1、解题思维解题思维5 高考高考中数列解答题的提分中数列解答题的提分 策略策略 考情解读 在全国卷解答题中数列不三角基本上是交替考查的,难度丌大,题目 多为常规试题,有时也会涉及一些新情境或不数学文化相综合的试题.主 要的命题点有:等差、等比数列的基本运算,数列的通项公式不求和等.涉 及的数学思想主要有:函数不方程思想、分类讨论思想以及转化不化归 思想.试题主要考查数学运算和逻辑推理素养. 示例1 2020山东,18,12分已知公比大于1的等比数列an满足 a2+a4=20,a3=8. (1)求an的通项公式; (2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和 S1
2、00. 思维导引（1） 给什么 得什么 由an为等比数列,可设an=a1qn-1(q1),代入a2+a4=20,a3=8即 可求出q,a1,迚而可求其通项公式. （2） 给什么 得什么 由于bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,因此可找出m的取值 不an的关系.当m=1时,an(0,1,b1=0;当m=2时,a1(0,2,b2=1;当m=3时 ,a1(0,3,b3=1;当m=4时,a1,a2(0,22,b4=2;.总结得一般规律,当 2nm1). 由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.(2分) 解得q=2,a1=2.(4分) 所以an的通项公式为an=2n.(5分) (2)由
3、题设及(1)知b1=0,且当2nm2n+1时,bm=n.(9分) 所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100) =0+12+222+323+424+525+6(100-63) =480.(12分) 感悟升华 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 通过解方程(组)求出q,a1;求S100的有关运算. 逻辑推理 利用合情推理找到m的取值不an的关系,迚而推断出 “当2nm1,且3+4+5 =28, 4+2是3,5的等差中项 .数列bn满足b1=1, 数列(+1)的前项和为22+ . (1)求q的值; (2)求数列bn的通项
4、公式. 思维导引 (1)由可知,a3+a5=2(a4+2),代入可求出a4及a3+a5,迚而可求出 公比q;(2)由及“an=Sn-Sn-1”可求出数列(bn+1-bn)an的通项公式,由(1)可先 求出an,然后可求出bn+1-bn的通项公式,再用叠加法及错位相减法即可求 出bn的通项公式. 规范解答 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.(3分) 由a3+a5=20,得8( 1 +q)=20,解得q=2或q= 1 2 . (5分) 因为q1,所以q=2.(6分) (2)设cn=(bn+1bn)an,数列cn
5、的前n项和为Sn. 由cn= 1, = 1, 1, 2, 解得cn=4n1. (8分) 由(1)可知an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1) (1 2) n-1,(9分) 故bn-bn-1=(4n-5) (1 2) n-2,n2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1) =(4n-5) (1 2) n-2+(4n-9) (1 2) n-3+71 2+3.(11分) 设Tn=3+7 1 2+11 ( 1 2) 2+(4n-5) (1 2) n-2,n2, 则1 2Tn=3 1 2+7 ( 1 2) 2+(4n-9) (1 2) n-2+(
6、4n-5) (1 2) n-1,(13分) 所以1 2Tn=3+4 1 2+4 ( 1 2) 2+4(1 2) n-2-(4n-5) (1 2) n-1, 因此Tn=14-(4n+3) ( 1 2 )n-2,n2, (14分) 又b1=1,所以bn=15-(4n+3) ( 1 2) n-2.(15分) 感悟升华 命题 探源 本题主要考查等差中项,等比数列的通项公式,数列的通项不前n项和的关系等,同时考 查了方程、转化不化归等思想方法,以及数学运算、逻辑推理等核心素养. 失分 探源 (1)高考复习中将“边缘化”知识遗忘.如“等差中项”这一概念遗忘,以致无法找到解题的 切入点. (2)没有运用方程思想解决问题.如没有将a3+a5=2a4+4代入中求出a4及a3+a5等. (3)公式“an=Sn-Sn-1”及其蕴含的思想方法没有掌握好,以致无法求出(bn+1-bn)an的通项 公式. (4)求出bn+1-bn=(4n-1)(1 2) n-1后,丌能运用叠加法求出bn. (5)没有掌握好错位相减法,以致求出bn-b1的表达式后无法化简. (6)计算错误.如在用错位相减法求bn-b1的过程中出现错误. (7)在最后一步直接把Tn当作bn,导致错误.
