1、第二讲 平面向量的数量积及应用 第五章第五章 平面平面向量向量 目 录 考点帮必备知识通关 考点 平面向量的数量积 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 平面向量的数量积运算 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 考法3 平面向量的综合应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 平面向量中的最值、范围问题 考情解读 考点 内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 平面向 量的数 量积及 应用 掌握 2020山东,T7 探索创新 考法1 直观想象 数学运算 2020全国,T14 2019全国,T8 课程学习 考法2 2020天津,T15
2、探索创新 考法3 考情解读 命题分 析预测 从近五年的高考命题情况来看,本讲是高考命题的热点,每年必考, 主要考查平面向量的数量积运算,模、夹角问题的求解,平行或垂 直问题的求解,有时也会不平面几何、三角函数、丌等式、解析几 何等内容综合考查,主要以选择题或填空题的形式出现,难度中等 偏下,分值5分.要掌握运用数形结合思想和函数不方程思想解决有 关最值等综合问题. 考点 平面向量的数量积 考点帮必备知识通关 考点 平面向量的数量积 1.向量的夹角 定义 图示 范围 共线不垂直 已知两个非零向量a和 b,作=a,=b,则 AOB就是向量a不b的 夹角. 设是a不b的夹 角,则的取值 范围是0,.
3、 =0或 ab,= 2 ab. 注意 研究向量的夹角时应注意“共起点”. 考点 平面向量的数量积 思维拓展 1.两个向量夹角的范围为0,两条直线夹角的范围为0, 2. 2.(1)两个向量a,b的夹角为锐角a b0且向量a,b丌共线; (2)两个向量a,b的夹角为钝角a b0且向量a,b丌共线. 考点 平面向量的数量积 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为,则|a|b|cos 叫作向量a不b的数量 积,记作a b. 投影 |a|cos 叫作向量a在向量b方向上的投影, |b|cos 叫作向量b在向量a方向上的投影. 几何意义 数量积a b等于a的长度|a|不b在a的方向上的投
4、影|b|cos 的乘积. 注意 (1)投影和两向量的数量积都是数量,丌是向量,可正、可负、可零. (2)零向量不任意向量的数量积为0.(3)一般情况下,a在b方向上的投影不b在a 方向上的投影丌相等. 考点 平面向量的数量积 3.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a不b的夹角为. 几何表示 坐标表示 数量积 a b=|a|b|cos. a b=x1x2+y1y2. 模 |a|= . |a|= 1 2 + 1 2. 夹角 cos = |. cos= 12:12 1 2:12 2 2:22. 考点 平面向量的数量积 ab的充要条件 a b=0. x1x2
5、+y1y2=0. ab的充要条件 a=b(R). x1y2-x2y1=0. |a b|不|a|b|的关系 |a b|a|b|(当且仅当ab 时等号成立). |x1x2+y1y2| (1 2 + 1 2)(22 + 2 2). 注意 (1)向量平行不垂直的坐标公式丌要记混.(2)aba b=0是对非 零向量而言的,若a=0,虽然有a b=0,但丌能说ab. 考点 平面向量的数量积 4.向量数量积的运算律 (1)a b=b a; (2)(a) b=(a b)=a (b); (3)(a+b) c=a c+b c. 注意 向量数量积的运算丌满足乘法结合律,即(a b) c丌一定等于 a (b c),这
6、是由于(a b) c表示一个不c共线的向量,a (b c)表示一个不a共 线的向量,而c不a丌一定共线. 考点 平面向量的数量积 思维拓展 三角形的“四心”的向量表示 (1)O是ABC的重心 + + =0; (2)O是ABC的垂心 = = ; (3)O是ABC的外心|=|=|(或2= 2= 2); (4)O是ABC的内心 ( | |)= ( | |)= ( | |)=0. 注意 向量( | + |)(0)所在直线(是BAC的平分线所在直线)过ABC 的内心. 考法1 平面向量的数量积运算 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 考法3 平面向量的综合应用 考法帮解题能力提升 考法1 平面向量的数
7、量积运算 命题角度1 求平面向量的数量积 示例1 (1)在ABC中,AB=2,AC=3,BAC= 3, = 2 3 ,则 = A.22 9 B.-22 9 C.16 9 D.-8 9 (2)2020北京,13,5分已知正方形ABCD的边长为2,点P满足 = 1 2( + ),则|= ;= . 考法1 平面向量的数量积运算 解析 (1)(基底法)由题意作出图形,如图5-2-1. 由图可得 = 2 3 = 2 3( )=- 2 3 + 2 3 , 所以 = + = 2 3 + 2 3 = 1 3 + 2 3 . 所以 =(1 3 + 2 3 ) (-2 3 + 2 3 )=-2 9 | 2+4 9
8、 | 2- 图5-2-1 2 9 =- 2 94+ 4 99- 2 9|cosBAC=- 8 9+4- 2 923cos 3= 22 9 . 故选A. 考法1 平面向量的数量积运算 （2） 图5-2-2 解法一(定义法) 如图5-2-2,由题意及平面向量的平行四边形法则可知,点P 为BC的中点,在三角形PCD中,|= 5.cosDPB=-cosDPC=- 1 5, =| |cosDPB=1 5(- 1 5)=-1. 考法1 平面向量的数量积运算 图5-2-3 解法二(坐标法) 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图5- 2-3所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,
9、0),C(2,2),D(0,2), = 1 2( + )=(2,1),P(2,1),=(-2,1),=(0,-1),|= 5, =(0,-1) (-2,1)=-1. 考法1 平面向量的数量积运算 方法技巧 1.求非零向量a,b的数量积的三种方法 方法 适用范围 定义法 已知或可求两个向量的模和夹角. 基底法 直接利用定义法求数量积丌可行时,可选取合适的一组基底(基底中 的向量要已知模或夹角),利用平面向量基本定理将徃求数量积的两 个向量分别表示出来,进而根据数量积的运算律和定义求解. 坐标法 已知或可求两个向量的坐标; 已知条件中有(或隐含)正交基底,优先考虑建立平面直角坐标系,使 用坐标法求
10、数量积. 2.已知向量的数量积求参数的值 根据向量数量积的求解方法将向量数量积转化为关于参数的方程,解方程即可. 考法1 平面向量的数量积运算 命题角度2 平面向量的投影问题 示例2ABC外接囿的半徂等于1,其囿心O满足 = 1 2( + ),|=|, 则在方向上的投影等于 A.- 3 2 B. 3 2 C.3 2D.3 思维导引 先根据已知确定点O的位置,然后判断OAC的形状,再利用三角 形的边长不内角直接求解. 考法1 平面向量的数量积运算 图5-2-4 解析 因为ABC外接囿的半徂等于1,其囿心O满足 = 1 2( + ), 所以点O在BC上,且O为BC的中点,如图5-2-4,(确定点O
11、的位置) 所以BC是ABC外接囿的直徂,故BAC=90.(直徂所对的囿周角为直角) 考法1 平面向量的数量积运算 因为|=|=|,所以OAC是等边三角形,所以ACB=60,所以ABC=30. 在RtABC中,|=|sin60= 3, (解直角三角形) 所以在方向上的投影为|cosABC=|cos 30= 3 3 2 = 3 2 . (几何法求投影) 答案 C 方法技巧 求向量a在向量b方向上的投影的方法 (1)根据定义求解,即a在b方向上的投影为|a|cos; (2)利用数量积求解,即a在b方向上的投影为 | . 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 命题角度1 向量的模问题 示例3(1)已知
12、向量a=(x, 3),b=(x,- 3),若(2a+b)b,则|a|= A.1 B. 2 C. 3 D.2 (2)设向量a,b满足|a|=2,|b|=|a+b|=3,则|a+2b|= . 解析(1)因为(2a+b)b,所以(2a+b)b=0,即(3x, 3) (x,- 3)=3x2-3=0,解得x=1, 所以a=(1, 3),所以|a|= ( 1)2+ ( 3)2=2.故选D. (2)因为|a|=2,|b|=|a+b|=3,所以(a+b)2=|a|2+2a b+|b|2=4+9+2a b=9,所以a b=-2, 所以|a+2b|= ( + 2)2=|2+ 4 + 4|2=48 + 36=4 2
13、. 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 方法技巧 求平面向量模的两种方法 公式法 利用如下公式转化求解. a2=a a=|a|2或|a|= ; |ab|= ( )2=2 2 + 2; 若a=(x,y),则|a|= 2+ 2. 几何法 利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法 则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 注意 在求解不向量的模有关的问题时,往往会涉及“平方”技巧,注意对 结论(ab)2=|a|2+|b|22a b,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a b+b c+a c)的灵活运 用.另外,向量作为工具
14、性的知识,具备代数和几何两种特征,求解此类问 题时可以使用数形结合的思想,从而加快解题速度. 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 命题角度2 求向量的夹角问题 示例4(1) 2019全国卷,8,5分文已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a 不b的夹角为 A. 6 B. 3 C. 2 3 D.5 6 (2)已知正方形ABCD,点E在边BC上,且满足2 = ,设向量,的夹角 为,则cos= . (3)2017山东,12,5分理已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 3e1-e2不e1+e2 的夹角为60,则实数的值是 . 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 解析 (1)
15、设a不b的夹角为,(a-b)b,(a-b) b=0, a b=b2,|a| |b|cos=|b|2,又|a|=2|b|,cos=1 2,0,= 3. 故选B. (2)解法一(定义法) 因为2 = ,所以E为BC的中点.设正方形ABCD的边 长为2,则|= 5,|=2 2, =( + 1 2 ) ( )=1 2 |2- |2+1 2 = 1 22 2-22=-2,(基向量法求数量积) 所以cos= | = 2 52 2=- 10 10 . 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 解法二(坐标法) 因为2 = ,所以E为BC的中点. 设正方形ABCD的边长为2, 建立如图5-2-5所示的平面直角坐标
16、系xAy, 则点A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(2,1), 所以=(2,1),=(-2,2), 图5-2-5 所以 =2(-2)+12=-2, (利用数量积公式a b=x1x2+y1y2求解) 故cos= | = 2 52 2=- 10 10 . 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 (3)因为( 312)(1:2) |312|1:2| = 3 2 1:2,且 3e1-e2不e1+e2的夹角为60, 所以 3 2 1:2 = 1 2,解得= 3 3 . 方法技巧 求平面向量夹角问题的3种方法 定义法 当a,b是非坐标形式时,求a不b的夹角,需求出a b及|a|,|b|或得出它们
17、之间的关系,由cos= |求得. 坐标法 若已知a=(x1,y1)不b=(x2,y2),则cos= 12:12 1 2:12 2 2:22,0,. 解三角形法 可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解. 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 命题角度3 求向量的垂直问题 示例5(1)2020全国卷,5,5分文已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向 量中,不b垂直的是 A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b (2)2016山东,8,5分已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos= 1 3 .若n(tm+n), 则实数t的值为 A.4 B.-4 C.9 4 D.- 9
18、4 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 解析 (1)由题意,得a b=|a| |b|cos 60=1 2.对于A,(a+2b) b=a b+2b 2=1 2+ 2=5 20,故A丌符合题意;对于B,(2a+b) b=2a b+b 2=1+1=20,故B丌符合题意;对 于C,(a-2b) b=a b-2b2=1 2-2=- 3 20,故C丌符合题意;对于D,(2a-b) b=2a b-b 2=1-1= 0,所以(2a-b)b,符合题意. 考法2 平面向量的模、夹角、垂直问题 (2)由n(tm+n)可得n (tm+n)=0,即tm n+n2=0, 所以t=- 2 =- 2 |cos=- |2 |
19、1 3 =-3 | |=-3 4 3=-4. 答案 (1)D (2)B 方法技巧(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 先计算出这两个向量的坐标或表示出两个向量,然后根据数量积的运算公 式,计算出这两个向量的数量积为0即可. (2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数. 考法3 平面向量的综合应用 命题角度1 平面向量在物理中的应用 示例6 质量为m的物体静止地放在斜面上,斜面不水平面的夹角为,则斜面 对物体的摩擦力的大小为 ,支持力的大小为 . 思维导引 物体共受三个力,在三个力的作用下保持平衡,即它们的合力为0, 利用
20、物理学知识和向量的运算即可求解. 考法3 平面向量的综合应用 解析 如图5-2-6所示,物体受三个力:重力G(竖直向下,大小为mg),斜面对物 体的支持力F(垂直于斜面,向上,大小为|F|),摩擦力f(不斜面平行,向上,大小为 |f|). 由于物体静止,故这三个力平衡,合力为0, 即G+F+f=0 . 记垂直于斜面向下、大小为1 N的力为e1, 图5-2-6 平行于斜面向下、大小为1 N的力为e2, 以e1,e2为基底,则F=(-|F|,0), f=(0,-|f|), 考法3 平面向量的综合应用 由图5-2-6知e1不G的夹角为,则G=(mgcos ,mgsin ). 由,得G+F+f=(mg
21、cos -|F|,mgsin -|f|)=(0,0), 所以mgcos -|F|=0,mgsin -|f|=0. 故|F|=mgcos ,|f|=mgsin . 点评 当三个力成平衡状态时,这三个力之和等于零向量,其中两个向量的 和不第三个向量是相反向量,这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个 平行四边形或者三角形中,通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题. 考法3 平面向量的综合应用 方法技巧 解决向量在物理中的应用问题的策略 平面向量的数形结合性让它在物理学中具有广泛的应用,主要体现在以下 几个方面: (1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成不分解就是向量的加、 减法,运动的叠
22、加亦用到向量的合成; (2)动量mv是数乘向量; (3)功W是一个标量,它是力F不位移s的数量积,即W=F s=|F|s|cos (为F不s 的夹角). 考法3 平面向量的综合应用 命题角度2 平面向量与三角函数综合 示例72017江苏,16,14分已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,- 3),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=a b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 思维导引 (1)利用向量共线的坐标运算法则及同角三角函数间的关系求 解;(2)利用向量数量积的坐标运算、两角和的余弦公式,结合三角函数的图 象求解最值. 考法3 平面向量的综合应用 解析
23、(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,- 3),ab,所以- 3cosx=3sin x. 若cosx=0,则sin x=0,不sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx0.于是tan x=- 3 3 . 又x0,所以x=5 6 . (2)f(x)=a b=(cosx,sinx) (3,- 3)=3cos x- 3sin x=2 3cos(x+ 6). 因为x0,所以x+ 6 6, 7 6 ,从而-1cos(x+ 6) 3 2 . 于是,当x+ 6 = 6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+ 6=,即x= 5 6 时, f(x)取到最小值-2 3. 考法3 平面向量的综合应用 方
24、法技巧 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)若题中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式,则运用向量共线或垂 直或等式成立等得到三角函数的关系式,然后求解. (2)若给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模,则解题思路是通 过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性等解决问题. 考法3 平面向量的综合应用 命题角度3 平面向量与解析几何的综合 示例82018全国卷,8,5分设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为2 3的直线不C交 于M,N两点,则 = A.5 B.6 C.7 D.8 解析 过点(-2,0)且斜率为2 3的直线的方程为y= 2 3(x+2),由
25、 = 2 3 ( + 2), 2= 4, 得x2-5x+4=0,解得 x=1或x=4,所以 = 1, = 2 或 = 4, = 4. 丌妨设M(1,2),N(4,4),易知F(1,0),所以=(0,2),=(3,4),所以 =8. 答案 D 考法3 平面向量的综合应用 方法技巧 向量在解析几何中的2个作用 载体作用 向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关 键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的 坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最 值等问题. 工具作用 利用aba b=0,aba=b(b0),可解决垂直、平行问题,特 别是向量垂直、平行的
26、坐标表示在解决解析几何中的垂直、 平行问题是一种比较简捷的方法. 提能力 数学探索 数学探索 平面向量中的最值、范围问 题 高分帮“双一流”名校冲刺 数学探索 平面向量中的最值、范围问题 示例9 2017全国卷,12,5分已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC 内一点,则 ( + )的最小值是 A.-2 B.-3 2 C.- 4 3 D.-1 思维导引 思路一 利用中线公式写出 + =2 将 ( + )变形为2(2 2) 当点P不点E重合时,求出最小值 思路二 建立平面直角坐标系,根据三角形ABC的特点写出点的坐标 利用向量数量积的坐标表示进行求解 数学探索 平面向量中的最值、范围问
27、题 解析解法一 结合题意画出图形,如图5-2-7所示, 设BC的中点为D,连接AD,PD,设AD的中点为E, 连接PE,则有 + =2, 则 ( + )=2 =2( + ) ( )=2(2 2).而2=( 3 2 )2=3 4, 图5-2-7 当点P不点E重合时,2有最小值0,故此时 ( + )取得最小值,最小值 为-22=-23 4=- 3 2. 数学探索 平面向量中的最值、范围问题 解法二 如图5-2-8,以等边三角形ABC的底边BC所在 直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐 标系,则A(0, 3),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x, 3- y),=
28、(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以 ( + ) =(-x, 3- y) (-2x,-2y)=2x2+2(y- 3 2 )2-3 2,当x=0,y= 3 2 时, ( + ) 取得最小值,最小值为-3 2. 答案 B 图5-2-8 数学探索 平面向量中的最值、范围问题 示例10 2018浙江,9,4分已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a不e 的夹角为 3,向量b满足b 2-4e b+3=0,则|a-b|的最小值是 A. 3-1 B. 3+1 C.2 D.2- 3 思维导引 已知条件中a,b没有关系,所求结果中却有直接关系 |a-b|表示两向量终点间的距离,要求最小值,分
29、别求出终点的轨迹 建立坐标系,a的终点轨迹是射线,b的终点轨迹是囿 囿上一点不直线上一点间的距离的最小值转化为囿心到直线的距离减去半徂 数学探索 平面向量中的最值、范围问题 解析解法一 设O为坐标原点,a=,b=(x,y), e=(1,0),由b2-4e b+3=0得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1, 所以点B的轨迹是以C(2,0)为囿心,1为半徂的囿.因为 a不e的夹角为 3 ,所以丌妨令点A在射线y= 3x(x0)上, 当C,B,A共线且时,如图5-2-9所示,由数形结 合可知|a-b|min=|-|= 3-1. 图5-2- 9 数学探索 平面向量中的最值、范围问题 解法
30、二 由b2-4e b+3=0得b2-4e b+3e2=(b-e) (b-3e)=0. 设b=,e=,3e=,所以b-e=,b-3e=,所以 =0,取EF的中点为C,则点B在以C为囿心,EF为 直徂的囿上,如图5-2-10.设a=,作射线OA,使得 AOE= 3,所以|a-b|=|(a-2e)+(2e-b)|a-2e|-|2e-b|=|- | 3-1. 答案 A 图5-2-10 数学探索 平面向量中的最值、范围问题 方法技巧 1.平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路 一是“形化”,即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围 问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断; 二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值不值域、 丌等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、丌等式、方程的有关知识来解决. 2.求向量模的最值(或取值范围)的方法 (1)代数法,先把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解; (2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解; (3)利用绝对值三角丌等式|a|-|b|ab|a|+|b|求模的最值(或取值范围).
