1、第八节第八节 曲线与方程曲线与方程 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数 解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是_. (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 是 _. 那 么 这 个 方 程 叫 做 _，这条曲线叫做_. 2求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系建立适当的坐标系 (2)设点设轨迹上的任一点 P(x，y) (3)列式列出动点 P 所满足的关系式 (4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y 的方程式，并 化简 (5)
2、证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 3两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的_，即 两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点， 方程组_，两条曲线就没有交点 (2)两条曲线有交点的_条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求 曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题 二、必明 2 个易误点 1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大 小等特征，后者指方程(包括范围) 2求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 【小题热身】【小题
3、热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件( ) (2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的( ) (4)方程 y x与 xy2表示同一曲线( ) 二、教材改编 2已知 M(2,0)，N(2,0)，|PM|PN|4，则动点 P 的轨迹是( ) A双曲线 B双曲线左边一支 C一条射线 D双曲线右边一支 3和点 O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数 c 的点的轨迹方程为_ 三、易错易混 4方程 x 14y2所表示的曲线是(
4、) A双曲线的一部分 B椭圆的一部分 C圆的一部分 D直线的一部分 5设线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，且|AB|5，OM 3 5OA 2 5OB ， 则点 M 的轨迹方程为( ) A.x 2 9 y2 41 B. y2 9 x2 41 C.x 2 25 y2 91 D. y2 25 x2 91 考点一 直接法求轨迹方程自主练透型 12021 杭州调研已知点 F(0,1)，直线 l：y1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且QP QF FP FQ ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为( ) Ax24y By23x Cx22y Dy24x
5、2 已知 M(2,0)， N(2,0)， 则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( ) Ax2y22 Bx2y24 Cx2y22(x 2) Dx2y24(x 2) 悟 技法 直接法求轨迹方程的方法 在不能确定轨迹形状时，要根据题设条件，通过“建(系)、设(点)、限(条件)、代(代入坐 标)、化(化简与证明)”的步骤求轨迹方程，关键是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为 坐标关系. 考点二 定义法求轨迹方程互动讲练型 例 1 已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程 悟
6、技法 定义法求轨迹方程的解题策略 (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据 曲线的方程，写出所求的轨迹方程 (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不 是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制. 变式练(着眼于举一反三) 1本例中圆 M，N 方程分别变为“圆 M：(x4)2y22；圆 N：(x4)2y22”，其余 条件不变，求 C 的方程 2若本例中的条件“动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切”改为“动圆 P 与圆 M、圆 N 都外切”，则圆心 P 的轨迹方程为_ 考点三 代入法(相关点法)
7、求轨迹方程 互动讲练型 例 2 2017 全国卷设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x 2 2y 21 上，过 M 作 x 轴 的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2 NM . (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x3 上，且OP PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 焦点 F. 悟悟 技法技法 代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法， 其题目特征是：点 P 的运动与点 Q 的运动相关，且点 Q 的运动有规律(有方程)，只需将点 P 的坐标转移到点 Q 的方程中，整理 可得点 P 的轨迹方程. 变式练(着眼于举一反三) 3 2021
8、 河北石家庄模拟已知点Q在椭圆C： x2 16 y2 101上， 点P满足OQ 1 2(OF1 OP )(其 中 O 为坐标原点，F1为椭圆 C 的左焦点)，则点 P 的轨迹为( ) A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆 第八节第八节 曲线与方程曲线与方程 【知识重温】【知识重温】 这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线 公共解 无解 充要 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：因为|PM|PN|MN|4，所以动点 P 的轨迹是以 N(2,0)为端点向右的一条射 线 答案：C 3解析：设点的坐标为(x，y)， 由题意知( x02y02)2( xc2y0
9、2)2c， 即 x2y2(xc)2y2c， 即 2x22y22cxc2c0. 答案：2x22y22cxc2c0 4解析：x 14y2两边平方，可变为 x24y21(x0)，表示的曲线为椭圆的一部分 答案：B 5解析：设 M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)， 由OM 3 5OA 2 5OB ，得(x，y)3 5(x0,0) 2 5(0，y0)， 则 x3 5x0， y2 5y0， 解得 x05 3x， y05 2y， 由|AB|5，得 5 3x 2 5 2y 225， 化简得x 2 9 y2 41. 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：设点 P(x，y)，则 Q(x，1
10、) QP QF FP FQ ，(0，y1) (x,2)(x，y1) (x，2)，即 2(y1)x22(y1)， 整理得 x24y， 动点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y. 答案：A 2解析：解法一 设 P(x，y)，MPN 为直角三角形， |MP|2|NP|2|MN|2， (x2)2y2(x2)2y216， 整理得 x2y24. M，N，P 不共线，x 2， 轨迹方程为 x2y24(x 2) 解法二 设 P(x，y)，MPN 为直角三角形， PMPN，PM PN 0， (2x，y) (2x，y)0， 整理得，x2y24. M、N、P 不共线，x 2. 轨迹方程为 x2y24.(x 2) 答
11、案：D 考点二 例 1 解析：由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左，右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的 椭圆(左顶点除外)，其方程为x 2 4 y2 31(x2) 变式练 1解析：设动圆 P 的半径为 r， |PM|r 2，|PN|r 2. |PM|PN|2 2，又 M(4,0)，N(4,0)， |MN|8. 2 2|MN|. 由双曲线
12、定义知，P 点轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支 a 2，c4，b2c2a214. 方程为x 2 2 y2 141(x 2) 2解析：因为圆 M 与圆 N 相内切，设其切点为 A，又因为动圆 P 与圆 M、圆 N 都外切， 所以动圆 P 的圆心在 MN 的连线上，且经过点 A，因此动点 P 的轨迹是射线 AM 的反向延长 线(不含切点 A)，其方程为：y0(x2) 答案：y0(x2) 考点三 例 2 解析：(1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP (xx 0，y)，NM (0，y0) 由NP 2 NM 得 x0 x，y0 2 2 y. 因为 M(x0，y0)在 C
13、 上，所以x 2 2 y2 21. 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22. (2)由题意知 F(1,0) 设 Q(3， t)， P(m， n)， 则OQ (3， t)， PF (1m， n)， OQ PF 33mtn，OP (m，n)，PQ (3m，tn) 由OP PQ 1 得3mm2tnn21， 又由(1)知 m2n22，故 33mtn0. 所以OQ PF 0，即OQ PF . 又过点 P 存在唯 一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 变式练 3解析：因为点 P 满足OQ 1 2(OF1 OP )， 所以 Q 是线段 PF1的中点 设 P(a，b)，由于 F1为椭圆 C：x 2 16 y2 101 的左焦点， 则 F1( 6，0)，故 Q a 6 2 ，b 2 ， 由点 Q 在椭圆 C：x 2 16 y2 101 上， 则点 P 的轨迹方程为a 6 2 64 b 2 401， 故点 P 的轨迹为椭圆 答案：D