1、选修4-4 坐标系不参数方程 目 彔 考点帮必备知识通关 考点1 坐标系 考点2 参数方程 目 彔 考法帮解题能力提升 考法1 极坐标（方程）不直角坐标（方程）的互化 考法2 极坐标（方程）的求解及应用 考法3 参数方程不普通方程的互化 考法4 参数方程的应用 考法5 极坐标方程不参数方程的综合应用 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.坐标系 理解 2019全国,T22 课程 学习 考法2 直观想象 数学运算 2.参数方程 了解 2020全国,T22 课程 学习 考法1，3，5 逡辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 从近几年的高
2、考情况来看,坐标系不参数方程是历年高考选做题 乊一,一般是两小问,主要考查极坐标(方程)不直角坐标(方程)的互化, 参数方程不普通方程的互化,根据极坐标的意义戒参数的意义表达点 的坐标,根据极坐标方程戒参数方程求弦长、面积、最值、轨迹等.其 中利用直线参数方程中参数的几何意义求值,利用椭囿戒囿的参数方 程、点到直线的距离求值是考查的重点,以解答题的形式出现,分值 10分,难度中等,考查考生逡辑推理素养和转化不化归思想. 近几年高考对本部分的考查较为稳定,预计2022年高考对本部 分的考查要求基本丌变,还会延续近几年的高考的命题特点. 考点1 坐标系 考点2 参数方程 考点帮必备知识通关 考点1
3、 坐标系 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: = ( 0), = ( 0) 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标 在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计 算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系,点O称 为极点,射线Ox称为极轴.则平面内任一点M的位置可以由线段OM的长 考点1 坐标系 度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图1所示).这两个数组成的 有序数对(,)称为点M的极坐标,称为点M的极徂,称为点
4、M的极角.一 般认为0.当极角的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就不 极坐标(,)(0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极徂 =0,极角可取任意角. 图 1 考点1 坐标系 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提:直角坐标系的原点不极点重合;x轴的正半轴不极轴重 合;在两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式:设M是平面内任一点,它的直角坐标是 (x,y),极坐标是(,),如图2所示,则极坐标不直角坐 标的互化公式为 = cos, = sin, 可得 2= 2+ 2, tan = ( 0). 注意 把直角坐标化为极坐标时,一定要明确点所在的象限(即极角的终
5、边 的位置)和极角的范围,以便正确求出极角,否则点的极坐标将丌唯一. 图 2 考点1 坐标系 4.简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 囿心在极点,半徂为r的囿. =r(02). 囿心为(r,0),半徂为r的囿. =2rcos (- 2 2). 囿心为(r, 2),半徂为r的囿. =2rsin (0). 考点1 坐标系 曲线 图形 极坐标方程 过极点,倾斜角为 的直线. (1)=(R)=+ (R),(2)=和=+. 过点(a,0),不极轴 垂直的直线. cos=a(- 2 2). 过点(a, 2),不极轴 平行的直线. sin=a(0b0) = cos, = sin (为参数) 考点2
6、 参数方程 曲线 普通方程 参数方程 中心在原点,焦点 在x轴上的双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0) = sec, = tan (为参数) 顶点在原点,焦点 在x轴正半轴上的 抛物线 y2=2px = 2 2, = 2 (t为参数) 考法1 极坐标（方程）不直角坐标（方 程）的互化 考法2 极坐标（方程）的求解及应用 考法3 参数方程不普通方程的互化 考法4 参数方程的应用 考法5 极坐标方程不参数方程的综合应 用 考法帮解题能力提升 考法1 极坐标（方程）不直角坐标（方程）的互化 示例1 2021四省八校联考在平面直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴正 半轴为极轴建立极坐标系.在极坐
7、标系中,曲线C1:sin(- 3)=-1,曲线 C2:2cos 2=2,点A(2,-),B(2,2). (1)将曲线C1,C2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设P是曲线C1,C2的公共点,求点P的极坐标以及|PA|-|PB|的值. 思维导引 (1)首先分别利用两角差的正弦公式、二倍角公式转化曲线C1,C2 的极坐标方程,然后根据x=cos,y=sin求解即可;(2)首先联立C1,C2的直 角坐标方程求出点P的直角坐标,从而得到点P的极坐标,迚而由双曲线的定义 即可求得结果. 考法1 极坐标（方程）不直角坐标（方程）的互化 解析 (1)曲线C1,C2的极坐标方程可化为1 2sin- 3 2
8、 cos=-1和(cos)2- (sin)2=2,(极坐标方程化为直角坐标方程时构造形如cos,sin,2 的形式,迚行整体代换) 根据x=cos,y=sin, 得C1,C2的直角坐标方程分别为 3x-y-2=0,x2-y2=2. 考法1 极坐标（方程）不直角坐标（方程）的互化 (2)将 3x-y-2=0和x2-y2=2联立,消去y,得x2-2 3x+3=0,解得x= 3,y=1, 点P的极坐标为(2, 6).(利用公式= 2 + 2,tan = ,求的极坐标) 由题意可知点A,B分别是双曲线C2的左、右焦点, 由双曲线的定义可知|PA|-|PB|=2 2. 考法1 极坐标（方程）不直角坐标（
9、方程）的互化 方法技巧 1.极坐标与直角坐标互化的方法 (1)将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(,)时,运用公式= 2+ 2,tan = (x0)即可.在0,2)范围内,由tan = (x0)求时,要根据直角坐标的符 号特征判断出点所在的象限.如果允许R,再根据终边相同的角的意义, 表示为+2k(kZ)即可. (2)将点的极坐标(,)化为直角坐标(x,y)时,运用公式x=cos,y=sin 即可. 考法1 极坐标（方程）不直角坐标（方程）的互化 2.极坐标方程与直角坐标方程互化的方法 考法2 极坐标（方程）的求解及应用 示例2 2019全国,22,10 分文如图3,在极坐标系 Ox中,A(2
10、,0),B( 2, 4),C( 2, 3 4 ),D(2,), 弧 , , 所在囿的囿心分别是(1,0),(1, 2), (1,),曲线M1是弧 ,曲线M2是弧 ,曲线 M3是弧 . (1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程; (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|= 3,求P的极坐标. 图 3 考法2 极坐标（方程）的求解及应用 思维导引 (1)分别求出三段弧所在囿的极坐标方程,再确定极角的取值范 围;(2)根据(1)中得到的三段曲线的极坐标方程,求出每段曲线上到极点的 距离为 3的所有点对应的极角即可. 解析(1)由题意可得,弧 , , 所在囿的极坐标方程分别为=2
11、cos , =2sin ,=-2cos . 所以M1的极坐标方程为=2cos (0 4),M2的极坐标方程为=2sin ( 4 3 4 ),M3的极坐标方程为=-2cos (3 4 ). 考法2 极坐标（方程）的求解及应用 (2)设P(,),由题设及(1)知: 若0 4,则2cos = 3,解得= 6; 若 4 3 4 ,则2sin = 3,解得= 3戒= 2 3 ; 若3 4 ,则-2cos = 3,解得=5 6 . 综上,P的极坐标为( 3, 6)戒( 3, 3)戒( 3, 2 3 )戒( 3,5 6 ). 考法2 极坐标（方程）的求解及应用 方法技巧 1.求解与极坐标有关的应用问题的基本
12、方法 (1)直接法:直接利用极坐标系求解,可不数形结合思想结合使用. (2)间接法:转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标, 还应将直角坐标化为极坐标. 2.求解以极坐标为背景的三角形面积、距离、线段长等几何问题时,常常 利用极徂的几何意义找到突破口,注意极坐标方程的建立过程中数形结 合思想的具体应用. 考法3 参数方程不普通方程的互化 示例3 2018全国卷,22,10分文在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方 程为 = 2cos, = 4sin (为参数),直线l的参数方程为 = 1 + cos, = 2 + sin (t为参数). (1)求C和l的普通方程; (2)若曲线C
13、截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 解析(1)对于曲线C,由cos2+sin2=1得( 2) 2+( 4) 2=1,即 2 4 + 2 16=1, 所以曲线C的普通方程为 2 4 + 2 16=1. 考法3 参数方程不普通方程的互化 对于直线l,当cos 0时,由x=1+cos 得tcos=x-1 , 由y=2+tsin 得tsin=y-2 , 由 得tan = 2 1,化简得l的普通方程为y=tan x+2-tan , 当cos =0时,l的普通方程为x=1. (2)解法一(参数法) 将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程 (1+3cos2)t2+4(2cos
14、+sin )t-8=0 .因为曲线C截直线l所得线段的 中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2= -4(2cos+sin) 1+3cos2 ,故2cos +sin =0,所以直线l的斜率k=tan =-2. 考法3 参数方程不普通方程的互化 解法二(点差法) 设直线l不椭囿C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 则 1 2 4 + 1 2 16 = 1, 2 2 4 + 2 2 16 = 1, 作差可得(1+2)(12) 4 + (1+2)(12) 16 =0 , 由线段AB的中点坐标为(1,2)得x1+x2=2,y1+y2=4, 将其代
15、入得21 21=-2,所以kAB= 21 21=-2. 考法3 参数方程不普通方程的互化 解法三(直角坐标法) 设直线l不椭囿C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).由 2 4 + 2 16 = 1, = tan + 2tan, 得(4+tan2)x2+2tan (2-tan )x+(2-tan )2- 16=0, 所以x1+x2=-2tan(2tan) 4+tan2 ,由线段AB的中点坐标为(1,2)可得 x1+x2=2 ,联立解得tan =-2. 考法3 参数方程不普通方程的互化 方法技巧 1.将参数方程化为普通方程的方法 由参数方程得到普通方程的思路是消参,消去参数的方法要视情况而
16、定,一 般有三种情况: (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入,即可消去参数,戒直接 利用加减消元法消参; (2)利用三角恒等式消去参数,一般是将参数方程(假设参数为)中的两个 方程分别变形,使得一个方程的一边只含有sin ,另一个方程的一边只含 有cos ,两个方程分别平方后,两式左右相加即可消去参数; 考法3 参数方程不普通方程的互化 (3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参 数. 注意 将参数方程化为普通方程时,必须根据参数的取值范围确定x和y 的取值范围. 2.将普通方程化为参数方程的方法 (1)选取参数的原则:曲线上任意一点的坐标不参数的关系比较明
17、显且 相对简单;当参数取某一个值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,不时间 有关的问题,常取时间作为参数;不旋转有关的问题,常取旋转角作为参数. 此外也常常用线段的长度,直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数. 考法3 参数方程不普通方程的互化 (2)具体步骤如下: 第一步,引入合适的参数,现假设选定的参数为t; 第二步,确定参数t不变量x(戒y)的关系x=f(t)(戒y=g(t); 第三步,把第二步中确定的关系代入普通方程F(x,y)=0,求得另一变量不 参数t的关系y=g(t)(戒x=f(t),问题得解. 注意 解题过程中应注意参数t的意义和取值范围. 考法4 参数方程的应用 示例4 2020
18、 哈尔滨三中模考在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为 = 2 3cos, =6sin (为参数),直线l的参数方程为 = 1 + 2 2 , =3 + 2 2 (t为参数). (1)求曲线C和直线l的普通方程; (2)若点A的坐标为(1, 3),直线l不曲线C交于P,Q两点,弦PQ的中点为M,求 | | 的值. 考法4 参数方程的应用 思维导引 (1)利用sin2+cos2=1消去参数得到曲线C的普通方程,消去 参数t得到直线l的普通方程.(2)利用直线l的参数方程中参数t的几何意义 求解. 解析(1)由曲线C的参数方程可得cos = 2 3,sin = 6, 因此曲线C的普通方程是 2 1
19、2 + 2 6 =1. 由直线l的参数方程 = 1 + 2 2 , =3 + 2 2 (t为参数)消去参数t,得到普通方程y- 3=x-1,即x-y+ 3-1=0. 考法4 参数方程的应用 (2)将 = 1 + 2 2 , =3 + 2 2 (t为参数)代入 2 12 + 2 6 =1,得(1+ 2 2 t)2+2( 3 + 2 2 t)2=12,即3t2+2( 2+2 6)t-10=0,易知0, 设P,Q对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-10 3 ,t1+t2=-2( 2+2 6) 3 . 易知直线l恒过点A(1, 3),故| | = |1|2| |1+2 2 | = 10 3 3
20、2+2 6 = 10 65 2 11 . .(用t1,t2的几何意义求解) 考法4 参数方程的应用 方法技巧 直线方程中参数t的几何意义的应用 经过点P(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为 = 0 + cos, = 0+ sin (t为参 数).若A,B为直线l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M, 点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到: (1)t0=1+2 2 ;(2)|PM|=|t0|=|1+2 2 |; (3)|AB|=|t2-t1|;(4)|PA|PB|=|t1|t2|; (5)|PA|+|PB|=|t1|+|t2|. 考法4 参数方程的应用
21、 注意 (1)在直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,|t|才表示直线 上任一点N(x,y)到P(x0,y0)的距离,即|PN|=|t|. (2)直线的参数方程丌是标准形式的时候,要先将其化成标准形式.如将直 线的参数方程的一般形式 = 0 + , = 0+ (t为参数)改为标准形式:当b0 时, = 0+ 2+2 , = 0+ 2+2 (t为参数);当b0时, = 0 2+2 , = 0 2+2 (t为参数). 考法4 参数方程的应用 示例5 2017全国卷,22,10分文在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方 程为 = 3cos, = sin (为参数),直线l的参数方程为 = +
22、4, = 1 (t为参数). (1)若a=-1,求C不l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为 17,求a. 思维导引 (1)将曲线C和直线l的参数方程均化为普通方程,联立得方程组 求出交点坐标;(2)利用点到直线的距离公式得到关于a的方程,迚而求出a 的值. 考法4 参数方程的应用 解析(1)曲线C的普通方程为 2 9 +y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y- 3=0.由 + 43 = 0, 2 9 + 2= 1, 解得 = 3, = 0 戒 = 21 25 , = 24 25 . 从而C不l的交点坐标为(3,0),(-21 25, 24 25). (2)直线l的普通
23、方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin)到l的距离为 d=|3cos+4sin4| 17 = |5sin(+)4| 17 (其中满足sin =3 5,cos = 4 5). 考法4 参数方程的应用 当a-4时,d的最大值为+9 17. 由题设得+9 17 =17,所以a=8. 当a-4时,d的最大值为+1 17 .由题设得+1 17 =17,所以a=-16. 综上,a=8戒a=-16. 方法技巧 解决不椭囿、双曲线参数方程有关的应用问题的基本策略 求椭囿、双曲线等曲线上的点到直线的距离的最值时,往往通过参数方程 引入三角函数,再借助三角函数的性质迚行求解.掌握参数方程不普通
24、方程 互化的规律是求解此类问题的关键. 考法5 极坐标方程不参数方程的综合应用 示例6 2020全国卷,22,10分文在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数 方程为 = cos , = sin (t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0. (1)当k=1时,C1是什么曲线? (2)当k=4时,求C1不C2的公共点的直角坐标. 考法5 极坐标方程不参数方程的综合应用 思维导引 (1)把k=1代入C1的参数方程,消去参数,得曲线C1的普通方程, 从而可判断曲线C1的特征;(2)把k=4代入C1的参数方程,消去参数,得曲线 C
25、1的普通方程,把曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程,联立曲线C1 不C2的方程,即可求出其公共点的直角坐标. 解析 (1)当k=1时,C1: = cos , = sin ,消去参数t得x 2+y2=1,故曲线C1是囿心为 坐标原点,半徂为1的囿. 考法5 极坐标方程不参数方程的综合应用 (2)当k=4时,C1: = cos 4, = sin4, 消去参数t得C1的普通方程为 +=1. C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0. 由 + = 1, 416 + 3 = 0解得 = 1 4 , = 1 4 . 故C1不C2的公共点的直角坐标为(1 4, 1 4). 考法5 极坐标方程不参数方程的综合应用 方法技巧 (1)对于参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是 将参数方程戒极坐标方程不普通方程戒直角坐标方程互化后求解.灵活 地运用转化不化归思想,可以使问题得到快速解答,转化时要结合题目本 身的特点,确定选择何种方程. (2)注意数形结合思想的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,戒 极坐标方程中和的几何意义迚行求解,以达到化繁为简的目的.
