2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:9.8 曲线与方程

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资源描述

1、第八节第八节 曲线与方程曲线与方程 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)0 的实数 解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是_. (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 是 _. 那 么 这 个 方 程 叫 做 _,这条曲线叫做_. 2求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系建立适当的坐标系 (2)设点设轨迹上的任一点 P(x,y) (3)列式列出动点 P 所满足的关系式 (4)代换依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x,y 的方程式,并 化简 (5)

2、证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 3两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的_,即 两个曲线方程组成的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点, 方程组_,两条曲线就没有交点 (2)两条曲线有交点的_条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见,求 曲线的交点问题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题 二、必明 2 个易误点 1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大 小等特征,后者指方程(包括范围) 2求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 【小题热身】【小题

3、热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0,y0)0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)0 上的充要条件( ) (2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的( ) (4)方程 y x与 xy2表示同一曲线( ) 二、教材改编 2已知 M(2,0),N(2,0),|PM|PN|4,则动点 P 的轨迹是( ) A双曲线 B双曲线左边一支 C一条射线 D双曲线右边一支 3和点 O(0,0),A(c,0)距离的平方和为常数 c 的点的轨迹方程为_ 三、易错易混 4方程 x 14y2所表示的曲线是(

4、) A双曲线的一部分 B椭圆的一部分 C圆的一部分 D直线的一部分 5设线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,且|AB|5,OM 3 5OA 2 5OB , 则点 M 的轨迹方程为( ) A.x 2 9 y2 41 B. y2 9 x2 41 C.x 2 25 y2 91 D. y2 25 x2 91 考点一 直接法求轨迹方程自主练透型 12021 杭州调研已知点 F(0,1),直线 l:y1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且QP QF FP FQ ,则动点 P 的轨迹 C 的方程为( ) Ax24y By23x Cx22y Dy24x

5、2 已知 M(2,0), N(2,0), 则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( ) Ax2y22 Bx2y24 Cx2y22(x 2) Dx2y24(x 2) 悟 技法 直接法求轨迹方程的方法 在不能确定轨迹形状时,要根据题设条件,通过“建(系)、设(点)、限(条件)、代(代入坐 标)、化(化简与证明)”的步骤求轨迹方程,关键是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为 坐标关系. 考点二 定义法求轨迹方程互动讲练型 例 1 已知圆 M:(x1)2y21,圆 N:(x1)2y29,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程 悟

6、技法 定义法求轨迹方程的解题策略 (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据 曲线的方程,写出所求的轨迹方程 (2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不 是完整的曲线,则应对其中的变量 x 或 y 进行限制. 变式练(着眼于举一反三) 1本例中圆 M,N 方程分别变为“圆 M:(x4)2y22;圆 N:(x4)2y22”,其余 条件不变,求 C 的方程 2若本例中的条件“动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切”改为“动圆 P 与圆 M、圆 N 都外切”,则圆心 P 的轨迹方程为_ 考点三 代入法(相关点法)

7、求轨迹方程 互动讲练型 例 2 2017 全国卷设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:x 2 2y 21 上,过 M 作 x 轴 的垂线,垂足为 N,点 P 满足NP 2 NM . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x3 上,且OP PQ 1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 焦点 F. 悟悟 技法技法 代入法也叫坐标转移法,是求轨迹方程常用的方法, 其题目特征是:点 P 的运动与点 Q 的运动相关,且点 Q 的运动有规律(有方程),只需将点 P 的坐标转移到点 Q 的方程中,整理 可得点 P 的轨迹方程. 变式练(着眼于举一反三) 3 2021

8、 河北石家庄模拟已知点Q在椭圆C: x2 16 y2 101上, 点P满足OQ 1 2(OF1 OP )(其 中 O 为坐标原点,F1为椭圆 C 的左焦点),则点 P 的轨迹为( ) A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆 第八节第八节 曲线与方程曲线与方程 【知识重温】【知识重温】 这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 公共解 无解 充要 【小题热身】【小题热身】 1答案:(1) (2) (3) (4) 2解析:因为|PM|PN|MN|4,所以动点 P 的轨迹是以 N(2,0)为端点向右的一条射 线 答案:C 3解析:设点的坐标为(x,y), 由题意知( x02y02)2( xc2y0

9、2)2c, 即 x2y2(xc)2y2c, 即 2x22y22cxc2c0. 答案:2x22y22cxc2c0 4解析:x 14y2两边平方,可变为 x24y21(x0),表示的曲线为椭圆的一部分 答案:B 5解析:设 M(x,y),A(x0,0),B(0,y0), 由OM 3 5OA 2 5OB ,得(x,y)3 5(x0,0) 2 5(0,y0), 则 x3 5x0, y2 5y0, 解得 x05 3x, y05 2y, 由|AB|5,得 5 3x 2 5 2y 225, 化简得x 2 9 y2 41. 答案:A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析:设点 P(x,y),则 Q(x,1

10、) QP QF FP FQ ,(0,y1) (x,2)(x,y1) (x,2),即 2(y1)x22(y1), 整理得 x24y, 动点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y. 答案:A 2解析:解法一 设 P(x,y),MPN 为直角三角形, |MP|2|NP|2|MN|2, (x2)2y2(x2)2y216, 整理得 x2y24. M,N,P 不共线,x 2, 轨迹方程为 x2y24(x 2) 解法二 设 P(x,y),MPN 为直角三角形, PMPN,PM PN 0, (2x,y) (2x,y)0, 整理得,x2y24. M、N、P 不共线,x 2. 轨迹方程为 x2y24.(x 2) 答

11、案:D 考点二 例 1 解析:由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0),半径 r11;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左,右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的 椭圆(左顶点除外),其方程为x 2 4 y2 31(x2) 变式练 1解析:设动圆 P 的半径为 r, |PM|r 2,|PN|r 2. |PM|PN|2 2,又 M(4,0),N(4,0), |MN|8. 2 2|MN|. 由双曲线

12、定义知,P 点轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支 a 2,c4,b2c2a214. 方程为x 2 2 y2 141(x 2) 2解析:因为圆 M 与圆 N 相内切,设其切点为 A,又因为动圆 P 与圆 M、圆 N 都外切, 所以动圆 P 的圆心在 MN 的连线上,且经过点 A,因此动点 P 的轨迹是射线 AM 的反向延长 线(不含切点 A),其方程为:y0(x2) 答案:y0(x2) 考点三 例 2 解析:(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),NP (xx 0,y),NM (0,y0) 由NP 2 NM 得 x0 x,y0 2 2 y. 因为 M(x0,y0)在 C

13、 上,所以x 2 2 y2 21. 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22. (2)由题意知 F(1,0) 设 Q(3, t), P(m, n), 则OQ (3, t), PF (1m, n), OQ PF 33mtn,OP (m,n),PQ (3m,tn) 由OP PQ 1 得3mm2tnn21, 又由(1)知 m2n22,故 33mtn0. 所以OQ PF 0,即OQ PF . 又过点 P 存在唯 一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 变式练 3解析:因为点 P 满足OQ 1 2(OF1 OP ), 所以 Q 是线段 PF1的中点 设 P(a,b),由于 F1为椭圆 C:x 2 16 y2 101 的左焦点, 则 F1( 6,0),故 Q a 6 2 ,b 2 , 由点 Q 在椭圆 C:x 2 16 y2 101 上, 则点 P 的轨迹方程为a 6 2 64 b 2 401, 故点 P 的轨迹为椭圆 答案:D

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