1、第六节第六节 双曲线双曲线 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1双曲线的定义 (1)平面内与两个定点 F1、F2(|F1F2|2c0)的距离_为非零常数 2a(2a0，c0. ()当_时，M 点的轨迹是双曲线； ()当_时，M 点的轨迹是两条射线； ()当_时，M 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 性 质 范围 _ yR _ xR 对称性 对称轴：_ 对称中心：_ 对称轴：_ 对称中心：_ 顶点 顶点坐标：A1_， A2_ 顶点坐标：A1_， A2_ 渐近线 _ _ 离心率
2、e_，e(1，)其中 c_ 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| 21_；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2| 22_；a 叫做双曲 线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 关系 c2 23_(ca0，cb0) 3.双曲线中的 4 个常用结论 (1)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近线互相垂直 (2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在 x 轴上时，渐近线斜率为 b a，当 焦点在 y 轴上时，渐近线斜率为 a b. (3)渐近线与离心率 x2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线的斜率为 b a e 21
3、. (4)若 P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF|ca. 二、必明 4 个易误点 1双曲线的定义中易忽视 2a|F1F2|则轨迹不存在 2双曲线的标准方程中对 a，b 的要求只是 a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要求相同 若 ab0，则双曲线的离心率 e(1， 2)； 若 ab0，则双曲线的离心率 e 2； 若 0a 2. 3注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a，b，c 关系，在椭圆中 a2b2c2， 而在双曲线中 c2a2b2. 4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在 x 轴上，渐近线斜率为 b a， 当焦点在 y 轴上，渐近线斜率为 a
4、 b. 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线( ) (2)方程x 2 m y2 n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) (3)双曲线方程x 2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n20，即 x m y n0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (5)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)与 x2 b2 y2 a21(a0， b0)的离心率分别是 e1， e2， 则
5、1 e21 1 e22 1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)( ) 二、教材改编 2若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离 心率为( ) A. 5 B5 C. 2 D2 3经过点 A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 三、易错易混 4P 是双曲线x 2 16 y2 811 上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|9，则|PF2| _. 5坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为 3，则双 曲线的离心率为_ 四、走进高考 6 2020 江苏卷在平面直角坐标系 xOy 中， 若双
6、曲线x 2 a2 y2 51(a0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x，则该双曲线的离心率是_ 考点一 双曲线的定义及其标准方程 互动讲练型 考向一：双曲线的定义及应用 例 1 (1)2021 河南非凡联盟联考已知双曲线 C：x 2 a2 y2 91(a0)的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线与直线 4x3y0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF2|6，则|MF1|( ) A2 或 14 B2 C14 D2 或 10 (2)2020 全国卷设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心 率为 5.P 是 C 上一点，且 F1PF2P.若PF1F
7、2的面积为 4，则 a( ) A1 B2 C4 D8 悟 技法 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方 的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系 注意 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲 线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支. 考向二：双曲线的方程 例 2 2020 天津卷设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，过抛物线 y 24x 的焦点 和点(0，b)的直线为 l.若 C
8、 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C 的方 程为( ) A.x 2 4 y2 41 Bx 2y 2 41 C.x 2 4y 21 Dx2y21 悟 技法 求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求 出 a， b， c 的值 与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时， 可设所求双曲线方程为 x2 a2 y2 b2(0) (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值. 变式练(着眼于举一反三) 1 已知F1， F2为双曲线C： x2y22的左
9、、 右焦点， 点P在C上， |PF1|2|PF2|， 则cosF1PF2 _. 22021 太原市高三年级模拟试题已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程 为y 3 x ， 若 其 右 顶 点 到 这 条 渐 近 线 的 距 离 为3 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 _ 考点二 双曲线的几何性质分层深化型 考向一：双曲线的离心率 例 3 2020 全国卷已知 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，A 为 C 的右 顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_ 考向二：双曲线的渐近线 例
10、 4 2021 合肥市高三教学质量检测已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 为点 F，点 B 是虚轴的一个端点，点 P 为双曲线 C 左支上的一个动点，若BPF 周长的最小 值等于实轴长的 4 倍，则双曲线 C 的渐近线方程为_ 悟 技法 1.求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求 a，b，c 的值，由c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的 方程(或不等式)求解 2求双曲线的渐近线方程的方法 求双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐
11、近线的方法是令 x2 a2 y2 b20，即得两渐近线方程 x a y b0. 同类练(着眼于触类旁通) 32021 河南南阳质检若双曲线y 2 a2 x2 91(a0)的一条渐近线与直线 y 1 3x 垂直，则此双 曲线的实轴长为( ) A2 B4 C18 D36 42021 广州市高三年级调研检测已知 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点， 过 F 作 C 的渐近线的垂线 FD，垂足为 D，且满足|FD|1 2|OF|(O 为坐标原点)，则双曲线的离 心率为( ) A.2 3 3 B2 C3 D. 10 3 变式练(着眼于举一反三) 52021 洛阳市尖子生联
12、考已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 为双曲线上一点， 且|PF1|2|PF2|， 若 sinF1PF2 15 4 ， 则该双曲线的离心率等于( ) A. 6 B2 C. 6或 2 D. 31 或 6 62021 惠州市高三调研考试双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，则该双曲线 的渐近线与圆(x2)2y23 的公共点的个数为( ) A1 B2 C4 D0 拓展练(着眼于迁移应用) 72021 合肥市高三教学质量检测已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点 分别为 F1， F2， 圆 F2
13、与双曲线 C 的渐近线相切， M 是圆 F2与双曲线 C 的一个交点 若F1M F2M 0，则双曲线 C 的离心率等于( ) A. 5 B2 C. 3 D. 2 82021 湖南省长沙市高三调研试题已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点为 F，过原点的直线 l 与双曲线左、右两支分别交于点 P，Q，且满足|QF|PF|8，虚轴的上端 点 B 在圆 x2(y3)21 内，则该双曲线离心率的取值范围为( ) A. 51 2 ，2 B. 31 2 ，2 C. 5 2 ， 2 D( 2， 3) 考点三 直线与双曲线的位置关系 互动讲练型 例 5 2021 长沙四校联考设 A，
14、B 分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右顶点， 双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 3 3 x2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D， 使OM ON tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标 悟 技法 1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程， 然后把直线方程和双曲线方程组成 方程组，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入 2 有时根据直线的斜率 k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷. 变式练(着眼于举一反三)
15、9已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于 3，过右焦 点 F2的直线 l 交双曲线于 A，B 两点，F1为左焦点 (1)求双曲线的方程； (2)若F1AB 的面积等于 6 2，求直线 l 的方程 第六节第六节 双曲线双曲线 【知识重温】【知识重温】 之差的绝对值 焦点 焦距 2a|F1F2| xa 或 xa ya 或 ya x 轴，y 轴 坐标原点 x 轴，y 轴 坐标原点 (a,0) (a,0) (0，a) (0，a) y b ax y a bx c a a2b2 212a 222b 23a2b2 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (
16、2) (3) (4) (5) 2解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a y b0， 即 bx ay0，2a bc a2b2b.又 a 2b2c2，5a2c2.e2c 2 a25，e 5. 答案：A 3解析：设双曲线的方程为x 2 a2 y2 a2 1(a0)，把点 A(4,1)代入，得 a 215(舍负)，故所求 方程为x 2 15 y2 151. 答案：x 2 15 y2 151 4解析：由题意知 a4，b9， c a2b2 97， 由于|PF1|9ac4 97， 故点 P 只能在左支上， |PF2|PF1|2a8， |PF2|PF1| 817. 答案：17
17、 5解析：若双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21，则渐近线的方程为 y b ax，由题意可得 b atan 3 3，b 3a，可得 c2a，则 e c a2；若双曲线的焦点在 y 轴 上， 设双曲线的方程为y 2 a2 x2 b21， 则渐近线的方程为 y a bx， 由题意可得 a btan 3 3， a 3 b，可得 c2 3 3 a，则 e2 3 3 .综上可得 e2 或 e2 3 3 . 答案：2 或2 3 3 6解析：由双曲线的一条渐近线方程为 y 5 2 x 得b a 5 2 ，则该双曲线的离心率 ec a 1 b a 23 2. 答案：3 2 课堂
18、考点突破课堂考点突破 考点一 例 1 解析：(1)由题意知3 a 3 4，故 a4，则 c5. 由|MF2|6ac9，知点 M 在 C 的右支上， 由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a8， 所以|MF1|14. (2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则|r1r2|2a，r21r222r1r24a2. 由于 F1PF2P，则 r21r224c2，4c22r1r24a2，r1r22b2. SPF1F21 2r1r2 1 22b 2b24，e 1b 2 a2 1 4 a2 5，解得 a 21，即 a 1.故选 A. 答案：(1)C (2)A 例 2 解析：解法一 由题知 y24x 的焦点坐标为(
19、1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程 为 xy b1，而 x2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 x a y b0 和 x a y b0，由 l 与一条渐近线平行，与一 条渐近线垂直，得 a1，b1，故选 D. 解法二 由题知双曲线 C 的两条渐近线互相垂直，则 ab，即渐近线方程为 x y0，排 除 B，C.又知 y24x 的焦点坐标为(1,0)，l 过点(1,0)，(0，b)，所以b0 011，b1，故选 D. 答案：D 变式练 1解析：由双曲线的定义有 |PF1|PF2|PF2|2a2 2， 所以|PF1|2|PF2|4 2， 则 cosF1PF2|PF1| 2|PF 2| 2|
20、F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 4 2 22 2242 24 22 2 3 4. 答案：3 4 2解析：由一条渐近线的方程为 y 3x，得b a 3，由右顶点(a,0)到渐近线 y 3x 的 距离为 3，得 3a 2 3，由 b a 3 3 2 a 3 ，得 a2 b2 3 ，所以双曲线的方程为x 2 4 y2 121. 答案：x 2 4 y2 121 考点二 例3 解析： 点B为双曲线的通径位于第一象限的端点， 其坐标为 c，b 2 a ， 点A坐标为(a,0)， AB 的斜率为 3， b2 a ca3，即 c2a2 aca ca a e13，e2.故离心率 e2. 答案：2 例
21、 4 解析： 由题意可得 F(c,0)，如图，不妨设 B(0，b)，F(c,0)连接 PF，BF.由双曲线的定 义可得|PF|PF|2a，则|PF|PF|2a， |BF|BF| b2c2， 则BPF 的周长为|PB|PF|BF|PB|PF|2a|BF|2|BF|2a， 当且仅当 B，P，F共线，且 P 在 B，F中间时，BPF 的周长取得最小值，且为 2a 2 b2c2， 由题意可得 8a2a2 b2c2，即 9a2b2c22c2a2， 即 5a2c2a2b2,4a2b2，b a2，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x. 答案：y 2x 同类练 3解析：双曲线的渐近线方程为 y a 3x，
22、由题意可得 a 3 1 31，得 a9，2a18. 故选 C. 答案：C 4解析：根据双曲线的几何性质可知，焦点到渐近线的距离|FD|b，而|OF|c，依题意 得 b1 2c，代入 c 2a2b2得 c2a21 4c 2，即3 4c 2a2，所以c 2 a2 4 3， c a 2 3 3 .故选 A. 答案：A 5解析： 因为 P 为双曲线 C 上一点，且|PF1|2|PF2|，所以点 P 在双曲线 C 右支上，如图，则|PF1| |PF2|2a.又因为|PF1|2|PF2|，所以|PF2|2a，|PF1|4a.因为 sinF1PF2 15 4 ，所以 cosF1PF2 1 4.在F1PF2
23、中，cosF1PF2|PF1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1|PF2| 16a 24a24c2 2 4a 2a 1 4，解 得 e24 或 e26.又 e1，所以 e2 或 e 6.故选 C. 答案：C 6解析：双曲线x 2 a2 y2 b21 的一条渐近线的方程为 y b ax.由离心率 e c a2 得 c2 a24，即 a2b2 a2 4，得b a 3，所以一条渐近线的方程为 y 3x.联立得 y 3x x22y23 ，消去 y 整 理得 4x24x10， 因为 16440，所以渐近线 y 3x 与圆(x2)2y23 只有一个 公共点由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(
24、x2)2y23 的公共点的个数为 2，选 B. 答案：B 拓展练 7解析：双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F2(c,0)，圆 F2与双曲线 C 的渐近线 y b ax 相切，故圆 F2 的半径 r 等于点 F2到直线 bx ay0 的距离，rb，又 M 是圆 F2与双 曲线 C 的一个交点，|F2M|b，|F1M|2ab，又F1M F2M 0，F1M F2M ，又|F1F2|2c， (2ab)2b24c2，b2a，e1b 2 a2 5，故选 A. 答案：A 8解析：设双曲线 C 的右焦点为 F，连接 PF，QF，如图所示由对称性可知，P， Q 关于原点对称，则|O
25、P|OQ|.又|OF|OF|，所以四边形 PFQF为平行四边形，所以|PF| |QF|，则|QF|PF|QF|QF|2a8，所以 a4.因为虚轴的上端点 B(0，b)在圆 x2 (y3)21 内，所以 02(b3)21，解得 2b4，则 2 c2a24，即 2 c2164， 得 2 5c4 2，所以 ec a 5 2 ， 2 ，故选 C. 答案：C 考点三 例 5 解析：(1)由题意知 a2 3， 一条渐近线为 y b 2 3 x. 即 bx2 3y0， |bc| b212 3， b23，双曲线的方程为x 2 12 y2 31. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
26、 若OM ON tOD ， 则 x1x2tx0，y1y2ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x216 3x840， 则 x1x216 3，y1y212. x0 y0 4 3 3 ， x20 12 y20 31， x04 3， y03， t4，点 D 的坐标为(4 3，3) 变式练 9解析：(1)依题意，b 3，c a2a1，c2， 双曲线的方程为 x2y 2 31. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知 F2(2,0) 易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线 l：yk(x2)， 由 ykx2， x2y 2 31， 消元得(k23)x24k2x4k230， k 3时，x1x2 4k2 k23， x1x24k 23 k23 ，y1y2k(x1x2)， F1AB 的面积 Sc|y1y2|2|k| |x1x2| 2|k| 16k44k234k23 |k23| 12|k| k21 |k23| 6 2. 得 k48k290，则 k 1. 所以直线 l 的方程为 yx2 或 yx2.
