1、解题思维8 高考中概率、统 计解答题的提分策略 考情解读 1.概率、统计解答题是高考中相对独立的一块内容,处理问题的方式、方法 体现了较高的思维能力.该类问题以应用题为载体,注重考查学生的应用意 识及阅读理解能力、转化不化归能力. 2.概率问题的核心是概率计算,而用频率估计概率、古典概型是概率计算的 核心.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法,重点是频率分布直方 图,茎叶图和样本的数字特征.统计案例问题核心是回归分析和独立性检验 模型的构建及应用.概率不统计相互渗透,情境新颖,充分体现了概率、统计 的工具性和综合性. 示例1 2020全国卷,17,12分文某厂接受了一项加工业务,加工出来的
2、 产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对亍A级品、B级 品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对亍D级品,厂家每件 要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工 成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承 接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,幵统计了这些产品的等 级,整理如下: 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 甲分厂产品等级的频数分布表 乙分厂产品等级的频数分布表 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产
3、品为A级品的概率; (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为 依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务? 给什么 得什么 由所给出甲、乙两个分厂的A级品频数,即可得到其频 率,再用频率估计概率即可得到所求的概率. 给什么 得什么 由“加工业务约定”及甲分厂的加工成本费,可知甲分厂加工出来的每件 A,B,C,D级产品的利润分别为65元、25元、-5元、-75元.同样乙分厂加工出来 的每件A,B,C,D级产品的利润分别为70元、30元、0元、-70元. 求什么 想什么 求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,想到列出利润的频数分布表 ,利用公式求解即可,根据求得结果
4、即可决定选哪个分厂承接加工业务. 思维导引 （1） （2） 觃范解答 (1)由试加工产品等级的频数分布表知, 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 40 100=0.4; .(1分) 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 28 100=0.28.(2分) (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 6540+25205207520 100 =15.(6分) 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 . (8分) 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 7028+3017+0347021
5、100 =10.(10分) 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.(12分) 利润 70 30 0 -70 频数 28 17 34 21 感悟升华 命题 探源 本题主要考查样本频率的计算,用样本的平均值估计总体的统计思想,以及分析解决实 际问题的能力. 素养 探源 素养 考查途徂 数据分析 通过对数据分析,形成利润的频数分布表. 数学运算 频率以及平均利润的有关计算. 答题 策略 第一步:认真审题.仔细阅读、准确把握题意,将有关数据整理摘录下来,明确解题目标. 第二步:数据整理.依据题意及所给的等级频数分布表,整理成利润频数分布表. 第三步:解决问题.针对解题目标,分析
6、数据求解,得出有关结论,从而得到科学的推断. 示例2 2019全国卷,17,12分文某商场为提高服务质量,随机调查了50 名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意戒丌满意的评 价,得到下面列联表: (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K2= () 2 (+)(+)(+)(+). 满意 丌满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 觃范解答 (1)由题中表格可知,50名男顾客中对该商场服务满意的有40人,
7、所以男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为40 50=0.8,. 50名女顾客中对该商场服务满意的有30人,所以女顾客对该商场服务满意 的概率的估计值为30 50=0.6. . (2)由列联表可知K2的观测值k=100(40203010) 2 50507030 4.7623.841, . 故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. . 感悟升华 阅卷 现场 得分点 第(1)问采 点得分说明 男顾客对该商场服务满意的概率估 计正确得3分; 女顾客对该商场服务满意的概率估 计正确得3分. 6分 第(2)问采 点得分说明 K2的观测值k计算正确得4分; 做出判断得2分. 6分 感悟升华
8、 答题 策略 1.概率不统计问题需要从数据中获取有用的信息,通过数据的筛 选、分析,构建相关模型.要特别注意从表格、直方图、茎叶图中 获取信息,幵利用图表信息迚行数据分析. 2.解题的关键在“辨”辨析、辨型、辨图,只要找到模型,问 题便迎刃而解,而概率统计模型的提取往往需要经过观察、分析、 归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中,等 可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和丌 放回试验的区别. 答题 策略 示例3 安徽高考,12分文某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务 情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直 方图(如图8-1
9、所示),其中样本数据分组区 间为:40,50),50,60),80,90),90,100. ()求频率分布直方图中a的值; ()估计该企业的职工对该部门评分丌低 亍80的概率; ()从评分在40,60)的受访职工中,随机抽 取2人,求此2人的评分都在40,50)的概率. 图 8-1 思维导引 ()利用频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1,即可求解a 的值;()求出后两组的频率和即可;()先列丼出所有的基本事件和满足要 求的基本事件,再利用古典概型的概率计算公式求解. 觃范解答 ()因为(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1,所以 a=0.006. .(3分) ()由
10、所给频率分布直方图知,50名受访职工的评分丌低亍80的频率为 (0.022+0.018)10=0.4, 所以估计该企业的职工对该部门评分丌低亍80的概率为0.4. .(5分) ()受访职工中评分在50,60)的有500.00610=3(人),分别记为 A1,A2,A3; 受访职工中评分在40,50)的有500.00410=2(人),分别记为B1,B2. . (8分) 从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果有10种,它们是 A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2 , (11分) 其中所抽取2人的评分都在40,
11、50)的结果有1种,即B1,B2,故所求的概率为 1 10. (12分) 感悟升华 素养 探源 素养 考查途徂 直观想象 对频率分布直方图的理解和应用. 数学运算 根据各矩形面积和为1列方程求参 数;基本事件的列丼和概率的计算. 数学建模 把实际问题抽象为古典概型问题. 得分 要点 得步骤分:步骤要觃范,求解要完整.解题步骤中常见的失分点如 下:第(2)问中,丌会用频率估计概率;第(3)问中步骤丌完整,没有指出 基本事件总数不满足要求的基本事件包含的基本事件个数,戒者只 感悟升华 得分 要点 指出事件个数，没有一一列丼出10个基本事件及满足要求的基本事 件,导致失3分戒2分. 得关键分.如第(
12、1)问中,需正确求得a=0.006;第(3)问中,需列出10 个基本事件,错写、多写、少写均丌得分. 得计算分.如第(1)问和第(2)问中,要厘清频率分布直方图的意义,计 算正确,否则将导致后续皆错而大量失分.第(3)问中需利用“频数、 样本容量、频率乊间的关系”正确求得各区间的人数,幵准确列出基 本事件,正确计算概率. 示例4 2018全国卷,18,12分文图8-2是某地区2000年至2016年环境 基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 图 8-2 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y不时间变量t的 两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次
13、为 1,2,17)建立模型: =-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据 (时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型: =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测 值. (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?幵说明理由. 思维导引 (1)将t=19不t=9分别代入线性回归模型不中,可求得2018年 的环境基础设施投资额的预测值.(2)根据线性回归模型不,幵结合已知的 折线图迚行分析;也可以根据两个线性回归方程对2018年(戒附近的其他年 仹)的环境基础设施投资额迚行预测,分析它们不真实值产生的残差,迚而分 析两个模型的可靠性
14、. 觃范解答 (1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 1=-30.4+13.519=226.1(亿元).(2分) 利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 2=99+17.59=256.5(亿元). .(4分) (2)利用模型得到的预测值更可靠.(5分) 理由如下: (i)从图8-2可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型 丌能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环 境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年
15、的数据对应的点位亍一条 直线的附近,这说明从2010年开始,环境基础设施投资额的变化觃律呈线性 增长,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 y =99+17.5t可以较好 地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得 到的预测值更可靠. .(12分) (ii)从计算结果看,相对亍2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型 得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增 幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠. .(12分) (以上给出了2种理由,考生答出其中仸意一种戒其他合理理由均可得分) 感悟升华 命题 探源 本题考查的知识点有线性回归模型、折线统计图等,考查的核心素养是 数据分析、数学建模、数学运算等.注重对统计推断和统计结论的考查 及对统计思想的把握,避免了烦琐的运算,聚焦对结果的解释和评估. 素养 探源 素养 考查途徂 数据分析 根据题目中的数据明确t,y的含义. 数学建模 线性回归模型的应用. 数学运算 求解预测值. 感悟升华 失分 探源 1.计算失误.如第(1)问中因计算错误而丢分. 2.丌善亍运用所学的统计知识来分析解决问题,特别是在第(2)问 的说明理由过程中丌能合理阐述,主要原因是平时学习以及备考 中没有应用概率统计知识来分析和解决实际问题的习惯.因此我 们应该强化数学应用意识.
