1、解题思维解题思维3 高考高考中三角函数、解三角中三角函数、解三角 形解答题的提分策略形解答题的提分策略 考情解读 从近几年的高考试题来看,全国卷交替考查三角形和数列,该部分解 答题是高考得分的基本组成部分,学生要能够先从已知中抽象出可以利 用正、余弦定理的条件,然后应用三角恒等变换和相关定理求解,主要考 查数学抽象、数学运算和逻辑推理素养.在解题过程中,要注意三角恒等 变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理 的解决方法,灵活地实现问题的转化. 示例1 2020全国卷,17,12分 ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2
2、)若BC=3,求ABC周长的最大值. 思维导引（1） 给什么 得什么 利用正弦定理将“sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C”的“角”转化为 “边”得a2-b2-c2=bc. 求什么 想什么 由a2-b2-c2=bc,联想到用余弦定理即可求出A. （2） 求什么 想什么 在a=3及A=2 3 条件下,要求ABC周长的最大值,应先将b,c用角 B或C表示出来,再将a+b+c转化为一角一函数的形式求其最大 值. 规范解答 设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)由正弦定理和已知条件得a2-b2-c2=bc.(2分) 由余弦定理a2=b2+c22bccos A,得c
3、os A= 1 2 . (4分) 因为0A,所以A=2 3 . (5分) (2)由BC=a=3,A= 2 3 ,得 sin = sin = sin =2 3,(6分) 从而b=2 3sin B,c=2 3sin(AB)=3cos B 3sin B.(8分) 故a+b+c=3+ 3sin B+3cos B=3+2 3sin(B+ 3 ).(10分) 又0B 3,所以 3B+ 3 2 3, 故当B= 6时,ABC周长取得最大值3+2 3.(12分) 感悟升华 命题 探源 本题主要考查正弦定理,余弦定理,解三角形,三角恒等变换等基础 知识及考生分析解决问题的能力. 素养 探源 素养 考查途径 数学
4、运算 三角函数式的恒等变换. 逻辑 推理 利用正弦定理将“角”转化为“边”;利用余弦定理求出cos A; 利用正弦定理求出b,c,进而表示出周长. 一题 多解 第(2)问也可用如下解法. 因为a2=9=b2+c2-2bccos2 3 =b2+c2+bc=(b+c)2-bc(b+c)2-(+ 2 )2=3 4(b+c) 2,所以(b+c)212.即 b+c2 3,当且仅当b=c时“=”成立. 所以ABC周长的最大值为3+2 3. 提分 策略 (1)得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”. (2)得关键分:正弦定理,余弦定理,恒等变换,周长表示,这些都是不可漏写的得分点, 有则给分,无则没分
5、. (3)得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证. (4)避免扣分:解题时,应注意强调角的范围,从而避免扣分,如在第(1)问中应强调“0A”,否 则会扣1分;在第(2)问中应强调“0B 3”,否则会扣1分. 示例22019全国卷,18,12分文ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 asin+ 2 =bsinA. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围. 思维导引 本题可拆解成以下几个小问题. (1)已知asin+ 2 =bsinA,求证sin+ 2 =sin B; 根据中的结论求B的大小. (2)将ABC的面积表示成关于角C的函数; 根
6、据角C的取值范围求ABC面积的取值范围. 规范解答(1)根据已知asin+ 2 =bsinA, 由正弦定理得sin Asin+ 2 =sin BsinA. 因为0A0, 所以sin+ 2 =sin B. 因为0B,0+ 2 , 所以+ 2 =B或+ 2 +B=, 而A+B+C=,故+ 2 +B=不成立, 所以+ 2 =B,结合A+B+C=得3B=, 所以B= 3. (2)由三角形的面积公式有SABC=1 2ac sinB= 3 4 a. 由正弦定理得a=sin sin = sin(2 3) sin = 3 2tan+ 1 2. 所SABC= 3 8tan+ 3 8 . 因为A+C=2 3,且A
7、BC为锐角三角形, 所以 6C 2. 所以tan C( 3 3 ,+), 所以 3 8 SABC 3 2 . 故SABC的取值范围是( 3 8 , 3 2 ). 感悟升华 阅 卷 现 场 得分点 第(1)问 采点得 分说明 利用正弦定理进行边角转化得1分; 化简正确得1分; 讨论全面得2分; 求得结果得2分. 6分 第(2)问 采点得 分说明 将面积表示成关于角C的函数得2分; 求出角C的取值范围得2分; 利用函数的单调性求出SABC的取值范围得2分. 6分 满 分 策 略 1.解决三角形问题的关键 准确把握正、余弦定理的内容,灵活根据已知条件选用公式是解三角形的关键. 2.边角互化 可利用正弦定理实行边角互化,因此化归思想很关键,如本例第(1)问. 3.解三角形问题的运算技巧 解三角形时常与同角三角函数基本关系式及三角恒等变换密不可分,所以熟练掌握三 角公式是必不可缺的环节. 4.变角在三角恒等变换中的运用 在解三角形的过程中,变角尤其关键,如已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变 换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角的变换.
