B2 C2 或6 D6 解析:依题意知,6 3 a 2 c 1,解得 a4,c2,即直线 6xayc0 可化为 3x2y c 20,又两平行线之间的距离为 2 13 13 ,所以 |c 21| 32(2)2 2 13 13 ,解得 c2 或6 答案:C 4 (2021 广州模拟)已知点 P(4,a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3,则 a 的取值范 围是( ) A0,10 B (0,10) C0,

10、5 D5,10 解析:由题意得,点 P 到直线的距离为|443a1| 5 |153a| 5 又|153a| 5 3,即|15 3a|15,解得 0a10,所以 a 的取值范围是0,10 答案:A 距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的 形状等 (2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距 离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在 (3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中 x,y 的对应项系数转化成相等的形式,再利 用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题 题型三

11、对称问题 对称问题是高考常考内容之一,也是考查转化能力的一种常见题型常见的命题角度 有: (1)点关于点对称; (2)点关于线对称; (3)线关于线对称 考法(一) 点关于点对称 例 1 过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2xy80 和 l2:x3y100 截得的线段 被点 P 平分,则直线 l 的方程为_ 解析 设 l1与 l 的交点为 A(a,82a) , 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2上,把 B 点坐标代入 l2的方程得 a3(2a6)100, 解得 a4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以由两点式得直线 l 的方程为:x4y40

12、答案 x4y40 点 P(x,y)关于 O(a,b)的对称点 P(x,y)满足 x2ax, y2by. 考法(二) 点关于线对称 例 2 (2021 长沙一调)已知入射光线经过点 M(3,4) ,被直线 l:xy30 反射, 反射光线经过点 N(2,6) ,则反射光线所在直线的方程为_ 解析 设点 M(3,4)关于直线 l:xy30 的对称点为 M(a,b) ,则反射光线所在 直线过点 M, 所以 b4 a(3) 11, 3a 2 b4 2 30, 解得 a1, b0. 又反射光线经过点 N(2,6) , 所以所求直线的方程为y0 60 x1 21,即 6xy60 答案 6xy60 解决点关于

13、直线对称的问题要把握两点,点 M 与点 N 关于直线 l 对称,则线段 MN 的中点在 直线 l 上,直线 l 与直线 MN 垂直 考法(三) 线关于线对称 例 3 已知直线 l:xy10,l1:2xy20若直线 l2与 l1关于 l 对称,则 l2的方程是 ( ) Ax2y10 Bx2y10 Cxy10 Dx2y10 解析 由 xy10, 2xy20,得交点(1,0) ,取 l 1上的点(0,2) ,其关于直线 l 的对称点为 (1,1) ,故直线 l2的方程为 y0 10 x1 11,即 x2y10 答案 B 线关于线的对称的求解方法 (1)若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关

14、于轴的对称点,然后用点斜式求 解 (2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴对称的对称 点,最后由两点式求解 对点训练 已知直线 l:2x3y10,点 A(1,2) 求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标; (2)直线 m:3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程; (3)直线 l 关于点 A(1,2)对称的直线 l的方程 解析: (1)设 A(x,y) , 由已知得 y2 x1 2 31, 2x1 2 3y2 2 10, 解得 x 33 13, y 4 13. 所以 A 33 13, 4 13 (2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0)

15、, 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上 设 M(a,b) ,则 2a2 2 3b0 2 10, b0 a2 2 31. 解得 M 6 13, 30 13 设直线 m 与直线 l 的交点为 N, 则由 2x3y10, 3x2y60,得 N (4, 3) 又因为 m经过点 N (4, 3) , 所以由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020 (3)设 P(x,y)为 l上任意一点,则 P(x,y)关于点 A(1,2)的对称点为 P(2 x,4y) ,因为 P在直线 l 上,所以 2(2x)3(4y)10,即 2x3y9 0 两直线位置关系应用中的核心素养 数学运算直线系方

16、程的应用 1平行直线系 由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次 项系数与常数项有必然的联系 例 1 求与直线 3x4y50 平行且过点(2,3)的直线 l 的方程 解析 依题意,设所求直线方程为 3x4yC10(C15) ,因为直线过点(2,3) , 所以 3243C10,解得 C118 因此,所求直线方程为 3x4y180 先设与直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxByC10(C1C) ,再由其他条件求 C1 2垂直直线系 由于直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 垂直的充要条件为 A1A2B1B20,因此,当 两直线垂直时,它们

17、的一次项系数有必然的联系,可以考虑用直线系方程求解 例 2 求经过 A(2,4) ,且与直线 2xy10 垂直的直线 l 的方程 解析 因为所求直线与直线 2xy10 垂直,所以设该直线方程为 x2yC10,又直线 过点 A(2,4) ,所以有 224C10,解得 C16,所以所求直线方程为 x2y60 先设与直线 AxByC0 垂直的直线系方程为 BxAyC10,再由其他条件求出 C1 3过直线交点的直线系 例 3 过直线 x2y10 与直线 2xy10 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线 方程为_ 解析 设所求直线方程为 x2y1(2xy1)0,当直线过原点时,10 得, 1,此时所求

18、直线方程为 x3y0;当直线不过原点时,令 x0,得 y1 2,令 y0, 得 x 1 21 由题意得1 2 1 21, 解得 1 3或 1(舍) 此时所求直线方程为 5x5y40 综上所述,所求直线方程为 x3y0 或 5x5y40 答案 x3y0 或 5x5y40 过直线 l1:A1xB1yC10 与直线 l2:A2xB2yC20 交点的直线系方程为 A1xB1yC1 (A2xB2yC2)0( 为参数) ,其中不包括直线 l2 4过定点的直线系 例 4 直线(m1)x(m3)y(m11)0(m 为常数)恒过定点的坐标为_ 解析 法一:将方程变为x3y11m(xy1)0,由 x3y110,

19、xy10, 得 x 7 2, y5 2, 故直线恒过定点 7 2, 5 2 法二:分别令 m1,m3,得 4y100, 4x140, 所以 x 7 2, y5 2, 故直线恒过定点 7 2, 5 2 答案 7 2, 5 2 1过定点(x0,y0)的直线系方程为 yy0k(xx0) (k 为直线的斜率)或 A(xx0)B (yy0)0(A、B 不同时为 0) 2求直线系过定点问题的常用方法 恒等式法:将直线方程化为参数的恒等式形式,利用参数取值的任意性,得关于 x,y 的方程 组求出定点坐标 特殊直线法:给出任意两个参数值,得到两条直线,求其交点即为定点 题组突破 1 与直线 x2y30 平行,

20、 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 的直线方程是_ 解析:设所求直线方程为 x2y0, 令 x0,得 y 2;令 y0,得 x由题意,得 1 2 2 |4,解得 4故所求直线 方程为 x2y 40 答案:x2y 40 2直线 mxym10(m 为参数)经过定点的坐标为_ 解析:法一: (恒等式法)直线方程化为 m(x1)y10,由 x10, y10,得 x1,y1故 直线 mxym10 过定点(1,1) 法二: (特殊直线法)取 m0,得 y1, 取 m1,得 xy20, 由得 x1,y1 故直线 mxym10 过定点(1,1) 答案: (1,1) 3过直线 x2y40 和直线 xy20 的交点,且与直线 3x4y50 垂直的直线方程 为_ 解析:设所求直线方程为 x2y4(xy2)0, 即(1)x(2)y(42)0, 则其斜率 k1 2, 由题意可知,1 2 3 41, 解得 11 故所求直线方程为 4x3y60 答案:4x3y60

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