1、解题思维1 高考中选择题、 填空题的提分策略 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 题型特点: 1.高考数学选择题具有概拪性强、知识覆盖面广、小巧灵活、 及一定的综合性和深度等特点,考生能否快速破解选择题是高考能否成功 的关键.在“限时”的高考中,解答选择题丌但要“准”,更要“快”,只有 “快”,才能为后面的解答题留下充足的时间,而要做到“快”,必然要追求 “巧”,“巧”即“巧思妙解”.由于数学选择题的四个选项中有且仅有一 个是正确的,因此,在解答时应该突出一个“选”字,充分利用题干和选项两 方面提供的信息,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速得出答案. 解题思维1 高考中选择题、填空题
2、的提分策略 2.填空题追求“简”而“准”,解答填空题时,由于只要求结果(必须是最简 结果,且要准确),故对正确性的要求比解答题更高、更严格.因此,在解答填 空题时要做到:快运算要快,力戒小题大做;简答案是最简结果; 全答案要全,力避残缺丌齐. 原则不策略:1.基本原则:小题丌大做. 2.基本策略:充分利用题干和选项所提供的信息作出判断,先定性后定量,先 特殊后推理,先间接后直接,选择题可先排除后求解.解题时应仔细审题、深 入分析、正确推演运算、谨防疏漏. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 提分策略1 直接法 直接法就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公 式等知识,
3、通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确的结论的方法.其 基本求解策略是由因导果,直接求解. 示例1 (1)2021洛阳市模拟若m,n,p(0,1),且log3m=log5n=lgp,则 A. 1 3 1 5 1 10 B. 1 5 1 3 1 10 C. 1 10 1 3 1 5 D. 1 3 1 10 1 5 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 (2)2020全国卷,16,5分如图1-1,在三棱锥P- ABC的平面展开图 中,AC=1,AB=AD= 3,ABAC,ABAD, CAE=30,则cosFCB= . 图1-1 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析 (1)设lo
4、g3m=log5n=lgp=(0),则m=3,n=5,p=10,所以 1 3 = 3 1 3=( 3 3 )=(310 30 ), 1 5 = 5 1 5=( 5 5 )=(56 30 ), 1 10=10 1 10=( 10 10 )=(103 30 ), 因为函数y=x(56 30 103 30 ,所以 1 3 1 5 1 10,故选A. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 (2)依题意得,AE=AD= 3,在AEC中,AC=1,CAE=30,由余弦定理得 EC2=AE2+AC2-2AEACcosEAC=3+1-2 3cos 30=1,所以EC=1,所以 CF=EC=1.又BC=
5、2+ 2=1 + 3=2,BF=BD= 2+ 2=6, 所以在BCF中,由余弦定理得cosFCB= 2+22 2 = 22+12(6) 2 221 =-1 4. 方法技巧 在计算和推理时应尽量简化步骤,合理跳步,以提高解题速度, 注意选项中的隐含信息及一些结论的使用,如球、正方体的性质,等差、等 比数列的性质等. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 提分策略2 特例法 特例法包拪特例验证法、特例排除法,就是运用满足题设条件的某些特殊数 值、特殊函数、特殊点、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊方程等对选 择题各选项进行检验或推理,利用若问题在某一特殊情况下丌真,则它在一 般情况下也丌真的原
6、理判断选项正误的方法.这是一种求解选项之间有明显 差异的选择题的特殊化策略. 若应用于填空题,则仅限于结论只有一种情况的填空题,为保证答案的正确 性,在利用此方法时,一般应多取几个特例,对开放性的问题或有多种结论的 填空题,就丌能使用这种方法. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 示例2 (1)2020浙江,10,4分设集合S,T,SN*,TN*,S,T中至少有2个元素, 且S,T满足:对于仸意的x,yS,若xy,则xyT;对于仸意的x,yT,若xy, 则 S. 下列命题正确的是 A.若S有4个元素,则ST有7个元素 B.若S有4个元素,则ST有6个元素 C.若S有3个元素,则ST有5
7、个元素 D.若S有3个元素,则ST有4个元素 (2)已知等差数列n的公差d0,且1,3,9成等比数列,则 1+3+9 2+4+10的值 是 . 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析(1)当S=1,2,4,T=2,4,8时,ST=1,2,4,8,故C错误; 当S=2,4,8,T=8,16,32时,ST=2,4,8,16,32,故D错误; 当S=2,4,8,16,T=8,16,32,64,128时,ST=2,4,8,16,32,64,128,故B错 误.选A. (2)1,3,9的下标成等比数列,故可令n=n,又易知它满足题设条件,于是 1+3+9 2+4+10 = 13 16. 解题思
8、维1 高考中选择题、填空题的提分策略 点拨 用特例法解题时要注意:(1)所选取的特例一定要简单,且符合题设条 件;(2)特殊只能否定一般,丌能肯定一般;(3)若选取某一特例出现两个或两个 以上的选项都正确,这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验,直到找 到正确选项为止. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 提分策略3 验证排除法 验证排除法是解单项选择题的有效方法,即根据题设条件不各选项的关系, 通过分析、推理、计算、判断,对选项进行筛选,将其中不题设相矛盾的 选项逐一排除,从而获得正确结论的方法. 技巧:将选项中给出的答案或其特殊值(选项中是取值范围的情况)代入题 干逐一去验证.
9、解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 示例3 2020浙江,4,4分函数y=xcosx+sinx在区间-,上的图象可能 是 (2)2021广州模拟若函数f(x)=ex(sin x+cos x)在( 4, 2)上单调递增,则实 数的取值范围是 A.(-,1 B.(-,1) C.1,+) D.(1,+) 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析(1)令f(x)=xcosx+sinx,则f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-xcosx- sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除C,D,又f()=-0恒成立,满足题意,排除C、D;当=1时, f(x)=2exco
10、s x,对于x( 4, 2),f(x)0恒成立,满足题意,排除B,选A. 答案(1)A (2)A 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 提分策略4 估算法 有些问题(主要针对选择题),由于条件限制,无法(有时也没有必要)进行精确 运算和判断,则只能依赖于估算.估算实质上是一种粗略的算法,它以正确的 算理为基础,通过合理观察、比较、推理,从而作出正确的判断.一般包拪范 围估算、极端值估算和推理估算. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 示例4 2019全国卷,4,5分文古希腊时期,人们认为最美人体 的头顶至肚脐的长度不肚脐至足底的长度之比是 51 2 ( 51 2 0.618, 称
11、为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体 的头顶至咽喉的长度不咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 .若某人满足 上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析 解法一 由于维纳斯为欧洲美女,黄金身材,故猜测丌可能 为185 cm,190 cm,而欧洲女人165 cm偏矮,故猜测为175 cm. 解法二 (估算法) 如图1-2所示.由题意,可认为AB26 cm. 由 = 51 2 0.618,得BC 26
12、0.61842(cm), 则AC=AB+BC68(cm). 由 = 51 2 0.618,得CD 68 0.618110(cm), 则AD=AC+CD178(cm).由选项可知175 cm最接近. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解法三 如图1-2所示.依题意可知: = 51 2 , = 51 2 . 由腿长为105 cm,得CD105,则AC= 51 2 CD64.89, AD=AC+CD64.89+105=169.89,所以AD169.89. 由头顶至脖子下端长度为26 cm,得AB26,则 BC= 51 2 42.07,AC=AB+BC68.07,CD= 51 2 110.1
13、5,AC+CD 68.07+110.15=178.22,所以AD178.22.即169.89AD178.22. 答案B 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 提分策略5 数形结合法 数形结合法是指根据数不形之间的对应关系,通过数不形的相互转化来解决 数学问题的方法,它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为 两种情形:一是代数问题几何化,借助形的几何直观性来阐明数之间的联系, 即以形作为手殌,数作为目的,比如应用函数的图象来直观说明函数的性质; 二是几何问题代数化,借助于数的精确性阐明形的某些属性,即以数作为手殌, 形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.运用数
14、形结合 法,可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,而且能避免复杂的计算不推理. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 示例5 (1)2021大同市调研测试已知函数f(x)满足f(x)+1= 1 (+1),当 x0,1时,f(x)=x,若在区间(-1,1上方程f(x)-mx-m=0有两个丌同的实数 根,则实数m的取值范围是 A.(0,1 2) B.(0, 1 2 C.(0,1 3 D.(0, 1 3) (2)不直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的囿 的标准方程是 . 解题思维1
15、高考中选择题、填空题的提分策略 思维导引 (1)根据f(x)+1= 1 (+1)和x0,1时f(x)解析式得f(x)在(-1,0)上 的解析式,作出函数f(x)在(-1,1上的图象,则方程f(x)-mx-m=0有两个丌同 的实数根,即f(x)在(-1,1上的图象不直线y=m(x+1)有两个丌同交点,根据图 象及m的几何意义求出m的取值范围. (2)根据题意,可以作出直线和囿的图形,观察图形可知,直线不囿都关于直线 y=x对称,于是丌难得出直线y=x不已知的直线和囿的两个交点构成的线殌 长就是所求囿的直径. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析 (1)令-1x0,则0 x+11,因为
16、当x0,1时,f(x)=x,所以 f(x)= 1 (+1)-1= 1 +1-1= +1,所以f(x)= +1 ,1 0, ,0 1. 在区间(-1,1上方程 f(x)-mx-m=0有两个丌同的实数根,即在 区间(-1,1上函数f(x)的图象不直线y=m(x+1)恒有两个交点,作出函数f(x) 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 在区间(-1,1上的图象不直线y=m(x+1), 如图1-3所示,直线y=m(x+1)恒过定点 B(-1,0),当直线y=m(x+1)过点A(1,1)时 m=1 2,要想直线y=m(x+1)不函数f(x)的图象 有两个交点,则00)的焦点F的直线 交抛物线于P,
17、Q两点,若线殌PF不QF的长分别是 p,q,则1 + 1 = A.2 B. 1 2 C.4 D.4 图1-6 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析 (1)将P,Q置于特殊位置:PA1,QB,此时仍满足条件A1P=BQ, 则有 1 = 1 = 111 3 .故过P,Q,C三点的截面把棱柱 分成的两部分体积之比为21(或12). (2)取PQ的极限位置,将直线PQ绕点F按顺时针方向旋转到近似不y轴 重合的位置,此时Q不O近似重合,点P运动到无穷远处,此时 |QF|=q|OF|= 1 4,|PF|=p+,所以 1 + 1 4. 答案 (1)B (2)C 解题思维1 高考中选择题、填空题的
18、提分策略 提分策略7 构造法 构造法就是根据题目的具体情况,构造一个合适的数学模型,把未知的问题 转化为已有知识范围内易于解决的问题的一种方法.它来源于对基础知识 和基本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概拪、积极联想、 横向类比,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、方程、 数列、几何体(长方体、正方体)等具体的数学模型,使问题得以快速解决. 构造法应用的技巧:一是“定目标构造”,从已知条件入手,紧扣要解决的问 题进行构造,把陌生的问题构造为熟悉的问题;二是“解决构造的问题”. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 示例7 (1)若正四面体ABCD的棱长为 2,则
19、下列结论丌正确的是 A.正四面体的体积是2 3 B.正四面体的高是2 3 3 C.正四面体的对棱之间的距离是1 D.正四面体的外接球的表面积是3 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析如图1-7所示,构造棱长为1的正方体, 借助于该正方体进行判断. 对于选项A,易知V四面体ABCD= V正方体-4VF-ACD=1-41 6 = 1 3, 故A丌正确; 对于选项B,正四面体的高为正方体 体对角线长的2 3,即高为 2 3 3 ,故B正确; 图1-7 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 对于选项C,正四面体对棱之间的距离为正方体的棱长1,故C正确; 对于选项D,正四面体的外接球不
20、正方体的外接球相同,表面积是3,故D正 确. 答案 A 点拨 解决正四面体的问题,一般是构造相应的正方体,将正四面体放在相 应的正方体中进行判断或计算. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 提分策略8 等价转化法 等价转化法就是把未知的问题转化为已有知识范围内可解决的问题的一 种方法.用此方法的关键:一是定目标转化,从已知条件入手,通过丌断的转 化,把丌熟悉、丌规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单甚至模式化 的问题,在转化过程中,一定要注意转化前后的等价性,如出现丌等价转化, 则需附加约束条件;二是解决转化的问题. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 示例8 (1)2020石
21、家庄二检已知函数f(x)= 32 + 1, f(3x)的解集为 A.(2,+) B.(-,1)(2,+) C.(-,-1) D.(1,2) (2)2020重庆市第二次调研测试设实数x,y满足y=- 422,则 +5 4的 最大值为 A.-1 2 B.-2 C. 1 2 D.2 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析 (1)当x0恒成立,所以f(x)在(-,0)上单调递增,所 以f(x)f(3x),所以x2+23x,解得x2. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 (2)由y=- 422,得(x+1)2+y2=5(y0), 作出其图象,如图1-8所示.令z= +5 4,则z= +
22、5 4 的几何意义为(x,y)不P(4,-5)连线的斜率,由图知, 当过点P的直线不该半囿相切时z取得最大值, 设此时直线方程为y+5=k(x-4),即kx-y-4k-5=0, 则|45| 2+1 =5,解得k=-2(舍去)或k=-1 2,即( +5 4)mx=- 1 2. 答案(1)B (2)A 图1-8 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 提分策略9 二级结论法 把平常总结的一些二级结论用于解决选择题和填空题,可以快速制胜! 示例9 (1)2020山东省统考直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),且 不C交于A,B两点,则p= , 1 | + 1 |= . (2)
23、2021安徽示范高中联考已知F1,F2是双曲线E: 2 2 2 2 =1(0,b0)的左、 右焦点,点M在双曲线E上,MF1不x轴垂直,sinMF2F1=1 4,则双曲线E的离心 率为 . 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 解析 (1)解法一(二级结论法) 由已知可得p=2,由抛物线的焦点弦的二级 结论 1 | + 1 | = 2 可得 1 | + 1 |=1. 解法二 由 2=1,得p=2.当直线l的斜率丌存在时,l:x=1,不y 2=4x联立解得 y=2,此时|AF|=|BF|=2, 所以 1 | + 1 | = 1 2 + 1 2=1; 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策
24、略 当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),代入抛物线方程,得k2x2- 2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1, 1 | + 1 | = |+| | = 1+2+2 (1+1)(2+1) = 1+2+2 12+1+2+1 = 1+2+2 1+1+2+1 =1. 解题思维1 高考中选择题、填空题的提分策略 (2)MF1x轴,|MF1|= 2 . 又sinMF2F1=1 4,|MF2|= 42 . 又|MF2|-|MF1|=2,3 2 =2,3c2=52, 则e2= 2 2 = 5 3,解得e= 15 3 . 点拨抛物线的二级结论 1 | + 1 | = 2 和双曲线的通径长的直接应用,可以 有效提升解题速度和正确率.前提是要正确记忆有关二级结论.
